【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析_可编辑】 8页

‎【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析 可编辑】‎ 真水无香 tougao33‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 13 小题 ，共计72分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. （5分） 已知i为虚数单位，辅助z=‎‎1+2ii，则‎|z|=‎(        ) ‎ A.‎1‎ B. ‎2‎ C. ‎3‎ D. ‎5‎ ‎ ‎ ‎ ‎2. （5分） （兰州诊断）设全集U=R，集合M=‎x|x≥0‎，集合N=‎x|x‎2‎<1‎，则M∩‎∁‎UN=‎（        ） ‎ A.‎0,1‎ B.‎0,1‎ C.‎[1,+∞)‎ D.‎‎1,+∞‎ ‎ ‎ ‎3. （5分） 设a=‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎,b=‎1‎‎2‎‎1‎‎3‎,c=‎log‎2‎‎1‎‎3‎ ，则，b，c的大小关系是（        ） ‎ A. a‎x‎2‎，则第三个试点应选取在（ ） ‎ A.‎2.236‎ B.‎3.764‎ C.‎3.528‎ D.‎‎3.925‎ ‎ ‎ ‎5. （5分） 所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是（        ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎6. （5分） 从编号为‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎⋯‎，‎79‎的‎80‎件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是‎10‎的样本，若编号为‎58‎的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎72‎ B.‎74‎ C.‎76‎ D.‎‎78‎ ‎ ‎ ‎7. （5分） 已知cos(π‎2‎+α)=2cos(π-α)‎，则tan(π‎4‎+α)=‎(        ) ‎ A.‎3‎ B.‎-3‎ C. ‎-‎‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎ ‎ ‎8. （5分） 若向量a‎→‎‎=(2, -1)‎，b‎→‎‎=(0, 2)‎，则以下向量中与a‎→‎‎+‎b‎→‎垂直的是（ ） ‎ A.‎(1, -2)‎ B.‎(1, 2)‎ C.‎(2, 1)‎ D.‎‎(0, 2)‎ ‎ ‎ ‎9. （5分） 执行如图所示的程序框图，若输出的值为‎8‎，则框图中①处可以填(        ) ‎ A.S≥7?‎ B.S≥21?‎ C.S≥28?‎ D.‎S≥36?‎ ‎ ‎ ‎10. （5分） 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为‎60‎‎∘‎的直线A‎1‎B‎1‎和A‎2‎B‎2‎，使‎|A‎1‎B‎1‎|‎＝‎|A‎2‎B‎2‎|‎，其中A‎1‎、B‎1‎和A‎2‎、B‎2‎分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是‎(        )‎ ‎ A.‎(‎2‎‎3‎‎3‎,2]‎ B.‎[‎2‎‎3‎‎3‎,2)‎ C.‎(‎2‎‎3‎‎3‎,+∞)‎ D.‎‎[‎2‎‎3‎‎3‎,+∞)‎ ‎ ‎ ‎11. （5分） 在‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a‎2‎‎+c‎2‎=b‎2‎+2accosC且a=2bsinA，则A=‎(        ) ‎ A.π‎4‎ B.π‎6‎ C.