2019年高考数学练习题汇总5_函数与导数 6页

‎5.函数与导数 ‎1.设函数f(x)＝xln x＋ax，a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)在上的最小值；‎ ‎(3)若g(x)＝f(x)＋ax2－(2a＋1)x，求证：a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.‎ ‎(1)解　由f(x)＝xln x＋ax，得f′(x)＝ln x＋a＋1.‎ 当a＝1时，f′(x)＝ln x＋2，f(1)＝1，f′(1)＝2，‎ 求得切线方程为y＝2x－1.‎ ‎(2)解　令f′(x)＝0，得x＝e－(a＋1).‎ ‎∴当e－(a＋1)≤，即a≥0时，x∈时f′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，‎ 此时f(x)min＝f ＝.‎ 当e－(a＋1)≥e，即a≤－2时，x∈时f′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，此时f(x)min＝f(e)＝ae＋e.‎ 当0，f(x)单调递增，此时f(x)min＝f(e－(a＋1))＝－e－(a＋1).‎ ‎(3)证明　g′(x)＝f′(x)＋ax－(2a＋1)‎ ‎＝ln x＋ax－a＝ln x＋a(x－1)，‎ ‎∴当a≥0时，x∈(1,2)时，ln x>0，a(x－1)≥0，‎ g′(x)>0恒成立，‎ 函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；‎ 又当a＝－时，代入g′(x)＝ln x＋a(x－1)‎ ‎＝ln x－x＋.‎ 设h(x)＝g′(x)＝ln x－x＋，x∈(1,2)，‎ 则h′(x)＝－＝>0(x∈(1,2))恒成立，‎ ‎∴当x∈(1,2)时，h(x)单调递增.‎ 又h(1)＝0，∴当x∈(1,2)时，h(x)>0恒成立.‎ 而h(x)＝g′(x)，‎ ‎∴当x∈(1,2)时，g′(x)>0恒成立，‎ 函数y＝g(x)单调递增，‎ ‎∴必要条件不成立.‎ 综上，a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.‎ ‎2.已知函数f(x)＝ln x＋－1，a∈R.‎ ‎(1)若关于x的不等式f(x)>－x＋1在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(2)设函数g(x)＝，证明：当a≥时，g(x)在[1，e2]上不存在极值.‎ ‎(1)解　由f(x)>－x＋1，得ln x＋－1>－x＋1.‎ 即a>－xln x－x2＋2x在[1，＋∞)上恒成立.‎ 设m(x)＝－xln x－x2＋2x，x≥1，‎ 则m′(x)＝－ln x－2x＋1.‎ ‎∵x∈[1，＋∞)，∴－ln x≤0，－2x＋1<0.‎ ‎∴当x∈[1，＋∞)时， m′(x)＝－ln x－2x＋1<0.‎ ‎∴m(x)在[1，＋∞)上单调递减.‎ ‎∴当x∈[1，＋∞)时， m(x)≤m(x)max＝m(1)＝1.‎ ‎∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞).‎ ‎(2)证明　∵g(x)＝－＋，x∈.‎ ‎∴g′(x)＝＋－＝.‎ 设h(x)＝2x－xln x－2a，x∈[1，e2]，‎ 则h′(x)＝2－(1＋ln x)＝1－ln x.‎ 令h′(x)＝0，得x＝e.‎ 当1≤x0；当e0得01；‎ 若0<<1，即a>时，由g′>0得x>1或01，即00得x>或0时，函数g在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎4.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).‎ ‎(1)当a＝5时，求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方程；‎ ‎(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；‎ ‎(3)若存在两个不等实数x1，x2∈，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e，g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e，‎ 所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).‎ 因为f′(x)＝ln x＋1，‎ 所以在(0，＋∞)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值(最小值)‎ ‎↗‎ 当t≥时，在区间[t，t＋2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tln t；当00，‎ 则h′(x)＝1＋－＝.‎ 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎(1，e)‎ h′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ ‎↘‎ 极小值(最小值)‎ ‎↗‎ 因为h＝＋3e－2，h(e)＝＋e＋2，h(1)＝4，‎ 所以h(e)－h＝4－2e＋<0，‎ 所以h(e)0，即a>－1时，令h′(x)>0，∵x>0，∴x>1＋a，令h′(x)<0，∵x>0，∴00恒成立，∴h(x)的单调递增区间为(0，＋∞).‎ ‎①当a＋1≥e，即a≥e－1时，h(x)在[1，e]上单调递减，‎ ‎∴h(x)min＝h(e)＝e＋－a≤0，‎ ‎∴a≥，∵>e－1，∴a≥；‎ ‎②当a＋1≤1，即a≤0时，h(x)在[1，e]上单调递增，‎ ‎∴h(x)min＝h(1)＝1＋1＋a≤0，∴a≤－2；‎ ‎③当12，此时不存在x，使h(x)≤0成立.‎ 综上，实数a的取值范围为(－∞，－2]∪.‎ ‎6.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.‎ ‎(1)若a<0，试求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；‎ ‎(3)如果对于一切x1，x2，x3∈[0,1]，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围.‎ ‎(1)解　函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a).‎ 因为a<0，由f′(x)<0，解得0，所以00，f(x)单调递增.‎ 所以当x＝时，f(x)有最小值f＝－a3＋2.‎ 从而条件转化为 由①得a<；由②得a<，再根据00，所以g(a)为增函数.‎ 又g(2)＝－<0，所以当a∈时，g(a)<0恒成立，即③成立.‎ 所以a的取值范围为.‎