北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学（PDF版） 13页

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2021-07-01 发布

北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学（PDF版）

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北京市西城区 2019-2020 学年度第一学期期末试卷高三数学第 1 页 (共 5 页) 北京市西城区 2019 — 2020 学年度第一学期期末试卷高三数学 2020.1 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。第 Ⅰ 卷 (选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分 . 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 . 1.设集合A={x|xy,且xy≠0,则下列不等式中一定成立的是 (A)1x >1y (B)ln|x|>ln|y| (C)2 -x <2 -y (D)x2 >y2 5.已知直线x+y+2=0 与圆x2 +y2 +2x-2y+a=0 有公共点,则实数a 的取值范围为 (A)(- ¥,0] (B)[0,+ ¥) (C)[0,2) (D)(- ¥,2) 北京市西城区 2019-2020 学年度第一学期期末试卷高三数学第 2 页 (共 5 页) 6.设三个向量a,b,c 互不共线,则 “a+b+c=0”是 “以 |a|,|b|,|c| 为边长的三角形存在”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据 (单位:cm),那么该壶的容量约为 (A)100cm 3 (B)200cm 3 (C)300cm 3 (D)400cm 3 8.已知函数f(x)= x+1+k,若存在区间 [a,b],使得函数f(x)在区间 [a,b]上的值域为 [a+1,b+1],则实数k 的取值范围为 (A)(-1,+ ¥) (B)(-1,0] (C)(-1 4,+ ¥) (D)(-1 4,0] 北京市西城区 2019-2020 学年度第一学期期末试卷高三数学第 3 页 (共 5 页) 第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在 (1-x)5 的展开式中,x2 的系数为 . 10.已知向量a=(-4,6),b=(2,x)满足a∥b,其中x∈R,那么 |b|= . 11.在公差为d (d≠0)的等差数列 {an }中,a1=-1,且a2,a4,a12 成等比数列, 则d= . 12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有个. 13.对于双曲线,给出下列三个条件: ① 离心率为 2; ② 一条渐近线的倾斜角为 30°; ③ 实轴长为 8,且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 . 14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来 20 天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=1 4 t+10, 且日销售量y (单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t. ① 第 4 天的销售利润为元; ② 在未来的这 20 天中,公司决定每销售 1 箱该水果就捐赠 m(m∈N* )元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m 的最小值是 . 北京市西城区 2019-2020 学年度第一学期期末试卷高三数学第 4 页 (共 5 页) 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数f(x)=2cosx ·sin(x-π 6). (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数f(x)在区间 [-π 2,0]上的最小值和最大值. 16.(本小题满分 13 分) 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统计,在 2018 年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取 100 人次作为样本,得到下表(单位:人次): 满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机 10 分(满意) 12 1 20 2 20 1 5 分(一般) 2 3 6 2 4 9 0 分(不满意) 1 0 6 3 4 4 (Ⅰ)在样本中任取 1 个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; (Ⅱ)在 2018 年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取 2 人次,记其中老年人出行的人次为 X.以频率作为概率,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)如果甲将要从 A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 17.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1 ⊥ 平面 ABC, △ABC 为正三角形, 侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形,D 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥ 平面 AC1D; (Ⅱ)求二面角C-AC1-D 的余弦值; (Ⅲ)试判断直线 A1B1 与平面 AC1D 的位置关系,并加以证明. 北京市西城区 2019-2020 学年度第一学期期末试卷高三数学第 5 页 (共 5 页) 18.