- 1.48 MB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
4.3.2
对数的运算
必备知识
·
自主学习
1.
对数的运算性质
(1)
性质:
如果
a>0
,且
a≠1
,
M>0
,
N>0
,那么
①积的对数:
log
a
(MN)=___________
;
②商的对数:
log
a
=___________
;
③幂的对数:
log
a
M
n
=______.
导思
1.
对数运算有哪些运算性质?
2.
怎样用
lg 2
,
lg 3
计算
log
2
3
?
log
a
M+log
a
N
log
a
M-log
a
N
nlog
a
M
(2)
本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算
.
(3)
应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题
.
【
思考
】
你能用文字语言叙述对数的运算性质吗?
提示:
积的对数等于积的各个因式的对数的和;
商的对数等于分子的对数减去分母的对数;
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数
.
2.
换底公式
(1)
公式:
log
a
b=_______(a>0
,且
a≠1
;
b>0
;
c>0
,且
c≠1).
(2)
本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于
1
的实数
.
(3)
应用:将底数换成
10
或
e
,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算
.
【
思考
】
(1)
对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式?
(2)
你能用换底公式证明结论
log
N
M
吗?
提示:
(1)log
a
b=
,
log
a
b= .
(2) log
N
M.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)lg(xy)=lg x·lg y. (
)
(2)log
3
. (
)
(3) =log
2
16. (
)
提示:
(1)×.lg(xy)=lg x+lg y.
(2)×.log
3
=log
3
27-log
3
9.
(3)√.
逆用换底公式可得
.
2.
若
lg a-2lg 2=1
,则
a= (
)
A.4 B.10 C.20 D.40
【
解析
】
选
D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1
,
所以
=10
,所以
a=40.
3.(
教材二次开发:复习巩固改编
)
若
ln x=2ln a- ln b
,则
x=_______.
【
解析
】
因为
ln x=2ln a- ln b=ln a
2
,所以
x=a
2
.
答案:
a
2
关键能力
·
合作学习
类型一 对数运算性质的应用
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.(2020·
温州高一检测
)lg = (
)
A.-4 B.4 C.10 D.-10
2.
若
a=log
m
x
,
b=log
m
y
,
c=log
m
z
,则用
a
,
b
,
c
表示
log
m
=_______.
3.lg
2
2+lg 2·lg 5+lg 5=_______.
【
解析
】
1.
选
A.lg =lg 10
-4
=-4.
2.
原式
=log
m
(xy
2
)=log
m
x+log
m
y
2
+log
m
=log
m
x+2log
m
y- log
m
z=a+2b- c.
答案:
a+2b- c
3.lg
2
2+lg 2
·
lg 5+lg 5=lg 2
·
(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1.
答案:
1
【
解题策略
】
利用对数运算性质化简求值
(1)“
收”:将同底的两个对数的和
(
差
)
合并为积
(
商
)
的对数,即公式逆用;
(2)“
拆”:将积
(
商
)
的对数拆成同底的两个对数的和
(
差
)
,即公式的正用;
(3)“
凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用
lg 2+lg 5=1
,进行计算或化简
.
【
补偿训练
】
若
lg x-lg y=a
,则
= (
)
A.3a B.a
3
C. D.
【
解析
】
选
A.lg x-lg y=lg =a
,
=3a.
类型二 对数换底公式的应用
(
数学运算
)
【
典例
】
1.(2020·
淮安高一检测
)
设
a=lg 2
,
b=lg 3
,则
log
2
6= (
)
A.ab
2
B.a
2
b C. D.
2.
设
log
3
4·log
4
8·log
8
m=log
4
16
,则
m
的值是
(
)
A. B.9 C.18 D.27
3.(2020·
泸州高一检测
)
实数
a
,
b
满足
2
a
=5
b
=10
,则下列关系正确的是
(
)
【
思路导引
】
1.
利用换底公式将
log
2
6
换成常用对数后用
a
,
b
表示;
2.
换成常用对数约分求
m
值;
3.
利用指对互化表示出
a
,
b
后验证等式是否成立
.
【
解析
】
1.
选
C.
因为
a=lg 2
,
b=lg 3
,
所以
log
2
6=
2.
选
B.
因为
log
3
4
·
log
4
8
·
log
8
m
所以
lg m=
·
lg 3=lg 3
2
,解得
m=9.
3.
选
B.
因为
2
a
=5
b
=10
,
所以
a=log
2
10
,
b=log
5
10
,
所以
=lg 2
,
=lg 5
,
所以
=lg 2+lg 5=lg (2×5)=1.
【
解题策略
】
利用换底公式进行化简和求值
(1)
一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值;
(2)
如果出现多个指数式相等的式子,则先化为对数式,再利用对数的运算性
质化简求值;
(3)
注意一些常见结论的应用,如对数的倒数公式
=log
b
a.
