• 1.48 MB
  • 2021-07-01 发布

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

  • 33页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
4.3.2  对数的运算 必备知识 · 自主学习 1. 对数的运算性质 (1) 性质: 如果 a>0 ,且 a≠1 , M>0 , N>0 ,那么 ①积的对数: log a (MN)=___________ ; ②商的对数: log a =___________ ; ③幂的对数: log a M n =______. 导思 1. 对数运算有哪些运算性质? 2. 怎样用 lg 2 , lg 3 计算 log 2 3 ? log a M+log a N log a M-log a N nlog a M (2) 本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算 . (3) 应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题 . 【 思考 】 你能用文字语言叙述对数的运算性质吗? 提示: 积的对数等于积的各个因式的对数的和; 商的对数等于分子的对数减去分母的对数; 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数 . 2. 换底公式 (1) 公式: log a b=_______(a>0 ,且 a≠1 ; b>0 ; c>0 ,且 c≠1). (2) 本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于 1 的实数 . (3) 应用:将底数换成 10 或 e ,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算 . 【 思考 】 (1) 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式? (2) 你能用换底公式证明结论 log N M 吗? 提示: (1)log a b= , log a b= . (2) log N M. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1)lg(xy)=lg x·lg y. (    ) (2)log 3 . (    ) (3) =log 2 16. (    ) 提示: (1)×.lg(xy)=lg x+lg y. (2)×.log 3 =log 3 27-log 3 9. (3)√. 逆用换底公式可得 . 2. 若 lg a-2lg 2=1 ,则 a= (    ) A.4 B.10 C.20 D.40 【 解析 】 选 D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1 , 所以 =10 ,所以 a=40. 3.( 教材二次开发:复习巩固改编 ) 若 ln x=2ln a- ln b ,则 x=_______.  【 解析 】 因为 ln x=2ln a- ln b=ln a 2 ,所以 x=a 2 . 答案: a 2 关键能力 · 合作学习 类型一 对数运算性质的应用 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 温州高一检测 )lg = (    ) A.-4 B.4 C.10 D.-10 2. 若 a=log m x , b=log m y , c=log m z ,则用 a , b , c 表示 log m =_______.  3.lg 2 2+lg 2·lg 5+lg 5=_______.  【 解析 】 1. 选 A.lg =lg 10 -4 =-4. 2. 原式 =log m (xy 2 )=log m x+log m y 2 +log m =log m x+2log m y- log m z=a+2b- c. 答案: a+2b- c 3.lg 2 2+lg 2 · lg 5+lg 5=lg 2 · (lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1. 答案: 1 【 解题策略 】 利用对数运算性质化简求值 (1)“ 收”:将同底的两个对数的和 ( 差 ) 合并为积 ( 商 ) 的对数,即公式逆用; (2)“ 拆”:将积 ( 商 ) 的对数拆成同底的两个对数的和 ( 差 ) ,即公式的正用; (3)“ 凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用 lg 2+lg 5=1 ,进行计算或化简 . 【 补偿训练 】 若 lg x-lg y=a ,则 = (    ) A.3a B.a 3 C. D. 【 解析 】 选 A.lg x-lg y=lg =a , =3a. 类型二 对数换底公式的应用 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1.(2020· 淮安高一检测 ) 设 a=lg 2 , b=lg 3 ,则 log 2 6= (    ) A.ab 2 B.a 2 b C. D. 2. 设 log 3 4·log 4 8·log 8 m=log 4 16 ,则 m 的值是 (    ) A. B.9 C.18 D.27 3.(2020· 泸州高一检测 ) 实数 a , b 满足 2 a =5 b =10 ,则下列关系正确的是 (    ) 【 思路导引 】 1. 利用换底公式将 log 2 6 换成常用对数后用 a , b 表示; 2. 换成常用对数约分求 m 值; 3. 利用指对互化表示出 a , b 后验证等式是否成立 . 【 解析 】 1. 选 C. 因为 a=lg 2 , b=lg 3 , 所以 log 2 6= 2. 选 B. 因为 log 3 4 · log 4 8 · log 8 m 所以 lg m= · lg 3=lg 3 2 ,解得 m=9. 