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- 2021-07-01 发布
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学业分层测评(十二)
(建议用时:45 分钟)
[达标必做]
一、选择题
1.下列条件中,能使直线 m⊥平面α的是( )
A.m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α B.m⊥b,b∥α
C.m∩b=A,b⊥α D.m∥b,b⊥α
【解析】 由线线平行及线面垂直的判定知选项 D 正确.
【答案】 D
2.如图 238,三棱锥 PABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,则直线 PB
和平面 ABC 所成的角是( )
图 238
A.∠BPA B.∠PBA
C.∠PBC D.以上都不对
【解析】 由 PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,
得 PA⊥平面 ABC,
所以∠PBA 为 BP 与平面 ABC 所成的角.故选 B.
【答案】 B
3.已知直线 m,n 是异面直线,则过直线 n 且与直线 m 垂直的平
面( )
【导学号:09960073】
A.有且只有一个 B.至多一个
C.有一个或无数个 D.不存在
【解析】 若异面直线 m、n 垂直,则符合要求的平面有一个,否
则不存在.
【答案】 B
4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦
值为( )
A. 2
3 B. 3
3
C.2
3 D. 6
3
【解析】 如图所示,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 D1O,由于
BB1∥DD1,∴DD1 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与平面 ACD1 所成的
角.易知∠DD1O 即为所求.设正方体的棱长为 1,则 DD1=1,DO=
2
2
,D1O= 6
2
,
∴cos ∠DD1O=DD1
D1O
= 2
6
= 6
3 .
∴BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为 6
3 .
【答案】 D
5.(2015·成都高二检测)已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体,下列结论
错误的是( )
A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面 CB1D1 D.AC1⊥BD1
【解析】 正方体中由 BD∥B1D1,易知 A 正确;
由 BD⊥AC,BD⊥CC1 可得 BD⊥平面 ACC1,
从而 BD⊥AC1,即 B 正确;
由以上可得 AC1⊥B1D1,同理 AC1⊥D1C,
因此 AC1⊥平面 CB1D1,即 C 正确;
由于四边形 ABC1D1 不是菱形,所以 AC1⊥BD1 不正确.故选 D.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·太原高一检测)如图 239,平面α∩β=CD,EA⊥α,垂
足为 A,EB⊥β,垂足为 B,则 CD 与 AB 的位置关系是________.
图 239
【解析】 ∵EA⊥α,CD⊂α,
根据直线和平面垂直的定义,则有 CD⊥EA.
同样,∵EB⊥β,CD⊂β,则有 EB⊥CD.
又 EA∩EB=E,
∴CD⊥平面 AEB.
又∵AB⊂平面 AEB,∴CD⊥AB.
【答案】 CD⊥AB
7.如图 2310 所示,PA⊥平面 ABC,在△ABC 中,BC⊥AC,则
图中直角三角形的个数有________.
图 2310
【解析】 PA⊥平面 ABC
BC⊂平面 ABC
⇒
PA⊥BC
AC⊥BC
PA∩AC=A
⇒BC⊥平面 PAC⇒BC⊥PC,
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
【答案】 4
三、解答题
8.如图 2311,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,F 为 CE
上的点,且 BF⊥平面 ACE.求证:AE⊥BE.
图 2311
【证明】 ∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面 ABE.
又 AE⊂平面 ABE,∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面 ACE,AE⊂平面 ACE,∴AE⊥BF.
又∵BF⊂平面 BCE,BC⊂平面 BCE,BF∩BC=B,
∴AE⊥平面 BCE.
又 BE⊂平面 BCE,∴AE⊥BE.
9.如图 2312 所示,三棱锥 ASBC 中,∠BSC=90°,∠ASB=
∠ASC=60°,SA=SB=SC.求直线 AS 与平面 SBC 所成的角.
【导学号:09960074】
图 2312
【解】 因为∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB 与△SAC 都是等边三角形.因此 AB=AC.
如图所示,取 BC 的中点 D,
连接 AD,SD,则 AD⊥BC.
设 SA=a,则在 Rt△SBC 中,BC= 2a,CD=SD= 2
2 a.
在 Rt△ADC 中,AD= AC2-CD2= 2
2 a.
则 AD2+SD2=SA2,所以 AD⊥SD.
又 BC∩SD=D,所以 AD⊥平面 SBC.
因此∠ASD 即为直线 AS 与平面 SBC 所成的角.
在 Rt△ASD 中,SD=AD= 2
2 a,
所以∠ASD=45°,
即直线 AS 与平面 SBC 所成的角为 45°.
[自我挑战]
10.(2015·淮安高二检测)如图 2313,四棱锥 SABCD 的底面 ABCD
为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中正确的有________个.
图 2313
①AC⊥SB;
②AB∥平面 SCD;
③SA 与平面 ABCD 所成的角是∠SAD;
④AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角.
【解析】 因为 SD⊥底面 ABCD,所以 AC⊥SD.
因为 ABCD 是正方形,
所以 AC⊥BD.又 BD∩SD=D,
所以 AC⊥平面 SBD,所以 AC⊥SB,故①正确.
因为 AB∥CD,AB⊄平面 SCD,CD⊂平面 SCD,
所以 AB∥平面 SCD,故②正确.
因为 AD 是 SA 在平面 ABCD 内的射影,
所以 SA 与平面 ABCD 所成的角是∠SAD.故③正确.
因为 AB∥CD,
所以 AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SC 所成的角,
故④正确.
【答案】 4
11.如图 2314,AB 为⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,
M 为圆周上任意一点,AN⊥PM,N 为垂足.
【导学号:09960075】
(1)求证:AN⊥平面 PBM;
(2)若 AQ⊥PB,垂足为 Q,求证:NQ⊥PB.
图 2314
【证明】 (1)∵AB 为⊙O 的直径,
∴AM⊥BM.
又 PA⊥平面 ABM,∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面 PAM.
又 AN⊂平面 PAM,∴BM⊥AN.
又 AN⊥PM,且 BM∩PM=M,∴AN⊥平面 PBM.
(2)由(1)知 AN⊥平面 PBM,
PB⊂平面 PBM,∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,
∴PB⊥平面 ANQ.
又 NQ⊂平面 ANQ,∴PB⊥NQ.
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