【
跟踪训练
】
1.
设
lg 2=a
,
lg 3=b
,则
log
12
5= (
)
【
解析
】
选
A.
因为
lg 2=a
,
lg 3=b
,
则
log
12
5=
2.
若实数
a
,
b
,
c
满足
2
a
=1 009
b
=2 018
c
=2 020
,则下列式子正确的是
(
)
【
解析
】
选
B.
由已知,得
2
a
=1 009
b
=2 018
c
=2 020
,
得
a=log
2
2 020
,
b=log
1 009
2 020
,
c=log
2 018
2 020
,
所以
=log
2 020
2
,
=log
2 020
1 009
,
=log
2 020
2 018
,而
2×1 009=2 018
,
所以
【
补偿训练
】
已知
2
x
=5
y
=t
,
=2
,则
t= (
)
【
解析
】
选
C.
因为
2
x
=5
y
=t>0
,
t≠1
,
所以
代入
=2
,所以
=2
,
所以
ln 10=ln t
2
,所以
t
2
=10
,则
t= .
类型三 实际问题中的对数运算
(
数学运算
)
【
典例
】
(2020·
海淀高一检测
)2018
年
9
月
24
日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英
国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学届的震动
.
在
1859
年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为
《
论小于某值的素数个
数
》
的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想
.
在此之前,著名数学家欧拉
也曾研究过这个问题,并得到小于数字
x
的素数个数大约可以表示为
π(x)≈
的
结论
.
若根据欧拉得出的结论,估计
1 000
以内的素数的个数为
(
)
(
素数即质数,
lg e≈0.434 29
,计算结果取整数
)
A.768 B.144 C.767 D.145
【
思路导引
】
根据素数计算公式,利用换底公式计算
.
【
解析
】
选
D.
由题意可知:
π(1 000)≈
= lg e≈ ×0.434 29≈145.
所以根据欧拉得出的结论,估计
1 000
以内的素数的个数为
145.
【
解题策略
】
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)
在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算
.
(2)
在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算
.
【
跟踪训练
】
根据有关资料,汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限
M
约为
10
10
,
目前人类可预测的地面危机总数
N
约为
3
6
×2
30
.
则下列各数中与 最接近的是
(
)
(
参考数据:
lg 2≈0.30
,
lg 3≈0.48)
【
解析
】
选
B.
汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限
M
约为
10
10
,
目前人类可预测的地面危机总数
N
约为
3
6
×2
30
.
所以 ,两边取常用对数,
可得
lg =lg 10
10
-lg 3
6
-lg 2
30
≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88.
所以
=10
-1.88
≈ .
课堂检测
·
素养达标
1.2log
5
10+log
5
0.25= (
)
A.0 B.1 C.2 D.4
【
解析
】
选
C.
原式
=log
5
10
2
+log
5
0.25=log
5
(100×0.25)=log
5
25=2.
2.
已知正实数
a
,
b
,
c
满足
log
2
a=log
3
b=log
6
c
,则
(
)
A.a=bc B.b
2
=ac C.c=ab D.c
2
=ab
【
解析
】
选
C.
设
log
2
a=log
3
b=log
6
c=k
,
则
a=2
k
,
b=3
k
,
c=6
k
,所以
c=ab.
【
误区警示
】
本题容易忽视设出
log
2
a=log
3
b=log
6
c=k
,导致无法表示出
a
,
b
,
c.
3.(
教材二次开发:综合运用改编
)
已知
xlog
3
2=1
,则
2
x
+2
-x
的值是
(
)
A.1 B.3 C. D.
【
解析
】
选
D.
因为
xlog
3
2=1
,
所以
x=log
2
3
,
所以
2
x
+2
-x
=
4.log
2
3·log
3
5·log
5
16=_______.
【
解析
】
原式
=
答案:
4
5. =_______.
【
解析
】
答案:
1
对数的运算
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
注意对数的运算性质的形式
转化思想:对数的运算性质可以把乘,除,乘方运算转化为加,减,乘运算
数学运算:通过对数的运算性质及换底公式的运用,培养数学运算的核心素养
运算性质
实际应用
换底公式
相关文档
- 2016年山东省菏泽市高考一模数学文2021-07-0113页
- 数学文卷·2018届湖北省宜昌市七校2021-07-019页
- 数学文卷·2018届河南省新乡市延津2021-07-017页
- 2017-2018学年陕西省安康市高二下2021-07-0115页
- 2019高三数学文北师大版一轮教师用2021-07-019页
- 2021高考数学一轮复习第八章平面解2021-07-0137页
- 2021届高考数学一轮总复习第五章数2021-07-0136页
- 2021版高考数学一轮复习核心素养测2021-07-017页
- 专题10 推理与证明、算法、复数(第02021-07-0110页
- 高中数学必修5:第1章《解三角形》测2021-07-014页