π‎3‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎ ‎ ‎12. （5分） 已知直线l:kx-y-3k+1=0‎ 与椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎交于A，B两点，与圆C‎2‎ x-3‎‎2‎‎+y-1‎‎2‎=1‎交于C，D两点．若存在k∈‎‎-2,-1‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎，使得AC‎→‎‎=‎DB‎→‎,则椭圆C‎1‎的离心率的取值范围为(        ) ‎ A.‎[‎3‎‎3‎,‎6‎‎3‎]‎ B.‎[‎3‎‎3‎,1)‎ C.‎(0,‎3‎‎3‎]‎ D.‎‎[‎6‎‎3‎,1)‎ ‎ ‎ ‎13. （12分） 已知函数fx=‎3‎sinωx+acosωxω>0,a>0‎，对任意x‎1‎‎,x‎2‎∈R，fx‎1‎+fx‎2‎的最大值为‎4‎，若f(x)‎在‎0,π上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎4‎‎3‎‎,‎‎7‎‎3‎ B.‎4‎‎3‎‎,‎‎7‎‎3‎ C.‎7‎‎6‎‎,‎‎13‎‎6‎ D.‎‎7‎‎6‎‎,‎‎13‎‎6‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎14. 已知f(x)‎＝x‎2‎‎+‎ex，曲线y＝f(x)‎在点‎(0, 1)‎处的切线方程为________． ‎ ‎ ‎ ‎15. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有‎7‎层．每层悬挂的红灯数是上一层的‎2‎倍，共有‎381‎盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有________盏灯． ‎ ‎ ‎ ‎16. 已知函数fx=sinωx+‎π‎4‎ω∈N在‎0,π上仅有‎2‎个零点，设gx=‎2‎fx‎2‎+fx-‎π‎8‎，则gx 在区间‎0,π 上的取值范围为________. ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的棱长为‎1‎，M为棱CC‎1‎的中点，则点M到平面A‎1‎BD的距离是________. ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 12 分 ，共计72分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎18. 为了调查某地区义务教育阶段的学生在周末上网的情况，随机对男女各‎200‎名学生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计表： 表‎1‎：男、女生上网时间与频数分布表 附：公式k‎2‎‎=‎n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎，其中n=a+b+c+d. ‎(1)‎若用表‎1‎的数据来分析判断：某义务教育阶段学校共有女生‎600‎人，试估计其中上网时间不高于‎60‎分钟的人数；‎ ‎(2)‎完成答题卡上的‎2×2‎列联表，并回答能否有‎97.5%‎的把握认为“学生周末上网时间与性别有关？” ‎ ‎19. 已知等差数列‎{an}‎满足a‎3‎‎=5‎，a‎4‎‎+a‎8‎=22‎，‎{an}‎的前n项和为Sn， ‎ ‎(1)‎求an及Sn；‎ ‎(2)‎证明：对一切正整数n，有‎1‎S‎1‎‎+‎1‎S‎2‎+...+‎1‎Sn<‎‎7‎‎4‎．‎ ‎ ‎ ‎20. 如图所示，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，P为A‎1‎C‎1‎上任意一点，求证： ‎ ‎(1)‎平面A‎1‎DC‎1‎//‎平面AB‎1‎C；‎ ‎(2)DP//‎平面AB‎1‎C.‎ ‎ ‎ ‎21. 设函数f(x)=ax-ex.‎ ‎ ‎(1)‎求f(x)‎的单调区间；‎ ‎(2)‎若f(x)‎有两个零点x‎1‎‎,‎x‎2‎，且x‎1‎‎<‎x‎2‎， ①求实数a的取值范围；②求证：x‎1‎‎+x‎2‎<2lna．