2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（八）“立体几何”专题提能课 9页

课时达标训练(八) “立体几何”专题提能课 A组 ‎1．设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线．则“l⊥m”是“l⊥α”成立的____________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．‎ 解析：由l⊥m，m⊂α，可得l⊂α，l∥α或l与α相交，推不出l⊥α；由l⊥α，m⊂α，结合线面垂直的定义可得l⊥m.故“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 ‎2．(2019·南京盐城二模)已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为________．‎ 解析：设正四棱锥PABCD的棱长为2x，则斜高为x，所以()2＋x2＝(x)2，得x＝1，所以该正四棱锥的棱长为2，表面积S＝4＋4××2×2sin 60°＝4＋4.‎ 答案：4＋4‎ ‎3.(2019·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．‎ 解析：如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥PABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上．设BC的中点为D，连接AD，过点P作PO⊥平面ABC，交AD于点O，则AO＝PO＝2，AD＝3，AB＝BC＝2，所以S△ABC＝×2×3＝3，所以挖去的正三棱锥的体积V＝S△ABC×PO＝×3×2＝2.‎ 答案：2 ‎4．(2019·常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面圆为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．‎ 解析：设圆锥SO的底面圆的半径为r，高为h，则圆柱PO的底面圆的半径为r，高为h，故圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为＝.‎ 答案： B组 ‎1．(2019·山东联考)如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为4的正方体，PQRH是棱长为4的正四面体，底面ABCD，QRH在同一个平面内，BC∥QH，则正方体中过AD且与平面PHQ平行的截面面积是________．‎ 解析：设截面与A1B1，D1C1分别相交于点E，F，则EF∥AD.过点P作平面QRH的垂线，垂足为O，则O是△QRH的中心．设OR∩HQ＝G，则∠EAB＝∠PGO.由RG＝2得RO＝2OG＝，PO＝＝，所以sin∠EAB＝sin∠PGO＝＝＝，即＝，则EA＝3，所以四边形AEFD的面积S＝4×3＝12.‎ 答案：12 ‎2．在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；‎ ‎③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.‎ 其中真命题的序号为________．‎ 解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，①正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知④正确；②③均不恒成立．故选①④.‎ 答案：①④‎ ‎3．(2019·宿迁模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为________．‎ 解析：如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m，‎ 则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，‎ 由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0⇒h2≥8，该直角三角形斜边MB＝ ≥＝2，‎ 故该直角三角形斜边长的最小值为2.‎ 答案：2 ‎4．(2019·如皋中学模拟)如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．‎ ‎(1)求证：MN∥平面AA′C′C；‎ ‎(2)设AB＝λ AA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．‎ 解：(1)证明：如图，取A′B′ 的中点E，连接ME，NE.‎ 因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.‎ 又A′C′⊂平面AA′C′C，AA′⊂平面AA′C′C，NE⊄平面 AA′C′C，ME⊄平面AA′C′C，‎ 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，‎ 又因为ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，‎ 因为MN⊂平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C.‎ ‎(2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，‎ 由题意知BC＝λa，CN＝BN＝ ，‎ 因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C.‎ 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，‎ 所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，所以A′N⊥平面BB′C′C，‎ 又CN⊂平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，‎ 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，‎ 所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ2a2，‎ 解得λ＝，故当λ＝ 时，CN⊥平面A′MN.‎ ‎5.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.‎ ‎(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；‎ ‎(2)点F在BE上，若DE∥平面ACF，求 的值．‎ 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC.‎ 因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.‎ 因为EC⊂平面BCE，所以EC⊥AB.‎ 因为EC⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE＝B，所以EC⊥平面ABE.‎ 因为EC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.‎ ‎(2) 连结BD交AC于点O，连结OF.‎ 因为DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.‎ 又因为矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即＝.‎ C组 ‎1．下列命题：‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．