高中数学第7章三角函数课时分层作业35三角函数的周期性含解析苏教版必修第一册 5页

课时分层作业(三十五)　三角函数的周期性 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列函数中，周期为的是(　　)‎ A．y＝sin　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝tan(－4x)‎ D　[A项，T＝＝4π；B项，T＝＝π；‎ C项，T＝＝8π；D项，T＝＝．]‎ ‎2．下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)‎ D　[根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数，D不是周期函数．]‎ ‎3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(　　)‎ A．1　　　　B．－‎1　‎　　　C．3　　　　D．－3‎ B　[∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，‎ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，‎ ‎∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1．]‎ ‎4．函数y＝sin的周期不大于4，则正整数k的最小值为(　　)‎ A．2　　　　B．‎3　　　‎　 C．4　　　　 D．5‎ C　[由T＝得T＝＝．‎ - 5 -‎ ‎∵T≤4，∴≤4，∴k≥π，‎ ‎∴正整数k的最小值为4．]‎ ‎5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝sin x；当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝(　　)‎ A．－ B．　　　　 ‎ C．　　　　 D．－ A　[∵T＝π，x∈时，f(x)＝cos x，‎ ‎∴f＝f＝f＝cos ‎＝cos＝－cos ＝－．]‎ 二、填空题 ‎6．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．‎ ‎2(答案不唯一)　[由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2．]‎ ‎7．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．‎ ‎6　[T＝，又T∈(1,3)，∴1<<3，又ω∈N*，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6．]‎ ‎8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝________．‎ ‎2　[∵f(x＋3)＝，‎ ‎∴f(x＋6)＝＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，‎ ‎∴f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．‎ 又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，‎ ‎∴f(2 020)＝2．]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．‎ - 5 -‎ ‎(1)求f(4)的值；‎ ‎(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sin＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．‎ ‎[解]　(1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0．‎ ‎(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，‎ ‎∴f(－4＋x)＝sin＋1＝sinx＋1，‎ ‎∴f(x)＝f(－4＋x)＝sinx＋1．‎ ‎10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：‎ ‎(1)单摆运动的周期是多少？‎ ‎(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？‎ ‎(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？‎ ‎[解]　(1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0．4 s．‎ ‎(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．‎ ‎(3)11＝0．2＋0．4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是‎0 cm．‎ ‎1．已知函数f(x)＝sin ，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝(　　)‎ A． B．－　　　　 ‎ C． －　　　　 D．0‎ D　[f(x)的周期T＝＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin ＋sin ＋sin π＋sin ＋sin ＋sin 2π＝0．‎ 原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4) ＋f(5)＝0．故选D．]‎ - 5 -‎ ‎2．设函数f(x)＝3sin，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sin α的值为(　　)‎ A． B．或－ C． D．或－ D　[∵f(x)的最小正周期为，ω>0，∴ω＝＝4．‎ ‎∴f(x)＝3sin．‎ 由f＝3sin＝3cos α＝，‎ ‎∴cos α＝．‎ ‎∴sin α＝±＝±．]‎ ‎3．函数y＝2cos(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________．‎ ‎－　[由周期公式可知4π＝⇒|ω|＝，由ω＜0，可知ω＝－．]‎ ‎4．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．‎ 　[函数y＝Asin ωx的最小正周期为，因为在每一个周期内， 函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49个周期，即解得ω≥，所以ω的最小值为．]‎ ‎5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．‎ ‎(1)求证：函数f(x)是周期函数；‎ ‎(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．‎ ‎[解]　(1)证明：∵f(x＋2)＝－，‎ ‎∴f(x＋4)＝－ - 5 -‎ ‎＝－＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．‎ ‎(2)∵4是f(x)的一个周期，‎ ‎∴f(5)＝f(1)＝－5，‎ ‎∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)‎ ‎＝－＝－＝．‎ - 5 -‎