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知点P是圆M:x-1‎‎2‎+y‎2‎=‎‎1‎‎4‎外一动点，且满足P到圆M上点的最短距离等于P到直线x=-‎‎1‎‎2‎的距离． ‎ ‎(1)‎求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)‎经过R‎2,0‎的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问在x轴上是否存在异于R的定点Q，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎23. 已知a，b，c∈‎R‎+‎，求证：a+b+c．‎1‎a‎+‎1‎b+‎‎1‎c‎≥9‎． ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题、估测题】山东省数学高考试卷3【附详细答案和解析 可编辑】‎ 一、 选择题 （本题共计 13 小题 ，共计72分 ） ‎ ‎1.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：已知复数z=‎1+2ii=i(1+2i)‎i⋅i=‎-2+i‎-1‎=2-i. 则z‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎(-1)‎‎2‎=‎‎5‎. 故选D.‎ ‎2.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 由题意得N=‎‎-1,1‎，则‎∁‎UN=‎-∞,-1‎∪‎‎1,+∞‎，所以M∩(‎∁‎UN)=[1,+∞)‎，故选C． ‎ 正确求解一元二次不等式，掌握集合的运算法则是解题的关键．‎ 本题考查不等式的解法、集合的运算．‎ ‎3.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎4.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：由已知试验范围为‎[2, 4]‎，可得区间长度为‎2‎， 利用‎0.618‎法选取试点：x‎1‎‎=2+0.618×(4-2)=3.236‎，x‎2‎‎=2+4-3.236=2.764‎， ∵ x‎1‎处的结果比x‎2‎处好， 则x‎3‎为‎4-0.618×(4-3.236)=3.528‎ 故选C．‎ ‎5.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：由三视图知：该几何体为底面朝上的圆锥， 当水注入时，先增长快，再变慢. 故选B．‎ ‎6.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：样本间隔为‎80÷10=8‎， 设第一个号码为x， 因为编号为‎58‎的产品在样本中， 且‎58=8×7+2‎， 则第一个号码为‎2‎， 则最大的编号‎2+8×9=74‎. 故选B.‎ ‎7.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：∵  cos(π‎2‎+α)=2cos(π-α), ‎∴ ‎-sinα=-2cosα， ∴ tanα=2‎, ∴ tan(π‎4‎+α)=tanπ‎4‎+tanα‎1-tanπ‎4‎tanα=‎1+tanα‎1-tanα=-3‎. 故选B.‎ ‎8.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：∵ 向量a‎→‎‎=(2, -1)‎，b‎→‎‎=(0, 2)‎， ∴ a‎→‎‎+b‎→‎=(2, 1)‎， 对于A，‎2×1+1×(-2)=0‎， ∴ 该向量与向量a‎→‎‎+‎b‎→‎垂直； ∴ 可以排除掉B、C、D选项． 故选：A．‎ ‎9.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 解：已知输出的值为‎8‎，即i=8‎， 运行程序： 第一次：S=S+i=1,i=i+1=2‎, 第二次：S=S+i=3,i=i+1=3‎, 第三次：S=S+i=6,i=i+1=4‎, 第四次：S=S+i=10,i=i+1=5‎, 第五次：S=S+i=15,i=i+1=6‎, 第六次：S=S+i=21,i=i+1=7‎, 第七次：S=S+i=28,i=i+1=8‎, 故选C.