高中数学第二章数列2_2_2等差数列的前N项和学案新人教B版必修51 7页

2.2.2 等差数列的前 n 项和 1．理解等差数列前 n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前 n 项和公式，并能利用前 n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn 的关系，能够由其中的三个量求另外 的两个量． 1．等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝________ Sn＝________ (1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数 列的前 n 项和公式． (2)等差数列的前 n 项和公式有两个，一共涉及 a1，an，Sn，n，d 五个量，通常已知其 中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组． (3)当已知首项 a1 和末项 an 及项数 n 时，用公式 Sn＝n a1＋an 2 来求和，用此公式时常 结合等差数列的性质． (4)当已知首项 a1 和公差 d 及项数 n 时，用公式 Sn＝na1＋n n－1 2 d 来求和． 【做一做 1－1】已知数列{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则 n 等于( )． A．33 B．34 C．35 D．36 【做一做 1－2】等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a17＝10，则 S19 的值为( )． A．55 B．95 C．100 D．不能确定 2．等差数列前 n 项和公式与函数的关系 由于 Sn＝na1＋n n－1 2 d＝d 2 n2＋(a1－d 2 )n， 当 d≠0 时，此公式可看做二次项系数为d 2 ，一次项系数为(a1－d 2 )，常数项为 0 的 ________，其图象为抛物线 y＝d 2 x2＋(a1－d 2 )x 上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N＋)． 因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当 d＞0 时，Sn 有最____值；当 d＜0 时， Sn 有最____值． 数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的 一个重要应用． 【做一做 2－1】已知等差数列{an}的通项公式 an＝19－2n，则{an}的前________项和最 大． 【做一做 2－2】已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－12n，则当 n 等于________时，Sn 最 小． 一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为 2n， 设 S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，① S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，② ①－②，得 S 偶－S 奇＝nd. ①＋②，得 S 偶＋S 奇＝S2n. ① ② ，得S 偶 S 奇 ＝ n 2 a2＋a2n n 2 a1＋a2n－1 ＝2an＋1 2an ＝an＋1 an . (2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为 2n＋1， 设 S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③ S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④ ③－④，得 S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1. ③＋④，得 S 偶＋S 奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1. ③ ④ ，得S 奇 S 偶 ＝ n＋1 2 a1＋a2n＋1 n 2 a2＋a2n ＝ n＋1 an＋1 nan＋1 ＝n＋1 n . 综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，S 偶＋S 奇＝S2n，S 偶 S 奇 ＝an＋1 an . (2)项数为 2n＋1 时，S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1，S 偶＋S 奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S 奇 S 偶 ＝ n＋1 an＋1 nan＋1 ＝n＋1 n . 熟练运用这些性质，可以提高解题速度． 除了上述性质外，与前 n 项和有关的性质还有： ①等差数列的依次连续每 k 项之和 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 k2d 的等差数列． ②若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于{Sn n }是等差数列． ③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前 n 项和，则am bm ＝ S2m－1 S2m－1′ . 二、教材中的“？” 如果仅利用通项公式，能求出使得 Sn 最小的序号 n 的值吗？ 剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号 n 的值．因为该数列的通项公式为 an ＝4n－32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相 加其和最小时，n 的值为 7 或 8. 三、教材中的“思考与讨论” 1．如果已知数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那 么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？ 