(本小题满分 13 分) 已知椭圆W: x2 4+y2 =1 的右焦点为F,过点F 且斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆W 交于A,B 两点,线段 AB 的中点为M .O 为坐标原点. (Ⅰ)证明:点 M 在y 轴的右侧; (Ⅱ)设线段 AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点C,D.若 △ODC 与 △CMF 的面积相等,求直线l的斜率k. 19.(本小题满分 14 分) 已知函数f(x)=e x -ax+1 2 x2,其中a>-1. (Ⅰ)当a=0 时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)当a=1 时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若f(x)≥1 2 x2 +x+b 对于x∈R恒成立,求b-a 的最大值. 20.(本小题满分 13 分) 设整数集合 A={a1,a2,…,a100},其中 1≤a1 ，所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市. …………… 13 分 3 17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱 1 1 1ABC A B C- 为正三棱柱. 连接 1A C . 设 1 1AC AC E= ，则 E 是 1A C 的中点. 连接 DE . 由 D ， E 分别为 BC 和 1A C 的中点，得 1//DE A B . ……………… 2 分又因为 DE Ì 平面 1AC D ， 1A B Ë 平面 1AC D ，所以 1 //A B 平面 1AC D . ……………… 4 分（Ⅱ）取 1 1B C 的中点 F ，连接 DF . 因为△ ABC 为正三角形，且 D 为 BC 中点，所以 AD BC^ . 由 D ， F 分别为 BC 和 1 1B C 的中点，得 1//DF BB ，又因为 1BB ^ 平面 ABC ，所以 DF ^ 平面 ABC ，所以 DF AD^ ， DF BC^ . 分别以 DC ， DF ， DA 为轴， y 轴， z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5 分则 (0,0, 3)A ， 1(1,2,0)C ， (1,0,0)C ， (0,0,0)D ， ( 1,0,0)B - ，所以 1 (1,2,0)DC = ， (0,0, 3)DA = ， ( 1,0, 3)CA = - ， 1 (0,2,0)CC = ， …… 6 分设平面 1AC D 的法向量 1 1 1 1( , , )x y z=n ，由 1 0DA× =n ， 1 1 0DC × =n ，得 1 1 1 3 0, 2 0, z x y ì =ïí + =ïî 令 1 1y = ，得 1 ( 2,1,0)= -n . ……………… 8 分设平面 1AC C 的法向量 2 2 2 2( , , )x y z=n ， B1 C D B A A1 C1 z y x F B1 C D B A A1 C1 E 4 由 2 0CA× =n ， 1 2 0CC × =n ，得 2 2 2 3 0, 2 0, x z y ì- + =ïí =ïî 令 2 1z = ，得 2 ( 3,0,1)=n . ……………… 9 分设二面角 1C AC D- - 的平面角为q ，则 1 2 1 2 15| cos | | || | | | 5q ×= =× n n n n ，由图可得二面角 1C AC D- - 为锐二面角，所以二面角 1C AC D- - 的余弦值为 15 5 . ……………… 10 分（Ⅲ）结论：直线 1 1A B 与平面 1AC D 相交. ……………… 11 分证明：因为 ( 1,0, 3)AB = - - ， 1 1//A B AB ，且 1 1=A B AB ，所以 1 1 ( 1,0, 3)A B = - - . ……………… 12 分又因为平面 1AC D 的法向量 1 ( 2,1,0)= -n ，且 1 1 1 2 0A B × = ¹n ，所以 1 1A B 与 1n 不垂直，所以 1 1A B Ë 平面 1AC D ，且 1 1A B 与平面 1AC D 不平行，故直线 1 1A B 与平面 1AC D 相交. ……………… 14 分 18．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由题意，得 ( 3,0)F ，直线 ( 3)l y k x= -：（ 0k ¹ ）， ……………… 2 分设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，联立 2 2 ( 3), 1,4 y k x x y ì = -ïí + =ïî 消去 y ，得 2 2 2 2(4 1) 8 3 (12 4) 0k x k x k+ - + - = ，…… 3 分显然 0D > ， 2 1 2 2 8 3 4 1 kx x k+ = + ， ……………… 4 分则点 M 的横坐标 2 1 2 2 4 3 2 4 1M x x kx k += = + ， ……………… 5 分 5 因为 2 2 4 3 04 1M kx k= >+ ，所以点 M 在 y 轴的右侧. ……………… 6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）得点 M 的纵坐标 2 3( 3) 4 1M M ky k x k -= - = + . ……………… 7 分即 2 2 2 4 3 3( , )4 1 4 1 k kM k k-+ + . 所以线段 AB 的垂直平分线方程为： 2 2 2 3 1 4 3( )4 1 4 1 k ky xk k k+ = - -+ + . ……… 8 分令 0x = ，得 2 3 3(0, )4 1 kD k + ；令 0y = ，得 2 2 3 3( ,0)4 1 kC k + . ……………… 9 分所以△ODC 的面积 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3 27 | || | | |=2 4 1 4 1 2(4 1)ODC k k k kS k k kD ×= × ×+ + + ， ……… 10 分 △CMF 的面积 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 3( 1) | || 3 | | |2 4 1 4 1 2(4 1)CMF k k k kS k k kD + ×= × - × - =+ + + . …… 11 分因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以 2 2 2 2 2 2 27 | | 3( 1) | | 2(4 1) 2(4 1) k k k k k k × + ×=+ + ，解得 2 4k = ± . 