‎ ‎10.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解：不妨令双曲线的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎， 由‎|A‎1‎B‎1‎|‎＝‎|A‎2‎B‎2‎|‎及双曲线的对称性知A‎1‎，A‎2‎，B‎1‎，B‎2‎关于x轴对称，如图， 又∵ 满足条件的直线只有一对， 当直线与x轴夹角为‎30‎‎∘‎时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于‎30‎‎∘‎， 双曲线与直线才能有交点A‎1‎，A‎2‎，B‎1‎，B‎2‎， 若双曲线的渐近线与x轴夹角等于‎30‎‎∘‎，则无交点， 则不可能存在‎|A‎1‎B‎1‎|‎＝‎|A‎2‎B‎2‎|‎， 当直线与x轴夹角为‎60‎‎∘‎时，双曲线渐近线与x轴夹角小于‎60‎‎∘‎， 双曲线与直线有一对交点A‎1‎，A‎2‎，B‎1‎，B‎2‎， 若双曲线的渐近线与x轴夹角等于‎60‎‎∘‎，也满足题中有一对直线， 但是如果大于‎60‎‎∘‎，则有两对直线．不符合题意， ∴ tan‎30‎‎∘‎0,a>0‎， 因为对任意x‎1‎‎,x‎2‎∈R，fx‎1‎+fx‎2‎的最大值为‎4‎； f(x)‎的最大值为a‎2‎‎+3‎, 故‎2a‎2‎‎+3‎=4‎. 故a=1‎. 因为fx=‎3‎sinωx+cosωx ‎=2sin(ωx+π‎6‎)， ‎当x∈(0,π)‎时， 所以 π‎6‎‎≤ωx+π‎6‎≤ωπ+‎π‎6‎， 因为f(x)‎在‎0,π上恰有两个极值点， 故f‎'‎‎(x)=0‎在‎0,π上恰有两个解， 即f‎'‎‎(x)=2ωcos(ωx+π‎6‎)=0‎时， ‎∴ ‎ ‎3π‎2‎‎<ωπ+π‎6‎≤‎‎5π‎2‎， 解得‎4‎‎3‎‎<ω≤‎‎7‎‎3‎． 故选B.‎ 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎14.【答案】‎ y‎＝‎x+1‎ ‎【解答】‎ 由f(x)‎＝x‎2‎‎+‎ex，得f'(x)‎＝‎2x+‎ex， ∴ f'(0)‎＝‎0+‎e‎0‎＝‎1‎． ∴ 曲线y＝f(x)‎在点‎(0, 1)‎处的切线方程为y＝x+1‎．‎ ‎15.【答案】‎ ‎3‎ ‎【解答】‎ 解：设第一层有a盏灯， 则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以‎1‎‎2‎为公比的等比数列， ∴ a(1-‎1‎‎2‎‎7‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎‎=381‎， 解得a=192‎， ∴ 顶层有a‎7‎‎=192×‎1‎‎2‎‎6‎=3‎盏灯． 故答案为：‎3‎．‎ ‎16.【答案】‎ ‎-‎5‎‎4‎,1+‎‎2‎ ‎【解答】‎ 解：‎∵ fx在‎0,π仅有‎2‎个零点， ‎∴ π‎4‎≤ωx+π‎4‎≤ωπ+‎π‎4‎， ‎∴ 2π≤ωπ+π‎4‎<3π， ‎∴ ‎7‎‎4‎≤ω<‎π‎4‎， 又‎∵ ω∈N，‎∴ ω=2‎， ‎∴ fx=sin‎2x+‎π‎4‎， ‎∴ gx=‎2‎sinx+‎π‎4‎+sin2x  ‎=sinx+cosx+2sinxcosx  ， 设sinx+cosx=t=‎2‎sinx+‎π‎4‎，sin2x=t‎2‎-1‎， ‎∵ 0≤x≤π，‎∴ -1≤t≤‎‎2‎， ‎∴ gx=y=t+t‎2‎-1=t+‎‎1‎‎2‎‎2‎-‎‎5‎‎4‎， ‎∴ ‎当t=-‎‎1‎‎2‎时，ymin‎=-‎‎5‎‎4‎， 当t=‎‎2‎时，ymax‎=1+‎‎2‎． ‎∴ gx值域为‎-‎5‎‎4‎,1+‎‎2‎． 故答案为：‎-‎5‎‎4‎,1+‎‎2‎．‎ ‎17.