3. 选 B. 因为 2 a =5 b =10 , 所以 a=log 2 10 , b=log 5 10 , 所以 =lg 2 , =lg 5 , 所以 =lg 2+lg 5=lg (2×5)=1. 【 解题策略 】 利用换底公式进行化简和求值 (1) 一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值; (2) 如果出现多个指数式相等的式子,则先化为对数式,再利用对数的运算性 质化简求值; (3) 注意一些常见结论的应用,如对数的倒数公式 =log b a. 【 跟踪训练 】 1. 设 lg 2=a , lg 3=b ,则 log 12 5= (    ) 【 解析 】 选 A. 因为 lg 2=a , lg 3=b , 则 log 12 5= 2. 若实数 a , b , c 满足 2 a =1 009 b =2 018 c =2 020 ,则下列式子正确的是 (    ) 【 解析 】 选 B. 由已知,得 2 a =1 009 b =2 018 c =2 020 , 得 a=log 2 2 020 , b=log 1 009 2 020 , c=log 2 018 2 020 , 所以 =log 2 020 2 , =log 2 020 1 009 , =log 2 020 2 018 ,而 2×1 009=2 018 , 所以 【 补偿训练 】 已知 2 x =5 y =t , =2 ,则 t= (    ) 【 解析 】 选 C. 因为 2 x =5 y =t>0 , t≠1 , 所以 代入 =2 ,所以 =2 , 所以 ln 10=ln t 2 ,所以 t 2 =10 ,则 t= . 类型三 实际问题中的对数运算 ( 数学运算 ) 【 典例 】 (2020· 海淀高一检测 )2018 年 9 月 24 日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英 国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学届的震动 . 在 1859 年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为 《 论小于某值的素数个 数 》 的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想 . 在此之前,著名数学家欧拉 也曾研究过这个问题,并得到小于数字 x 的素数个数大约可以表示为 π(x)≈ 的 结论 . 若根据欧拉得出的结论,估计 1 000 以内的素数的个数为 (    ) ( 素数即质数, lg e≈0.434 29 ,计算结果取整数 ) A.768 B.144 C.767 D.145 【 思路导引 】 根据素数计算公式,利用换底公式计算 . 【 解析 】 选 D. 由题意可知: π(1 000)≈ = lg e≈ ×0.434 29≈145. 所以根据欧拉得出的结论,估计 1 000 以内的素数的个数为 145. 【 解题策略 】 关于对数运算在实际问题中的应用 (1) 在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算 . (2) 在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算 . 【 跟踪训练 】 根据有关资料,汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限 M 约为 10 10 , 目前人类可预测的地面危机总数 N 约为 3 6 ×2 30 . 则下列各数中与 最接近的是 (    ) ( 参考数据: lg 2≈0.30 , lg 3≈0.48) 【 解析 】 选 B. 汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限 M 约为 10 10 , 目前人类可预测的地面危机总数 N 约为 3 6 ×2 30 . 所以 ,两边取常用对数, 可得 lg =lg 10 10 -lg 3 6 -lg 2 30 ≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88. 所以 =10 -1.88 ≈ . 课堂检测 · 素养达标 1.2log 5 10+log 5 0.25= (    ) A.0 B.1 C.2 D.4 【 解析 】 选 C. 原式 =log 5 10 2 +log 5 0.25=log 5 (100×0.25)=log 5 25=2. 2. 已知正实数 a , b , c 满足 log 2 a=log 3 b=log 6 c ,则 (    ) A.a=bc B.b 2 =ac C.c=ab D.c 2 =ab 【 解析 】 选 C. 设 log 2 a=log 3 b=log 6 c=k , 则 a=2 k , b=3 k , c=6 k ,所以 c=ab. 【 误区警示 】 本题容易忽视设出 log 2 a=log 3 b=log 6 c=k ,导致无法表示出 a , b , c. 3.( 教材二次开发:综合运用改编 ) 已知 xlog 3 2=1 ,则 2 x +2 -x 的值是 (    ) A.1 B.3 C. D. 【 解析 】 选 D. 因为 xlog 3 2=1 , 所以 x=log 2 3 , 所以 2 x +2 -x = 4.log 2 3·log 3 5·log 5 16=_______.  【 解析 】 原式 = 答案: 4 5. =_______.  【 解析 】 答案: 1 对数的运算 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 注意对数的运算性质的形式 转化思想:对数的运算性质可以把乘,除,乘方运算转化为加,减,乘运算 数学运算:通过对数的运算性质及换底公式的运用,培养数学运算的核心素养 运算性质 实际应用 换底公式