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  • 2021-07-01 发布

2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

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‎2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1.在等差数列{an}中,a1=2,a6=17,则a14=(  )‎ A.45 B.41 C.39 D.37‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的通项公式得到进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 等差数列{an}中,a1=2,a6=17,根据通项公式得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为:B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的通项公式的应用,基本量的计算,题目比较基础.‎ ‎2.与的等比中项等于( )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比中项的性质列出方程,求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据等比数列的性质,设等比中项为x,则 ‎ 故答案为:A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比中项的性质及其应用,比较简单.‎ ‎3.在△ABC中,若a=6,b=9,A=30°,则此三角形 (  )‎ A.有两解 B.有一解 C.无解 D.解的个数不确定 ‎【答案】A ‎【解析】由a与b的值和A的度数,根据正弦定理求出sinB的值,图像的交点个数得到B有两个值满足题意,即可得到满足条件的三角形有2个.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理得,‎ 因为B∈(0,),‎ 如图直线有两个不同的交点,‎ 所以B=arcsin或π﹣arcsin 则满足条件的三角形有2个 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值,掌握正弦函数的图象与性质,会根据三角函数值求对应的角,是一道中档题.‎ ‎4.在△ABC中,已知a=1,b=,A=30°,B为锐角,那么B的大小为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理,求得sinB的值,进而求得B.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎∴B=或 ‎∵B为锐角 ‎∴B=,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理边角互化的应用以及特殊角的三角函数值.考查了学生的基础知识的熟练掌握.‎ ‎5.在△ABC中,已知三边a=3,b=5,c=7,则三角形ABC是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】何种三角形取决于最大的角.最长的边所对的角最大,由余弦定理知:‎ cos C==-<0,所以C为钝角.‎ 故选:C ‎6.在△ABC中,已知三边a、b、c满足,则C的值为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.135°‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知结合余弦定理可求cosC的值,结合C的范围及特殊角的三角函数值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中,∵,‎ ‎∴由余弦定理可得:cosC===,‎ ‎∵C∈(0°,180°),‎ ‎∴C=45°.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.‎ ‎7.已知等差数列中,则的值为( )‎ A.6 B.8 C.2 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的性质得到.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中,根据等差数列的性质得到.‎ 故答案为:C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的性质的应用,题目比较简单.‎ ‎8.在锐角中,角所对的边长分别为.若( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理得到,进而得到角A.‎ ‎【详解】‎ 根据正弦定理得到.‎ 进而得到A=或.因为三角形是锐角三角形,故得到角A=.‎ 故答案为:C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了正弦定理的边角互化的应用,以及特殊角的三角函数值的应用,题目比较简单.‎ ‎9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=,则tanA=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据余弦定理求得角A的余弦值,再由同角三角函数关系得到正弦值,最终得到正切值.‎ ‎【详解】‎ ‎△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=,‎ 根据余弦定理得到 ‎ 根据角A为三角形内角故正弦值一定大于0,‎ 以及 故答案为:B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了解三角形中余弦定理的应用,以及同角三角函数关系的应用,题目比较基础.‎ ‎10.等比数列中,若,且,则公比q=( )‎ A.2 B. C.-2 D.-‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列的性质得到 ,结合,得到结果.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中,若 ,又因为,故 ‎ 故答案为:B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比数列的性质的应用,以及等比数列的基本量的计算,属于基础题目.‎ ‎11.设是公差为正数的等差数列,若,,则公差等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的通项公式得到即,再由80, 化简得到,二元化一元得到公差.‎ ‎【详解】‎ 设是公差为正数的等差数列,若15,根据等差数列通项公式得到即;‎ ‎80,则=16,化简得到,将代入得到d=3.‎ 故答案为:B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等差数列的通项公式的应用,以及基本量的计算.属于基础题目.‎ ‎12.已知等比数列满足,且,则++ 等于(  )‎ A.45 B.36 C.16 D.25‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等比数列的性质得到原式等于,将代入得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 等比数列,根据等比数列等比中项的性质得到:‎ ‎++ ‎ 因为,代入上式得到原式等于25.‎ 故答案为:D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了等比数列的等比中项的性质,属于基础题;对于等比等差数列的 小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.‎ 二、解答题 ‎13.已知数列是等差数列,;数列的前项和是,且+=1.