【答案】‎ ‎3‎‎2‎ ‎【解答】‎ 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD‎1‎为z轴，建立空间直角坐标系， ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ 则D(0, 0, 0)‎，A‎1‎‎(1, 0, 1)‎，B(1, 1, 0)‎，M(0, 1, ‎1‎‎2‎)‎， DA‎1‎‎→‎‎=(1, 0, 1)‎，DB‎→‎‎=(1, 1, 0)‎，DM‎→‎‎=(0, 1, ‎1‎‎2‎)‎， 设平面A‎1‎BD的法向量n‎→‎‎=(x, y, z)‎， 则DB‎→‎‎⋅n‎→‎=0，‎DA‎1‎‎→‎‎⋅n‎→‎=0，‎即x+y=0，‎x+z=0，‎ 取x=1‎，得n‎→‎‎=(1, -1, -1)‎， ∴ 点M到平面A‎1‎BD的距离： d=‎|n‎→‎⋅DM‎→‎|‎‎|n‎→‎|‎=‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎3‎‎2‎． 故答案为：‎3‎‎2‎．‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 12 分 ，共计72分 ） ‎ ‎18.【答案】‎ 解：‎(1)‎设估计上网时间不高于‎60‎分钟的人数x， 依据题意有x‎600‎‎=‎‎140‎‎200‎， 解得：x=420‎， 所以估计其中上网时间不高于‎60‎分钟的人数是‎420‎人.‎ ‎(2)‎根据题目所给数据得到如下列联表： 其中K‎2‎‎=‎400×(120×60-80×140‎‎)‎‎2‎‎200×200×260×140‎=‎400‎‎91‎≈4.396<5.024‎, 因此，没有‎97.5%‎的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎设估计上网时间不高于‎60‎分钟的人数x， 依据题意有x‎600‎‎=‎‎140‎‎200‎， 解得：x=420‎， 所以估计其中上网时间不高于‎60‎分钟的人数是‎420‎人.‎ ‎(2)‎根据题目所给数据得到如下列联表： 其中K‎2‎‎=‎400×(120×60-80×140‎‎)‎‎2‎‎200×200×260×140‎=‎400‎‎91‎≈4.396<5.024‎, 因此，没有‎97.5%‎的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.‎ ‎19.【答案】‎ 解：‎(1)‎∵ a‎4‎‎+a‎8‎=22‎，∴ a‎6‎‎=11‎， ∴ a‎6‎‎-a‎3‎=3d=11-5=6‎， ∴ d=2‎，∴ a‎1‎‎=1‎， ∴ an‎=2n-1‎，Sn‎=n(2n-1+1)‎‎2‎=‎n‎2‎.‎ ‎(2)‎‎∵ Sn‎=‎n‎2‎， ∴ 当n=1‎时，‎1‎S‎1‎‎=1‎， 当n≥2‎时，‎1‎Sn‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎n(n-1)‎=‎1‎n-1‎-‎‎1‎n， ∴ ‎1‎S‎1‎‎+‎1‎S‎2‎+...+‎1‎Sn<1+‎1‎‎4‎+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+...+(‎1‎n-1‎-‎1‎n)‎ ‎=1+‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎-‎1‎n=‎7‎‎4‎-‎1‎n<‎‎7‎‎4‎， 故对一切正整数n，有‎1‎S‎1‎‎+‎1‎S‎2‎+...+‎1‎Sn<‎‎7‎‎4‎．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎∵ a‎4‎‎+a‎8‎=22‎，∴ a‎6‎‎=11‎， ∴ a‎6‎‎-a‎3‎=3d=11-5=6‎， ∴ d=2‎，∴ a‎1‎‎=1‎， ∴ an‎=2n-1‎，Sn‎=n(2n-1+1)‎‎2‎=‎n‎2‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)‎‎∵ Sn‎=‎n‎2‎， ∴ 当n=1‎时，‎1‎S‎1‎‎=1‎， 当n≥2‎时，‎1‎Sn‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎n(n-1)‎=‎1‎n-1‎-‎‎1‎n， ∴ ‎1‎S‎1‎‎+‎1‎S‎2‎+...+‎1‎Sn<1+‎1‎‎4‎+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+...