剖析：确定了，由公式 an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2 来求解，求解时注意要分类讨论，然后对 n＝1 的情况进行验证，能写成统一的形式就将 a1 合进来，否则保留分段函数形式． 2．如果一个数列的前 n 项和的公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列 一定是等差数列吗？ 剖析：等差数列前 n 项和公式可以变形为 Sn＝d 2 n2＋(a1－d 2 )n.当 d≠0 时，是关于 n 的二 次函数，如果一个数列的前 n 项和公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列 的通项公式是 an＝ a＋b＋c，n＝1， 2an－a＋b，n≥2. 只有当 c＝0 时，a1＝a＋b＋c 才满足 an＝2an－a＋b.因此，当数列的前 n 项和公式为 Sn＝an2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差 d＝2a. 题型一 等差数列的前 n 项和公式的直接应用 【例 1】在等差数列{an}中， (1)已知 a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求 n； (2)已知 S8＝24，S12＝84，求 a1 和 d； (3)已知 a6＝20，S5＝10，求 a8 和 S8； (4)已知 a16＝3，求 S31. 分析：在等差数列的前 n 项和公式中有五个基本量 a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三 个量，就可以求出其他两个量． 反思：在等差数列{an}中，首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题， 均可化成有关 a1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2) 合理利用等差数列的有关性质． 题型二 Sn 与 an 的关系问题 【例 2】已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn＞1，且 6Sn＝(an＋1)(an＋2)， n∈N＋，求{an}的通项公式． 分析：由 a1＝S1，求 a1. 由 an＋1＝Sn＋1－Sn 确定 an＋1 与 an 的关系，再求通项 an. 反思：利用 an＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2 求 an 时，切记验证 n＝1 时的情形是否符合 n≥2 时 an 的表达式． 题型三 等差数列前 n 项和性质的应用 【例 3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的 中间项及项数． 分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶 数项的和与特殊项及项数的关系． 反思：在等差数列{an}中，(1)若项数为 2n＋1(n∈N＋)，则S 奇 S 偶 ＝n＋1 n ，其中 S 奇＝(n＋ 1)an＋1，S 偶＝n·an＋1；(2)若数列项数为 2n(n∈N＋)，则 S 偶－S 奇＝nd. 题型四 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 4】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值． 分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求 n，使 an≥0，an＋1＜0 或利用等差数列 的性质求出大于或等于零的项． 反思：本例四种解法从四个侧面求解前 n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前 n 项和最大(最小)问题的常用方法有： (1)二次函数法：由于 Sn＝d 2 n2＋(a1－d 2 )n 是关于 n 的二次式，因此可用二次函数的最值 来确定 Sn 的最值，但要注意这里的 n∈N＋. (2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定 n 的值，使 Sn 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于 Sn＝Sn－1＋an，所以当 an≥0 时，Sn≥Sn－1；当 an≤0 时，Sn≤Sn－1，因此 当 a1＞0 且 d＜0 时，使 an≥0 的最大的 n 的值，使 Sn 最大；当 a1＜0，d＞0 时，满足 an≤0 的最大的 n 的值，使 Sn 最小． 题型 五易错辨析 【例 5】若数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3n2－2n＋1，求数列{an}的通项公式，并判断它是 否为等差数列． 错解：∵an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5， ∴an＋1－an＝[6(n＋1)－5]－(6n－5)＝6(常数)． ∴数列{an}是等差数列． 错因分析：本题忽略了 an＝Sn－Sn－1 成立的条件“n≥2”． 【例 6】已知两个等差数列{an}与{bn}，它们的前 n 项和的比 Sn Sn′ ＝n＋3 n＋1 ，求a10 b10 . 错解：设 Sn＝k(n＋3)，Sn′＝k(n＋1)， 则a10 b10 ＝ S10－S9 S10′－S9′ ＝k 10＋3 －k 9＋3 k 10＋1 －k 9＋1 ＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了 Sn＝k(n＋3)，Sn′＝k(n＋1)，从而导致结论错误． 1 已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前 10 项的和 S10 等于( )． A．100 B．210 C．380 D．400 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n＋1 n＋2 ，则 a3 等于( )． A． 1 20 B． 1 24 C． 1 28 D． 1 32 3 等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为( )． A．