2020高中数学 课时分层作业17 向量数乘运算及其几何意义 新人教A版必修4 6页

1 课时分层作业(十七) 向量数乘运算及其几何意义 (建议用时：40 分钟) [学业达标练] 一、选择题 1.1 3 1 2 2a＋8b － 4a－2b 等于( ) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b B [原式＝1 3 (a＋4b－4a＋2b) ＝1 3 (－3a＋6b) ＝－a＋2b＝2b－a.] 2．已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) 【导学号：84352203】 ①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若 ma＝mb，则 a＝b；④若 ma＝na，则 m ＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ B [①正确．②正确．③错误．由 ma＝mb 得 m(a－b)＝0 当 m＝0 时也成立，推不出 a ＝b.④错误．由 ma＝na 得(m－n)a＝0 当 a＝0 时也成立，推不出 m＝n.] 3．若 5AB→＋3CD→＝0，且|AD→|＝|BC→|，则四边形 ABCD 是( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 D [由 5AB→＋3CD→＝0 知，AB→∥CD→且|AB→|≠|CD→|，故此四边形为梯形，又|AD→|＝|BC→|，所 以梯形 ABCD 为等腰梯形．] 4．已知向量 a，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使 a，b 共线的是( ) 【导学号：84352204】 ①2a－3b＝4e 且 a＋2b＝－2e； ②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0； ③xa＋yb＝0(其中实数 x，y 满足 x＋y＝0)； ④已知梯形 ABCD，其中AB→＝a，CD→＝b. A．①② B．①③ 2 C．② D．③④ A [对于①，可解得 a＝2 7 e，b＝－8 7 e，故 a 与 b 共线；对于②由于λ≠μ.故λ，μ不 全为 0，不妨设λ≠0 则由λa－μb＝0 得 a＝μ λ b，故 a 与 b 共线；对于③，当 x＝y＝0 时， a 与 b 不一定共线；对于④，梯形中没有条件 AB∥CD，可能 AC∥BD，故 a 与 b 不一定共线．] 5．如图 2231，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那 么EF→＝( ) 图 2231 A.1 2 AB→－1 3 AD→ B.1 4 AB→＋1 2 AD→ C.1 3 AB→＋1 2 DA→ D.1 2 AB→－2 3 AD→ D [EC→＝1 2 AB→，CF→＝2 3 CB→＝－2 3 AD→，所以EF→＝EC→＋CF→＝1 2 AB→－2 3 AD→.] 二、填空题 6．已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则λ＝________. －1 3 [由题意可以设 a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b， 因为 a 与 b 不共线， 所以有 1＝3λ1， λ＝－λ1， 解得 λ1＝1 3 ， λ＝－1 3 . ] 7．若AP→＝tAB→(t∈R)，O 为平面上任意一点，则OP→＝________.(用OA→，OB→表示) 【导学号：84352205】 (1－t)OA→＋tOB→ [AP→＝tAB→，OP→－OA→＝t(OB→－OA→)， 3 OP→＝OA→＋tOB→－tOA→＝(1－t)OA→＋tOB→.] 8．已知平面上不共线的四点 O，A，B，C，若OA→－3OB→＋2OC→＝0，则 |AB→| |BC→| ＝________. 2 [∵OA→－3OB→＋2OC→＝0， ∴OB→－OA→＝2(OC→－OB→)，∴AB→＝2BC→， ∴ |AB→| |BC→| ＝2.] 三、解答题 9．如图 2232，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝1 3 OB， DC 与 OA 交点为 E，设OA→＝a，OB→＝b，用 a，b 表示向量OC→，DC→. 【导学号：84352206】 图 2232 [解]∵AC＝BA，∴A 是 BC 的中点， ∴OA→＝1 2 (OB→＋OC→)， ∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b. ∴DC→＝OC→－OD→＝OC→－2 3 OB→ ＝2a－b－2 3 b＝2a－5 3 b. 10．设两个非零向量 e1，e2 不共线，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.问： 是否存在实数 k，使得 A，B，D 三点共线，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由． [解] 设存在 k∈R，使得 A，B，D 三点共线， ∵DB→＝CB→－CD→＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB→＝2e1＋ke2. 又∵A，B，D 三点共线，∴AB→＝λDB→， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)， 4 ∴ 2＝－λ， k＝4λ， ∴k＝－8， ∴存在 k＝－8，使得 A，B，D 三点共线． [冲 A 挑战练] 1．设 a，b 都是非零向量．下列四个条件中，使 a |a| ＝ b |b| 成立的条件是( ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b 且|a|＝|b| C [ a |a| ， b |b| 分别表示 a，b 的单位向量．对于 A，当 a＝－b 时， a |a| ≠ b |b| ；对于 B， 当 a∥b 时，可能有 a＝－b，此时 a |a| ≠ b |b| ；对于 C，当 a＝2b 时， a |a| ＝ 2b |2b| ＝ b |b| ；对于 D，当 a∥b 且|a|＝|b|时，可能有 a＝－b，此时 a |a| ≠ b |b| .综上所述，使 a |a| ＝ b |b| 成立的条 件是 a＝2b，选 C.] 2．已知△ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P ，且PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则( ) 【导学号：84352207】 A．P 在△ABC 内部 B．P 在△ABC 外部 C．P 在 AB 边上或其延长线上 D．P 在 AC 边上 D [因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PC→＝AB→＋BP→＝AP→， 所以 2AP→＋PA→＋PC→＝3AP→， 所以(AP→＋PA→)＋(AP→＋PC→)＝3AP→， 即AC→＝3AP→， 所以点 P 在 AC 边上，且为 AC 的三等分点．] 3．如图 2233 所示，给出下列结论： 图 2233 ①PQ→＝3 2 a＋3 2 b；②PT→＝－3 2 a－3 2 b； 5 ③PS→＝3 2 a－1 2 b；④PR→＝3 2 a＋b. 其中正确结论的序号是________． ①③ [设PQ→＝x，PT→＝y，则 a＝1 3 x＋1 3 y，b＝1 3 x－1 3 y， 解得 x＝3 2 a＋3 2 b，y＝3 2 a－3 2 b. 即PQ→＝3 2 a＋3 2 b，PT→＝3 2 a－3 2 b， PS→＝1 3 x＋2 3 y＝1 3 3 2 a＋3 2 b ＋2 3 3 2 a－3 2 b ＝3 2 a－1 2 b， PR→＝2 3 x＋1 3 y＝2 3 3 2 a＋3 2 b ＋1 3 3 2 a－3 2 b ＝3 2 a＋1 2 b. 故①③正确，②④错误．] 4．已知△ABC 和点 M 满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数 m 使得AB→＋AC→＝m AM→成立，则 m 的值为________． 3 [∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴点 M 是△ABC 的重心． ∴AB→＋AC→＝3AM→，∴m＝3.] 5．如图 2234，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点，AE＝2 3 AD，AB→＝a，AC→＝b. 图 2234 (1)用 a，b 分别表示向量AE→，BF→； (2)求证：B，E，F 三点共线. 【导学号：84352208】 [解] (1)∵AD→＝1 2 (AB→＋AC→)＝1 2 (a＋b)， ∴AE→＝2 3 AD→＝1 3 (a＋b)， ∵AF→＝1 2 AC→＝1 2 b， 6 ∴BF→＝AF→－AB→＝－a＋1 2 b. (2)证明：由(1)知BF→＝－a＋1 2 b， BE→＝－2 3 a＋1 3 b＝2 3 －a＋1 2 b ， ∴BE→＝2 3 BF→. ∴BE→与BF→共线． 又 BE，BF 有公共点 B，∴B，E，F 三点共线．