+(‎1‎n-1‎-‎1‎n)‎ ‎=1+‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎-‎1‎n=‎7‎‎4‎-‎1‎n<‎‎7‎‎4‎， 故对一切正整数n，有‎1‎S‎1‎‎+‎1‎S‎2‎+...+‎1‎Sn<‎‎7‎‎4‎．‎ ‎20.【答案】‎ 证明：‎(1)‎在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，‎ ‎∵ A‎1‎C‎1‎‎//AC，A‎1‎D//B‎1‎C，‎ A‎1‎C‎1‎‎∩A‎1‎D=‎A‎1‎‎，AC∩B‎1‎C=C，‎ ‎∴ 平面A‎1‎DC‎1‎//‎平面AB‎1‎C.‎ ‎(2)‎‎∵ P为A‎1‎C‎1‎上任意一点，‎ ‎∴ DP⊂‎平面A‎1‎DC‎1‎，DP⊄‎平面AB‎1‎C，‎ 由‎(1)‎已证，平面A‎1‎DC‎1‎//‎平面AB‎1‎C，‎ ‎∴ DP//‎平面AB‎1‎C.‎ ‎【解答】‎ 证明：‎(1)‎在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，‎ ‎∵ A‎1‎C‎1‎‎//AC，A‎1‎D//B‎1‎C，‎ A‎1‎C‎1‎‎∩A‎1‎D=‎A‎1‎‎，AC∩B‎1‎C=C，‎ ‎∴ 平面A‎1‎DC‎1‎//‎平面AB‎1‎C.‎ ‎(2)‎‎∵ P为A‎1‎C‎1‎上任意一点，‎ ‎∴ DP⊂‎平面A‎1‎DC‎1‎，DP⊄‎平面AB‎1‎C，‎ 由‎(1)‎已证，平面A‎1‎DC‎1‎//‎平面AB‎1‎C，‎ ‎∴ DP//‎平面AB‎1‎C.‎ ‎21.【答案】‎ 解：‎(1)f‎'‎(x)=a-ex (x∈R)‎. ①当a≤0‎时， f‎'‎‎(x)<0‎， ∴ f(x)‎的单调减区间为‎(-∞,+∞)‎，无增区间； ②当a>0‎时，令f‎'‎‎(x)>0‎，得xlna， ∴ f(x)‎的单调减区间为‎(lna,+∞)‎．‎ ‎(2)‎‎ ①当a≤0‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎在R上单调递减，不合题意； 当a>0‎时，f(x)‎在‎(-∞,lna)‎上单调递增，f(x)‎在‎(lna,+∞)‎上单调递减． ∵ f(x)‎ 存在两个零点， ∴ f(lna)=alna-elna=a(lna-1)>0‎，得a>e， ∵ 当x趋向于‎-∞‎时，ax<0‎，‎-ex<0‎， ∴ f(x)‎为负数， ∵ 当x趋向于‎+∞‎时，ax<‎ex，ax-ex<0‎， ∴ f(x)‎为负数， ∴ f(x)‎有两个零点， ∴ a的取值范围是 ‎(e,+∞)‎. ②要证：x‎1‎‎+x‎2‎<2lna，即证：x‎2‎‎<2lna-‎x‎1‎， 不妨设‎00‎， ∴ φ(x)‎在‎(0,1)‎递增， ∴ φ(x)<φ(1)=0‎，即x‎1‎‎+x‎2‎<2lna．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)f‎'‎(x)=a-ex (x∈R)‎. ①当a≤0‎时， f‎'‎‎(x)<0‎， ∴ f(x)‎的单调减区间为‎(-∞,+∞)‎，无增区间； ②当a>0‎时，令f‎'‎‎(x)>0‎，得xlna， ∴ f(x)‎的单调减区间为‎(lna,+∞)‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)‎‎ ①当a≤0‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎在R上单调递减，不合题意； 当a>0‎时，f(x)‎在‎(-∞,lna)‎上单调递增，f(x)‎在‎(lna,+∞)‎上单调递减． ∵ f(x)‎ 存在两个零点， ∴ f(lna)=alna-elna=a(lna-1)>0‎，得a>e， ∵ 当x趋向于‎-∞‎时，ax<0‎，‎-ex<0‎， ∴ f(x)‎为负数， ∵ 当x趋向于‎+∞‎时，ax<‎ex，ax-ex<0‎， ∴ f(x)‎为负数， ∴ f(x)‎有两个零点， ∴ a的取值范围是 ‎(e,+∞)‎. ②要证：x‎1‎‎+x‎2‎<2lna，即证：x‎2‎‎<2lna-‎x‎1‎， 不妨设‎00‎， ∴ φ(x)‎在‎(0,1)‎递增， ∴ φ(x)<φ(1)=0‎，即x‎1‎‎+x‎2‎<2lna．