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- 2021-07-01 发布
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2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1.在等差数列{an}中,a1=2,a6=17,则a14=( )
A.45 B.41 C.39 D.37
【答案】B
【解析】根据等差数列的通项公式得到进而得到结果.
【详解】
等差数列{an}中,a1=2,a6=17,根据通项公式得到
故答案为:B.
【点睛】
这个题目考查了等差数列的通项公式的应用,基本量的计算,题目比较基础.
2.与的等比中项等于( )
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】根据等比中项的性质列出方程,求解即可.
【详解】
根据等比数列的性质,设等比中项为x,则
故答案为:A.
【点睛】
这个题目考查了等比中项的性质及其应用,比较简单.
3.在△ABC中,若a=6,b=9,A=30°,则此三角形 ( )
A.有两解 B.有一解 C.无解 D.解的个数不确定
【答案】A
【解析】由a与b的值和A的度数,根据正弦定理求出sinB的值,图像的交点个数得到B有两个值满足题意,即可得到满足条件的三角形有2个.
【详解】
根据正弦定理得,
因为B∈(0,),
如图直线有两个不同的交点,
所以B=arcsin或π﹣arcsin
则满足条件的三角形有2个
故选:A.
【点睛】
此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值,掌握正弦函数的图象与性质,会根据三角函数值求对应的角,是一道中档题.
4.在△ABC中,已知a=1,b=,A=30°,B为锐角,那么B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】利用正弦定理,求得sinB的值,进而求得B.
【详解】
∴B=或
∵B为锐角
∴B=,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理边角互化的应用以及特殊角的三角函数值.考查了学生的基础知识的熟练掌握.
5.在△ABC中,已知三边a=3,b=5,c=7,则三角形ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【答案】C
【解析】何种三角形取决于最大的角.最长的边所对的角最大,由余弦定理知:
cos C==-<0,所以C为钝角.
故选:C
6.在△ABC中,已知三边a、b、c满足,则C的值为( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
【答案】B
【解析】由已知结合余弦定理可求cosC的值,结合C的范围及特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】
在△ABC中,∵,
∴由余弦定理可得:cosC===,
∵C∈(0°,180°),
∴C=45°.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.
7.已知等差数列中,则的值为( )
A.6 B.8 C.2 D.4
【答案】C
【解析】根据等差数列的性质得到.
【详解】
等差数列中,根据等差数列的性质得到.
故答案为:C.
【点睛】
这个题目考查了等差数列的性质的应用,题目比较简单.
8.在锐角中,角所对的边长分别为.若( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据正弦定理得到,进而得到角A.
【详解】
根据正弦定理得到.
进而得到A=或.因为三角形是锐角三角形,故得到角A=.
故答案为:C.
【点睛】
这个题目考查了正弦定理的边角互化的应用,以及特殊角的三角函数值的应用,题目比较简单.
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=,则tanA=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据余弦定理求得角A的余弦值,再由同角三角函数关系得到正弦值,最终得到正切值.
【详解】
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=,
根据余弦定理得到
根据角A为三角形内角故正弦值一定大于0,
以及
故答案为:B.
【点睛】
这个题目考查了解三角形中余弦定理的应用,以及同角三角函数关系的应用,题目比较基础.
10.等比数列中,若,且,则公比q=( )
A.2 B. C.-2 D.-
【答案】B
【解析】根据等比数列的性质得到 ,结合,得到结果.
【详解】
等比数列中,若 ,又因为,故
故答案为:B.
【点睛】
这个题目考查了等比数列的性质的应用,以及等比数列的基本量的计算,属于基础题目.
11.设是公差为正数的等差数列,若,,则公差等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】根据等差数列的通项公式得到即,再由80, 化简得到,二元化一元得到公差.
【详解】
设是公差为正数的等差数列,若15,根据等差数列通项公式得到即;
80,则=16,化简得到,将代入得到d=3.
故答案为:B.
【点睛】
这个题目考查了等差数列的通项公式的应用,以及基本量的计算.属于基础题目.
12.已知等比数列满足,且,则++ 等于( )
A.45 B.36 C.16 D.25
【答案】D
【解析】根据等比数列的性质得到原式等于,将代入得到结果即可.
【详解】
等比数列,根据等比数列等比中项的性质得到:
++
因为,代入上式得到原式等于25.
故答案为:D.
【点睛】
这个题目考查了等比数列的等比中项的性质,属于基础题;对于等比等差数列的 小题,常用到的方法,其一是化为基本量即首项和公比或者公差,其二是观察各项间的脚码关系,即利用数列的基本性质.
二、解答题
13.已知数列是等差数列,;数列的前项和是,且+=1.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等比数列.
