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  • 2021-07-01 发布

2019年高考数学练习题汇总(八)随机变量及其概率分布

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‎(八)随机变量及其概率分布 ‎1.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个,从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,每次摸取1个球,取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止.用X表示取球终止时取球的总次数.‎ ‎(1)求袋中原有白球的个数;‎ ‎(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X).‎ 解 (1)设袋中原有n个白球,则从9个球中任取2个球都是白球的概率为,‎ 由题意知=,化简得n2-n-30=0,‎ 解得n=6或n=-5(舍去),故袋中原有白球的个数为6.‎ ‎(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4.‎ P(X=1)==,P(X=2)==,‎ P(X=3)==,P(X=4)==.‎ 所以取球次数X的概率分布为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所求数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.‎ ‎2.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为P1=,乙的命中率为P2,在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测.在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”.‎ ‎(1)若P2=,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;‎ ‎(2)在2018年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ,如果E(ξ)≥5,求P2的取值范围.‎ 解 (1)所求概率P=+=.‎ ‎(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为 P=[C·P2·(1-P2)]+P=P2-P.‎ 而ξ~B(12,P),所以E(ξ)=12P,‎ 由E(ξ)≥5知,·12≥5,‎ 解得≤P2≤.‎ 又0≤P2≤1,∴≤P2≤1.‎ ‎3.(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出m个.‎ ‎(1)若m=1,求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率;‎ ‎(2)若m=2,记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E(ξ).‎ 解 (1)当m=1时,记事件A:“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.‎ 则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25-1=31,其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23-1=7,全为偶数的子集数为22-1=3,‎ 所以P(A)==.‎ ‎(2)当m=2时,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,‎ 则P(ξ=0)===,‎ P(ξ=1)===,‎ P(ξ=2)===,‎ P(ξ=3)===,‎ P(ξ=4)===,‎ 所以ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以ξ的数学期望 E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×=.‎ ‎4.(2018·启东模拟)如图,已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长为2,高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形,设随机变量X表示所得三角形的面积.‎ ‎(1)求概率P(X=)的值;‎ ‎(2)求X的概率分布,并求其数学期望E(X).‎ 解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形,共有C=35(种)取法.其中X=的三角形如△ABF,这类三角形共有6个.‎ 因此P(X=)==.‎ ‎(2)由题意知,X的可能取值为,2,,2,3.‎ 其中X=的三角形如△ABF,这类三角形共有6个;‎ 其中X=2的三角形有两类,如△SAD(3个),△SAB(6个),共有9个;‎ 其中X=的三角形如△SBD,这类三角形共有6个;‎ 其中X=2的三角形如△CDF,这类三角形共有12个;‎ 其中X=3的三角形如△BDF,这类三角形共有2个.‎ 因此P(X=)=,P(X=2)=,P(X=)=,‎ P(X=2)=,P(X=3)=.‎ 所以随机变量X的概率分布为 X ‎2‎ ‎2 ‎3 P(X)‎ 所求数学期望E(X)=×+2×+×+2×+3×=.‎