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求证:数列是等比数列.‎ ‎【答案】(1) (2)略 ‎【解析】(1)设{an}的公差为d,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项;(2)运用数列的递推式,结合等比数列的定义,即可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设{an}的公差为d,‎ ‎∵a2=6,a5=18,‎ ‎∴a1+d=6,a1+4d=18,‎ ‎∴a1=2,d=4. ‎ ‎∴an=2+4(n﹣1)=4n﹣2. ‎ ‎(2)证明:当n=1时,b1=T1,由T1+b1=1,得b1=. ‎ 当n≥2时,Tn=1,Tn﹣1=1﹣bn﹣1,‎ ‎∴Tn﹣Tn﹣1=(bn﹣1﹣bn),即bn=(bn﹣1﹣bn),‎ ‎∴bn=bn﹣1.‎ ‎∴数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法,以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:分组求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎14.已知为等差数列,且,.‎ ‎(1)求的通项公式; ‎ ‎(2)若等比数列满足,,求数列的前项和公式.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、‎ ‎(1)设公差为,由已知得 解得 ‎(2),等比数列的公比 利用公式得到和。‎ ‎15.已知等差数列是递增数列,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,用裂项相消法求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设首项为a1,公差为d的等差数列{an}是递增数列,‎ 且a1a5=9,.‎ 则:,‎ 解得:a1=1或9,a5=9或1,‎ 由于数列为递增数列,‎ 则:a1=1,a5=9.‎ 故:d=2‎ 则:an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.‎ ‎(2)由于an=2n﹣1,‎ 则:bn==,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ 所以:Sn=b1+b2+…+bn,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。‎ ‎16.在锐角中,分别为角所对的边,且.‎ ‎(1)确定角 的大小;‎ ‎(2)若 ,且的面积为 ,求的值.‎ ‎【答案】(I) (II)‎ ‎【解析】(1).由整理得:,问题得解。‎ ‎(2)由的面积为列方程求得,由余弦定理得,从而求得,问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由及正弦定理得, ‎ ‎∵,∴‎ ‎∵是锐角三角形,∴‎ ‎(2)解法1:∵,,由面积公式得即,①‎ 由余弦定理得即,②‎ 由②变形得,故;‎ 解法2:前同解法1,联立①、②得 ‎ 消去并整理得,解得或,‎ 所以或,故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式,考查计算能力,属于基础题。‎ ‎17.在△ABC中,且bccosA=S△ABC(其中S△ABC为△ABC的面积).‎ ‎(1)求cosA的值;‎ ‎(2) 若b=2,S△ABC=3,求a的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)利用三角形面积公式得到角A的正切值,再由同角三角函数的基本关系求出cosA的值;(2)根据b=2,△ABC的面积S△ABC=3,求出c的值及cosA的值,再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=13,求出a的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵bccosA=S△ABC,∴,‎ ‎∴>0,故角A是第一象限角.‎ 又sin2A+cos2A=1,A∈(0,)∴,cosA=‎ ‎(2),∴c=5.‎ ‎∵,,∴‎ a2=b2+c2﹣2bccosA=13,∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题;在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据;解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 ‎ 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎18.已知正项等差数列中,且,,成等比数列。‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记前项和是,用错位相减法求.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】(1)利用S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,确定两个方程,即可求{an}的通项公式;(2)确定数列的通项,利用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设公差为d,则∵S3=12,,即a1+a2+a3=12,∴3a2=12,∴a2=4,‎ 又∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴a22=2(a2﹣d)(a2+d+1),解得d=3或d=﹣4(舍去),‎ ‎∴an=a2+(n﹣2)d=3n﹣2.‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 两式相减得到 ‎ ‎ ‎ 化简得到.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列的通项公式的求法,以及数列求和的方法的应用,数列通项的求法中常见的题型有:已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。‎ 三、填空题 ‎19.在中,,,,则B等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理即可求得,再由知,从而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 在中,,,,‎ 由正弦定理得:‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理,熟记正弦定理,在中,知是关键,属于基础题.‎ ‎20.已知数列的前n项和,则数列的通项 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当n=1时,S1=1‎ 当n时,Sn ‎∴‎ ‎21.已知等差数列中,,当 ______时,取最大值.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差,由此求出通项公式,利用配方法能求出结果 ‎【详解】‎ 等差数列中,,且,‎ ‎,解得,‎ ‎.‎ 时,取得最大值.‎ 故答案为:7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数n的求法,解题时要认真审题,注意配方法的合理运用,是基础题.‎ ‎22.在数列中, ,,则数列的通项____.‎ ‎【答案】2n+3‎ ‎【解析】根据题干得到将式子累加得到通项.‎ ‎【详解】‎ 数列中,,,根据这一表达式继续推导得到 将这些式子累加得到: ‎ 将代入得到.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列通项的求法,根据递推关系得到数列前后两项的关系,通过累加法得到式子的和,进而得到数列通项.属于中档题.‎