2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 15页

www.ks5u.com ‎11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 ‎[课程目标] 1.了解柱体、锥体、台体和球体的体积的计算公式； 2.会利用柱体、锥体、台体和球体的体积公式解决一些简单的实际问题．‎ 知识点一　　祖暅原理 ‎[填一填]‎ ‎1．内容：幂势既同，则积不容异．‎ ‎2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．如何理解祖暅原理？‎ 提示：祖暅原理中的“幂”指“面积”，“势”指“高度”，“幂势既同”意思是两个几何体“在等高处的截面面积相等”，“积”则指“体积”或“容积”．‎ 知识点二　　　柱体、锥体的体积 ‎[填一填]‎ ‎1．如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.等底面积、等高的两个柱体，体积相等．‎ ‎2．如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V 锥体＝Sh.等底面积、等高的两个锥体，体积相等．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．求柱体的体积的关键是什么？‎ 提示：由柱体的体积公式知，柱体的体积仅与它的底面积和高有关．而与是几棱柱，是否为直棱柱无关，故求柱体体积的关键是求底面积和高．‎ ‎3．求三棱锥的体积时有什么技巧？试总结一下．‎ 提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥．‎ 知识点三　　台体、球的体积 ‎[填一填]‎ ‎1．如果台体的上、下底面面积分别为S1，S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h.‎ ‎2．如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝πR3.‎ ‎[答一答]‎ ‎4．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？‎ 提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：‎ ‎(1)柱体、锥体、台体之间的关系：‎ ‎(2)体积公式之间的关系：‎ 知识点四　　组合体 ‎[填一填]‎ ‎1．概念：‎ 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．‎ ‎2．基本形式：‎ 有两种，一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体．‎ ‎[答一答]‎ ‎5．怎样分析与球有关的组合体问题？‎ 提示：通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC的内切圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．‎ 用同样的方法可得以下结论：‎ ‎①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；‎ 球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；‎ 球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．‎ ‎②球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．‎ ‎③球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．‎ 类型一　　柱体的体积 命题视角1：棱柱的体积 ‎[例1]　已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为‎9 cm，宽为‎6 cm的矩形，求该正三棱柱的体积．‎ ‎[分析]　由正三棱柱的侧面展开图是一个矩形，知底面等边三角形的周长可能是‎9 cm或‎6 cm，应分情况讨论．‎ ‎[解]　设正三棱柱的底面等边三角形的边长为a cm，高为h cm.‎ ‎(1)当正三棱柱的底面周长为‎9 cm时，‎ 则h＝6，且‎3a＝9，∴a＝3，‎ ‎∴S底面＝×3×3×＝(cm2)，‎ ‎∴V正三棱柱＝S底面·h＝×6＝(cm3)．‎ ‎(2)当正三棱柱的底面周长为‎6 cm时，‎ 则h＝9，且‎3a＝6，∴a＝2，‎ ‎∴S底面＝×2×2×＝(cm2)，‎ ‎∴V正三棱柱＝S底面·h＝×9＝9(cm3)．‎ 故该正三棱柱的体积为 cm3或‎9 cm3.‎ 柱体的体积公式是V＝Sh，求柱体体积的关键是确定柱体的底面积和高.‎ ‎[变式训练1]　已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S，两对角面的面积分别为m，n，求直棱柱的体积．‎ 解：设直棱柱的底面对角线长为x和y，高为h，‎ 则有∴h＝.‎ ‎∴V直棱柱＝Sh＝S·＝.‎ 命题视角2：圆柱的体积 ‎[例2]　已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和4π的矩形，求圆柱的体积．‎ ‎[解]　设圆柱的底面半径为R，高为h.‎ ‎(1)当圆柱的底面周长为6π时，高为4π，即2πR＝6π，h＝4π，所以R＝3，所以V＝πR2·h＝π·32·4π＝36π2.‎ ‎(2)当圆柱的底面周长为4π时，高为6π，即2πR＝4π，h＝6π，所以R＝2，所以V＝πR2·h＝π·22·6π＝24π2.‎ 故圆柱的体积为36π2或24π2.‎ 求柱体的体积关键是寻求底面积和高，对于圆柱而言，重要的是确定底面半径和高.‎ ‎[变式训练2]　已知一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开，然后放在平面上展开后得到平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一个矩形，它的对角线长为m，对角线与底边成α角，求圆柱的体积．‎ 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，如图．‎ 则由题意可知，∴h＝msinα，r＝，‎ ‎∴V圆柱＝πr2h＝π2·msinα＝.‎ 类型二　　锥体的体积 ‎[例3]　如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为两两垂直的侧棱，这三条侧棱的长分别为3,3,4，求此三棱锥PABC的体积．‎ ‎[分析]　若将△ABC作为底面，则该底面的面积不易求得，考虑到PA，PB，PC两两垂直，不妨将三角形PAB当作底面，则三棱锥PABC的高是PC，于是易求得体积．‎ ‎[解]　将三角形PAB当作底面，则三棱锥PABC的高是PC.‎ 所以V三棱锥PABC＝V三棱锥CPAB＝×·PA·PB·PC＝××3×3×4＝6.‎ 求棱锥的体积时，要特别注意各棱间的垂直关系，应尽可能选择直角三角形面作为底面.‎ ‎[变式训练3]　已知正四棱锥PABCD的底面是边长为‎4 cm的正方形，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的体积．‎ 解：正四棱锥的高PO、斜高PE和底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE＝‎2 cm，∠OPE＝30°，‎ 所以高PO＝＝＝‎2 cm，‎ 因此V正四棱锥＝Sh＝×42×2＝(cm3)．