所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率 2 4k = ± . ……… 13 分 19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由 21( ) e 2 xf x x= + ，得 ( ) exf x x¢ = + , ……………… 2 分所以 (0) 1f = ， (0) 1f ¢ = . 所以曲线 ( )y f x= 在点(0, (0))f 处的切线方程为 1 0x y- + = . …………… 4 分（Ⅱ）由 21( ) e 2 xf x x x= - + ，得 ( ) e 1xf x x¢ = - + ， 6 则 (0) 0f ¢ = . ……………… 5 分当 0x > 时，由e 1 0, 0x x- > > ，得 ( ) e 1 0xf x x¢ = - + > ，所以函数 ( )f x 在 (0, )+¥ 上单调递增； ……………… 7 分当 0x < 时，由e 1 0, 0x x- < < ，得 ( ) e 1 0xf x x¢ = - + < ，所以函数 ( )f x 在 ( ,0)-¥ 上单调递减. 综上，函数 ( )f x 的单调递增区间为(0, )+¥ ，单调递减区间为( ,0)-¥ . … 8 分（Ⅲ）由 21( ) 2f x x x b+ +≥ ，得e ( 1) 0x a x b- + - ≥ 在 xÎR 上恒成立. 设 ( ) e ( 1)xg x a x b= - + - ， ……………… 9 分则 ( ) e ( 1)xg x a¢ = - + . 由 ( ) e ( 1) 0xg x a¢ = - + = ，得 ln( 1)x a= + ，（ 1a > - ）. ……………… 10 分随着 x 变化， ( )g x¢ 与 ( )g x 的变化情况如下表所示： x ( ,ln( 1))a-¥ + ln( 1)a + (ln( 1), )a + +¥ ( )g x¢ 0 + ( )g x ↘ 极小值 ↗ 所以 ( )g x 在 ( ,ln( 1))a-¥ + 上单调递减，在(ln( 1), )a + +¥ 上单调递增. 所以函数 ( )g x 的最小值为 (ln( 1)) ( 1) ( 1)ln( 1)g a a a a b+ = + - + + - . 由题意，得 (ln( 1)) 0g a + ≥ ，即 1 ( 1)ln( 1)b a a a- - + +≤ . …………… 12 分设 ( ) 1 ln ( 0)h x x x x= - > ，则 ( ) ln 1h x x¢ = - - . 因为当 10 ex< < 时， ln 1 0x- - > ；当 1 ex > 时， ln 1 0x- - < ，所以 ( )h x 在 1(0, )e 上单调递增，在 1( , )e +¥ 上单调递减. 7 所以当 1 ex = 时， max 1 1( ) ( ) 1e eh x h= = + . 所以当 11 ea + = ， 1 ( 1)ln( 1)b a a a= + - + + ，即 1 1ea = - ， 2 eb = 时，b a- 有最大值为 11 e+ . …………… 14 分 20．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如 {1,2,3, ,100}A = ； ……………… 3 分（Ⅱ）假设存在一个 0 {101,102, , 200}x Î 使得 0x AÎ , ……………… 4 分令 0 100x s= + ，其中 sÎN 且1 00s≤ ≤1 ，由题意，得 100 sa a A+ Î ， ……………… 6 分由 sa 为正整数，得 100 100sa a a+ > ，这与 100a 为集合 A中的最大元素矛盾，所以任意 {101,102, , 200}xÎ ， x AÏ . ……………… 8 分（Ⅲ）设集合 {201, 202, , 205}A 中有 (1 5)m m≤ ≤ 个元素， 100 ma b- = ，由题意，得 1 2 100 200ma a a -< < < ≤ ， 100 1 100 2 100200 m ma a a- + - +< < < < ，由（Ⅱ），得 100 100ma b- = ≤ . 假设 100b m> - ，则 100 0b m- + > . 因为 100 100 100 5 5 100b m m- + - + = < -≤ ，由题设条件，得 100 100m b ma a A- - ++ Î ，因为 100 100 100 100 200m b ma a- - ++ + =≤ ，所以由（Ⅱ）可得 100 100 100m b ma a- - ++ ≤ ，这与 100 ma - 为 A中不超过100的最大元素矛盾，所以 100 100ma m- -≤ ，又因为 1 2 1001 ma a a -< < <≤ ， ia ÎN ，所以 (1 100 )ia i i m= -≤ ≤ . ……………… 10 分 8 任给集合{201,202,203,204}的 1m- 元子集 B ，令 0 {1,2, ,100 } {205}A m B= - ，以下证明集合 0A 符合题意：对于任意 ,i j 00)(1 i j≤ ≤ ≤1 ，则 200i j+ ≤ . 若 0i j A+ Î ，则有 mi j+ ≤100- ，所以 ia i= ， ja j= ，从而 0i ja a i j A+ = + Î . 故集合 0A 符合题意， ……………… 12 分所以满足条件的集合 A的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合 A有 42 16= 个. ……………… 13 分

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