‎ ‎22.【答案】‎ 解：‎(1)‎设Px,y，P到直线x=-‎‎1‎‎2‎的距离为d， 则由题意可得‎|PM|-‎1‎‎2‎=d． 即x-1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎-‎1‎‎2‎=|x+‎1‎‎2‎|‎． 化简整理得y‎2‎‎=4x, 所以动点P的轨迹C的方程为y‎2‎‎=4x．‎ ‎(2)‎当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性知Q可以是x轴上异于R的任意一点． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2‎，且Ax‎1‎‎,‎y‎1‎，Bx‎2‎‎,‎y‎2‎， 联立方程y=kx-2‎，‎y‎2‎‎=4x，‎得k‎2‎x‎2‎‎-4k‎2‎‎+1‎x+4k‎2‎=0‎， 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎‎+1‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=4‎， 假设x轴上存在定点Qm,0‎，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补， 则kAQ‎+kBQ=0‎． 即y‎1‎x‎1‎‎-m‎+y‎2‎x‎2‎‎-m=kx‎1‎‎-2‎x‎1‎‎-m+‎kx‎2‎‎-2‎x‎2‎‎-m ‎=‎2kx‎1‎x‎2‎-k(m+2)(x‎1‎+x‎2‎)+4kmx‎1‎x‎2‎‎-m(x‎1‎+x‎2‎)+‎m‎2‎ =‎-4km+2‎k‎2‎m-2‎‎2‎‎-4m=0‎． 因为上式对任意k成立，所以m+2=0‎，解得m=-2‎， 所以x轴上存在定点Q‎-2,0‎，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎设Px,y，P到直线x=-‎‎1‎‎2‎的距离为d， 则由题意可得‎|PM|-‎1‎‎2‎=d． 即x-1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎-‎1‎‎2‎=|x+‎1‎‎2‎|‎． 化简整理得y‎2‎‎=4x, 所以动点P的轨迹C的方程为y‎2‎‎=4x．‎ ‎(2)‎当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性知Q可以是x轴上异于R的任意一点． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2‎，且Ax‎1‎‎,‎y‎1‎，Bx‎2‎‎,‎y‎2‎， 联立方程y=kx-2‎，‎y‎2‎‎=4x，‎得k‎2‎x‎2‎‎-4k‎2‎‎+1‎x+4k‎2‎=0‎， 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎‎+1‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=4‎， 假设x轴上存在定点Qm,0‎，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补， 则kAQ‎+kBQ=0‎． 即y‎1‎x‎1‎‎-m‎+y‎2‎x‎2‎‎-m=kx‎1‎‎-2‎x‎1‎‎-m+‎kx‎2‎‎-2‎x‎2‎‎-m ‎=‎2kx‎1‎x‎2‎-k(m+2)(x‎1‎+x‎2‎)+4kmx‎1‎x‎2‎‎-m(x‎1‎+x‎2‎)+‎m‎2‎ =‎-4km+2‎k‎2‎m-2‎‎2‎‎-4m=0‎． 因为上式对任意k成立，所以m+2=0‎，解得m=-2‎， 所以x轴上存在定点Q‎-2,0‎，使得直线AQ，BQ的倾斜角互补．‎ ‎23.【答案】‎ 证明：‎∵ a，b，c∈‎R‎+‎，∴ a+b+c≥3‎3‎abc>0‎． ‎1‎a‎+‎1‎b+‎1‎c≥3‎3‎‎1‎a‎⋅‎1‎b⋅‎‎1‎c>0‎， ‎∴ a+b+c⋅‎1‎a‎+‎1‎b+‎‎1‎c≥3‎3‎abc⋅3⋅‎3‎‎1‎a‎⋅‎1‎b⋅‎‎1‎c=9‎．‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页