‎ 类型三　　台体的体积 命题视角1：棱台的体积 ‎[例4]　已知正四棱台两底面边长分别为‎20 cm和‎10 cm，侧面积是‎780 cm2.求正四棱台的体积．‎ ‎[分析]　可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．‎ ‎[解]　如图所示，正四棱台ABCDA1B‎1C1D1中，A1B1＝‎10 cm，AB＝‎20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB‎1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．‎ 由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，‎ 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝‎5 cm，‎ OE＝AB＝‎10 cm，‎ ‎∴O1O＝＝‎12 cm，‎ V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．‎ 故正四棱台的体积为2 ‎800 cm3.‎ 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.‎ ‎[变式训练4]　本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为‎2 cm和‎4 cm，侧棱长为‎2 cm”，求该棱台的体积．‎ 解：如图，正四棱台ABCDA1B‎1C1D1中，上、下底面边长分别为‎2 cm和‎4 cm，则O1B1＝ cm，OB＝‎2 cm，过点B1作B‎1M⊥OB于点M，那么B‎1M为正四棱台的高，‎ 在Rt△BMB1中，BB1＝‎2 cm，MB＝(2－)＝(cm)．‎ 根据勾股定理MB1＝＝＝(cm)．‎ S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，‎ ‎∴V正四棱台＝××(4＋＋16)＝××28＝(cm3)．‎ 命题视角2：圆台的体积 ‎[例5]　设圆台的高为3，如图，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．‎ ‎[分析]　在求解公式中的未知量时，应注意运用平面几何的有关知识．‎ ‎[解]　设上、下底面半径分别为r，R，过点A1作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠BA‎1A＝90°.‎ ‎∵∠A1AB＝60°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝＝，‎ 即R－r＝.又∵BD＝A1D·tan60°＝3，‎ ‎∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝.又∵h＝3，‎ ‎∴圆台的体积V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π.‎ 圆台的轴截面是等腰梯形，将题中的已知量转移到轴截面中，即可求出圆台的上、下底面半径，进一步求出圆台的体积.‎ ‎[变式训练5]　已知圆台的上下底面半径分别是2,4，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长和体积．‎ 解：设圆台的母线长为l，‎ 则圆台的上底面面积为S上＝π·22＝4π，‎ 圆台的下底面面积为S下＝π·42＝16π，‎ 所以圆台的底面面积为S＝S上＋S下＝20π，‎ 又圆台的侧面积S侧＝π(2＋4)l＝6πl，‎ 于是6πl＝20π，解得l＝，‎ ‎∴圆台高h＝＝＝，‎ ‎∴圆台体积V＝π·h·(R2＋r2＋Rr)＝π××(16＋4＋8)＝.‎ 类型四　　球的体积 ‎[例6]　在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．‎ ‎[解]　∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，‎ ‎∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．‎ 又∵P、A、B、C四点是球面上四点，‎ ‎∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．‎ ‎∴2R＝a，R＝a，∴V＝πR3＝π3＝πa3.‎ ‎1.与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键.‎ ‎2.球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径.‎ ‎3.球与旋转体的组合，通常作轴截面解题.‎ ‎[变式训练6]　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　A　)‎ A. cm3‎ B. cm3‎ C. cm3‎ D. cm3‎ 解析：本题考查球的体积的计算．‎ 如图，正方体的上底面截球的小圆直径为‎8 cm，∴r＝‎4 cm，设球的半径为R cm.‎ ‎∴∴R＝5，‎ ‎∴V＝πR3＝ (cm3)．‎ 类型五　　组合体的体积 ‎[例7]　如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．‎ ‎ ‎ ‎[解]　如图，连接EB，EC，AC.‎ V四棱锥EABCD＝×42×3＝16.‎ ‎∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.‎ ‎∴V三棱锥FEBC＝V三棱锥CEFB＝V三棱锥CABE＝V三棱锥EABC＝×V四棱锥EABCD＝4.‎ ‎∴多面体的体积V＝V四棱锥EABCD＋V三棱锥FEBC＝16＋4＝20.‎ 割补法是求不规则几何体体积的常用方法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求.‎ ‎[变式训练7]　如图，一个底面半径为2的圆柱被一个平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　D　)‎ A．5π　　 　B．6π　　 　C．20π　　 　D．10π 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.‎ ‎1．正方体的表面积是96，则正方体的体积为(　B　)‎ A．48 B．64‎ C．16 D．96‎ 解析：设正方体的棱长为a，则‎6a2＝96，‎ ‎∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.‎ ‎2．如果两个球的体积之比为827，那么两个球的表面积之比为(　C　)‎ A．827 B．23‎ C．49 D．29‎ 解析：设两个球半径分别为r，R，则由条件知：＝()3＝，∴＝，于是两球对应的表面积之比为＝()2＝.故选C.‎ ‎3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　A　)‎ A．2π B．3π C．4π D．8π 解析：设圆柱母线长为l，底面半径为r，‎ 由题意得解得 ‎∴V圆柱＝πr‎2l＝2π.‎ ‎4．如图所示，正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1，E为线段B‎1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为.‎ 解析：V三棱锥ADED1＝V三棱锥EDD‎1A＝××1×1×1＝.‎