2020版高中数学 第一章 解三角形 第2课时 角度问题同步精选测试 新人教B版必修5 7页

同步精选测试　角度问题 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)‎ A.α>β　　　 B.α＝β C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°‎ ‎【解析】　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图.知α＝β，故应选B.‎ ‎【答案】　B ‎2.海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)‎ A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile ‎【解析】　由题意知，在△ABC中，‎ AB＝10(n mile)，∠A＝60°，∠B＝75°，‎ 则∠C＝180°－∠A－∠B＝45°.‎ 由正弦定理，得BC＝＝ ‎＝5(n mile).‎ ‎【答案】　D ‎3.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A、B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　) ‎ ‎【导学号：18082066】‎ A.28海里/时 B.14海里/时 C.14海里/时 D.20海里/时 ‎【解析】　如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，‎ 在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，‎ AB＝12海里，∠BAC＝120°，‎ 7‎ ‎∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，‎ ‎∴BC＝28海里，‎ ‎∴v＝14海里/时.‎ ‎【答案】　B ‎4.从高出海平面h m的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为(　　)‎ A.2h m B.h m C.h m D.2h m ‎【解析】　如图所示，BC＝h m，AC＝h m，‎ ‎∴AB＝＝2h(m).‎ ‎【答案】　A 二、填空题 ‎5.如图1223所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟.‎ 图1223‎ ‎【解析】　由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定得＝，‎ 所以AC＝＝＝10，‎ 所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟).‎ ‎【答案】　 ‎6.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为________.‎ ‎【解析】　x2＋9－2·x·3cos 30°＝()2，‎ 解得x＝2或x＝.‎ 7‎ ‎【答案】　或2 ‎7.一船以每小时‎15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. ‎ ‎【导学号：18082067】‎ ‎【解析】　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，‎ ‎∠AMB＝45°，‎ 在△AMB中，‎ 由正弦定理得＝，‎ 解得BM＝30(km).‎ ‎【答案】　30 ‎8.一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P的南偏西75°、距塔68 n mile的M处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________n mile/h. ‎ ‎【导学号：18082068】‎ ‎【解析】　如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.‎ 在△PMN中，由正弦定理，得 ＝，‎ ‎∴MN＝68×＝34.‎ 又由M到N所用时间为14－10＝4(h)，‎ ‎∴船的航行速度v＝＝(n mile/h).‎ ‎【答案】　 三、解答题 ‎9.某人从塔的正东沿着南偏西60°的方向前进‎40 m后，看见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高. ‎ ‎【导学号：18082069】‎ ‎【解】　如图，设AE为塔，B为塔正东方向一点，某人沿南偏西60°的方向前进‎40 m到达C处，即BC＝‎40 m，且∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.‎ 7‎ 在△ABC中，＝，即＝，‎ ‎∴AC＝‎20 m.‎ 过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，‎ ‎∴∠AGE＝30°.‎ 在△ABC中，由面积公式知BC·AG＝AC·CB·sin∠ACB，‎ ‎∴AG＝＝＝20·sin 15°＝20sin(45°－30°)＝20×＝10(－1)m.‎ 在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，‎ ‎∴AE＝10(－1)×＝m，即塔高为m.‎ ‎10.如图1224，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲‎70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行‎30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距‎42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.‎ 图1224‎ ‎【解】　设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，‎ BD＝42，∠BAD＝60°.‎ 7‎ 由正弦定理得＝，‎ sin α＝sin∠BAD＝sin 60°＝，‎ 又∵AD