‎ 其中真命题的个数为________．‎ 解析：对于①，∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；‎ 对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴②是假命题；‎ 对于③，∵a∥b，直线b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；‎ 对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题. ‎ 答案：1‎ ‎2.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在的平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥PAEF的体积最大时，tan∠BAC＝________．‎ 解析：∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB.‎ 又AC⊥BC，AP⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90°.‎ 设∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，‎ AF＝＝＝，‎ 在Rt△PAB中，AE＝PE＝，∴EF＝，‎ ‎∴VPAEF＝AF·EF·PE＝AF·· ‎＝·＝·≤，∴当AF＝1时，VPAEF取得最大值，此时AF＝＝1，∴cos θ＝，sin θ＝，∴tan θ＝.‎ 答案： ‎3.如图所示，等腰△ABC的底边AB＝6，高CD＝3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥PACFE的体积，则V(x)的最大值为________．‎ 解析：因为PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E，‎ 所以PE⊥平面ABC.‎ 因为CD⊥AB，FE⊥AB，‎ 所以EF∥CD，所以＝，‎ 即＝，所以EF＝，‎ 所以S△ABC＝×6×3＝9，‎ S△BEF＝×x×＝x2，‎ 所以V(x)＝×x＝x(0＜x＜3)．‎ 因为V′(x)＝，‎ 所以当x∈(0，6)时，V′(x)＞0，V(x)单调递增；‎ 当6＜x＜3时，V′(x)＜0，V(x)单调递减，‎ 因此当x＝6时，V(x)取得最大值12.‎ 答案：12 ‎4. 如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．‎ ‎(1)求证：DE⊥平面BCD；‎ ‎(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积．‎ 解：(1)证明：在题图①中，‎ 因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.‎ 因为CD为∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2.‎ 又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.‎ 则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.‎ 在题图②中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，所以DE⊥平面BCD.‎ ‎(2)在题图②中，因为EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.‎ 因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，‎ 所以AE＝EG＝CG＝2.‎ 过点B作BH⊥CD交于点H.‎ 因为平面BCD⊥平面ACD，BH⊂平面BCD，‎ 所以BH⊥平面ACD.‎ 由条件得BH＝.‎ 又S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝，‎ 所以三棱锥BDEG的体积为V＝S△DEG·BH＝××＝.‎ ‎5．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．‎ ‎(1)求证：平面CMN∥平面PAB；‎ ‎(2)求三棱锥PABM的体积．‎ 解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，‎ ‎∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ ‎∴MN∥平面PAB.‎ 在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，‎ ‎∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.‎ ‎∵CN⊄平面PAB，AC⊂平面PAB，‎ ‎∴CN∥平面PAB.‎ 又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.‎ ‎(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，‎ ‎∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．‎ ‎∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，‎ ‎∴三棱锥PABM的体积V＝VMPAB＝VCPAB＝VPABC ‎＝××1××2＝.‎ ‎6．(2019·南通等七市二模)图1是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶由四坡屋面构成，其中前、后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左、右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5 m，BC＝10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ.‎ ‎(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；‎ ‎(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的新农村别墅，试问：当θ 为何值时，总造价最低？‎ 解：(1)由题意知，FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，‎ 由HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM.‎ 在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，‎ 所以FM＝.‎ 因此S△FBC＝×10×＝.‎ 从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×＋2××2.2＝，‎ 所以屋顶面积S关于θ的函数关系式为S＝.‎ ‎(2)在Rt△FHM中，FH＝5tan θ，所以下部主体高度h＝6－5tan θ.‎ 所以别墅总造价y＝S·k＋h·16k ‎＝·k＋(6－5tan θ)·16k ‎＝ k－ k＋96k ‎＝80k·＋96k，‎ 记f(θ)＝，0＜θ＜，‎ 则f′(θ)＝，‎ 令f′(θ)＝0，得sin θ＝，又0＜θ＜，所以θ＝.‎ 当θ变化时，f′(θ)，f(θ)的变化情况如下表所示，‎ θ f′(θ)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(θ)‎   所以当θ＝时，f(θ)取得最小值．‎ 即当θ为时该别墅总造价最低．‎