【答案】(1) (2)略
【解析】(1)设{an}的公差为d,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项;(2)运用数列的递推式,结合等比数列的定义,即可得证.
【详解】
(1)设{an}的公差为d,
∵a2=6,a5=18,
∴a1+d=6,a1+4d=18,
∴a1=2,d=4.
∴an=2+4(n﹣1)=4n﹣2.
(2)证明:当n=1时,b1=T1,由T1+b1=1,得b1=.
当n≥2时,Tn=1,Tn﹣1=1﹣bn﹣1,
∴Tn﹣Tn﹣1=(bn﹣1﹣bn),即bn=(bn﹣1﹣bn),
∴bn=bn﹣1.
∴数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法,以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:分组求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
14.已知为等差数列,且,.
(1)求的通项公式;
(2)若等比数列满足,,求数列的前项和公式.
【答案】(1);(2).
【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、
(1)设公差为,由已知得
解得
(2),等比数列的公比
利用公式得到和。
15.已知等差数列是递增数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,用裂项相消法求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式;(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和.
【详解】
(1)设首项为a1,公差为d的等差数列{an}是递增数列,
且a1a5=9,.
则:,
解得:a1=1或9,a5=9或1,
由于数列为递增数列,
则:a1=1,a5=9.
故:d=2
则:an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)由于an=2n﹣1,
则:bn==,
=,
=.
所以:Sn=b1+b2+…+bn,
=,
=,
=.
【点睛】
本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
16.在锐角中,分别为角所对的边,且.
(1)确定角 的大小;
(2)若 ,且的面积为 ,求的值.
【答案】(I) (II)
【解析】(1).由整理得:,问题得解。
(2)由的面积为列方程求得,由余弦定理得,从而求得,问题得解。
【详解】
(1)由及正弦定理得,
∵,∴
∵是锐角三角形,∴
(2)解法1:∵,,由面积公式得即,①
由余弦定理得即,②
由②变形得,故;
解法2:前同解法1,联立①、②得
消去并整理得,解得或,
所以或,故.
【点睛】
本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式,考查计算能力,属于基础题。
17.在△ABC中,且bccosA=S△ABC(其中S△ABC为△ABC的面积).
(1)求cosA的值;
(2) 若b=2,S△ABC=3,求a的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)利用三角形面积公式得到角A的正切值,再由同角三角函数的基本关系求出cosA的值;(2)根据b=2,△ABC的面积S△ABC=3,求出c的值及cosA的值,再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=13,求出a的值.
【详解】
(1)∵bccosA=S△ABC,∴,
∴>0,故角A是第一象限角.
又sin2A+cos2A=1,A∈(0,)∴,cosA=
(2),∴c=5.
∵,,∴
a2=b2+c2﹣2bccosA=13,∴.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,属于难题;在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据;解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、
时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
18.已知正项等差数列中,且,,成等比数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)记前项和是,用错位相减法求.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)利用S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,确定两个方程,即可求{an}的通项公式;(2)确定数列的通项,利用错位相减法求数列的和.
【详解】
(1)设公差为d,则∵S3=12,,即a1+a2+a3=12,∴3a2=12,∴a2=4,
又∵2a1,a2,a3+1成等比数列,∴a22=2(a2﹣d)(a2+d+1),解得d=3或d=﹣4(舍去),
∴an=a2+(n﹣2)d=3n﹣2.
(2)
两式相减得到
化简得到.
【点睛】
这个题目考查了数列的通项公式的求法,以及数列求和的方法的应用,数列通项的求法中常见的题型有:已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。
三、填空题
19.在中,,,,则B等于______.
【答案】
【解析】利用正弦定理即可求得,再由知,从而可得答案.
【详解】
在中,,,,
由正弦定理得:
,
又,
,
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查正弦定理,熟记正弦定理,在中,知是关键,属于基础题.
20.已知数列的前n项和,则数列的通项 ______.
【答案】
【解析】当n=1时,S1=1
当n时,Sn
∴
21.已知等差数列中,,当 ______时,取最大值.
【答案】7
【解析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差,由此求出通项公式,利用配方法能求出结果
【详解】
等差数列中,,且,
,解得,
.
时,取得最大值.
故答案为:7.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数n的求法,解题时要认真审题,注意配方法的合理运用,是基础题.
22.在数列中, ,,则数列的通项____.
【答案】2n+3
【解析】根据题干得到将式子累加得到通项.
【详解】
数列中,,,根据这一表达式继续推导得到
将这些式子累加得到:
将代入得到.
故答案为:.
【点睛】
这个题目考查了数列通项的求法,根据递推关系得到数列前后两项的关系,通过累加法得到式子的和,进而得到数列通项.属于中档题.