130 B．170 C．210 D．260 4 设数列{an}是等差数列，且 a2＝－6，a8＝6，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则( )． A．S4＜S5 B．S4＝S5 C．S6＜S5 D．S6＝S5 5 设数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2－2·3n，则通项公式 an＝________. 6 设公差不为零的等差数列{an}，Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 S2 3＝9S2，S4＝4S2，则数 列{an}的通项公式为____________． 答案： 基础知识·梳理 1．n(a1＋an) 2 na1＋n(n－1) 2 d 【做一做 1－1】D 由公式 Sn＝na1＋n(n－1) 2 d，得到 35n＋n(n－1) 2 (－2)＝0，即 n2－ 36n＝0，解得 n＝36 或 n＝0(舍去)． 【做一做 1－2】B 2．二次函数 小 大 【做一做 2－1】9 【做一做 2－2】6 典型例题·领悟 【例 1】解：(1)由 a10＝a1＋9d＝30， a20＝a1＋19d＝50， 得 a1＝12， d＝2. ∵Sn＝242，∴12n＋n(n－1) 2 ×2＝242. 解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)． ∴n＝11. (2)由 S8＝8a1＋28d＝24， S12＝12a1＋66d＝84， 得 a1＝－4， d＝2. ∴a1＝－4，d＝2. (3)由 a6＝a1＋5d＝20， S5＝5a1＋10d＝10， 得 a1＝－10， d＝6. ∴a8＝a6＋2d＝32，S8＝8(a1＋a8) 2 ＝88. (4)S31＝a1＋a31 2 ×31＝a16×31＝93. 【例 2】解：由 a1＝S1＝1 6 (a1＋1)(a1＋2)， 解得 a1＝1 或 a1＝2，由已知 a1＝S1＞1，知 a1＝2. 又由 an＋1＝Sn＋1－Sn ＝1 6 (an＋1＋1)(an＋1＋2)－1 6 (an＋1)(an＋2)， 得 an＋1－an－3＝0 或 an＋1＝－an， 因 an＞0，故 an＋1＝－an 不成立，舍去． 因此 an＋1－an＝3，从而{an}是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故{an}的通项为 an＝3n －1. 【例 3】解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有 n 项，中 间项是第(n＋1)项，即 an＋1. ∴S 奇 S 偶 ＝ 1 2 (a1＋a2n＋1)×(n＋1) 1 2 (a2＋a2n)×n ＝(n＋1)an＋1 nan＋1 ＝n＋1 n ＝44 33 ＝4 3 ，得 n＝3.∴2n＋1＝7. 又∵S 奇＝(n＋1)·an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列的中间项为 11，共有 7 项． 【例 4】解：解法一：由 S17＝S9，得 25×17＋17 2 (17－1)d＝25×9＋9 2 (9－1)d， 解得 d＝－2， ∴Sn＝25n＋n 2 (n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169， 由二次函数的性质得当 n＝13 时，Sn 有最大值 169. 解法二：先求出 d＝－2(解法一)．∵a1＝25＞0， 由 an＝25－2(n－1)≥0， an＋1＝25－2n＜0， 得 n≤131 2 ， n＞121 2 . ∴当 n＝13 时，Sn 有最大值 169. 解法三：先求出 d＝－2(同解法一)． 由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0， ∴a13＞0，a14＜0. 故 n＝13 时，Sn 有最大值 169. 解法四：先求出 d＝－2(同解法一)得 Sn 的图象如图所示，由 S17＝S9 知图象的对称轴 n ＝9＋17 2 ＝13， ∴当 n＝13 时，Sn 取得最大值 169. 【例 5】正解：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝2， ∴an＝ 2，n＝1， 6n－5，n≥2. ∴数列{an}不是等差数列． 【例 6】正解 1：利用等差数列的性质， 得a10 b10 ＝ 19 2 (a1＋a19) 19 2 (b1＋b19) ＝ S19 S19′ ＝19＋3 19＋1 ＝11 10 . 正解 2：设 Sn＝kn(n＋3)，Sn′＝kn(n＋1)， 所以a10 b10 ＝ S10－S9 S10′－S9′ ＝k·10(10＋3)－k·9(9＋3) k·10(10＋1)－k·9(9＋1) ＝11 10 . 随堂练习·巩固 1．B d＝a4－a2 4－2 ＝15－7 2 ＝4，a1＝3，所以 S10＝210. 2．A 3．C 令 m＝1，则 Sm＝S1＝a1＝30，S2m＝S2＝a1＋a2＝100，则有 a1＝30，a2＝70，d＝40， 则 a3＝110，故 S3m＝S3＝S2＋a3＝100＋110＝210. 4．B 方法一：设该等差数列的首项为 a1 ，公差为 d，则有 a1＋d＝－6， a1＋7d＝6. 解得 a1＝－8， d＝2. 从而有 S4＝－20，S5＝－20，S6＝－18.从而有 S4＝S5. 方法二：由等差数列的性质知 a5＋a5＝a2＋a8＝－6＋6＝0，所以 a5＝0，从而有 S4＝S5. 5．－4·3n－1 当 n＝1 时，a1＝S1＝2－2·31＝－4. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2－2·3n)－(2－2·3n－1)＝－4·3n－1. 此时对 n＝1，有 a1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对 n∈N＋，an＝－4·3n－1. 6 ． an ＝ 4 9 (2n － 1) 设 数 列 {an} 的 公 差 为 d(d≠0) ， 首 项 为 a1 ， 由 已 知 得 (3a1＋3d)2＝9(2a1＋d)， 4a1＋6d＝4(2a1＋d). 解得 a1＝4 9 ，d＝8 9 或 a1＝d＝0(舍去)． ∴an＝a1＋(n－1)d＝4 9 ＋(n－1)×8 9 ＝4 9 (2n－1)．