2018-2019学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）‎ A．1000名学生是总体 B．每个被抽查的学生是个体 C．抽查的125名学生的体重是一个样本 D．抽取的125名学生的体重是样本容量 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：在初中学过：“在统计中，所有考察对象的全体叫做总体，其中每一个所要考察的对象叫做个体，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.”因此题中所指的对象应是体重，故A、B错误，样本容量应为，故D错误.‎ ‎【考点】样本、个体、总体 ‎2．甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别将甲、乙的数据列出，计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由题甲次测评成绩为：10,11,14,21,23,23,32,34，‎ 所以甲的平均成绩为=21；‎ 乙次测评成绩为：12,16,21,22,23,23,33,34，‎ 所以乙的中位数为 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图平均数与中位数计算，熟记运算性质，熟练计算是关键，是基础题.‎ ‎3．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（ ）‎ 附：第6行至第9行的随机数表 ‎2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950‎ ‎3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732‎ ‎2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620‎ ‎7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125‎ A．3 B．16 C．38 D．20‎ ‎【答案】D ‎【解析】由简单随机抽样，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，按题目要求取出结果 ‎【详解】‎ 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，‎ 则选出的第3个个体的编号为20， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单随机抽样，属简单题 ‎4．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是（ ）‎ A．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大 B．2017年、2018年的最大仓储指数都出现在4月份 C．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年 D．2018年各月仓储指数的中位数与2017年各月仓储指数中位数差异明显 ‎【答案】D ‎【解析】根据折线图逐一验证各选项.‎ ‎【详解】‎ 通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大, 这两年的最大仓储指数都出现在4月份, 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年,所以选项A，B，C的结论都正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%， ∴选项D的结论错误． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查折线图，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎5．在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴根据正弦定理，即 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴或 故选C ‎6．设等差数列的前n项和为，若 ，当取得最小值时，n等于（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，求得，得到数列的通项公式和前n项和公式，利用二次函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，由，则，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以当时，取得最小值，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的和的最值问题，其中解答中根据题意求得等差数列的公差，得出等差数列的通项公式和前n项和，再利用二次函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7．已知等差数列的前项和为，，则（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为是等差数列，根据，可以求出，利用等差数列的性质可以求出3.‎ ‎【详解】‎ 因为是等差数列，所以,故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列前项和公式和等差数列的性质.考查了运算能力.‎ ‎8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次判定，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 对于A：事件“至少有一个黑球”与“都是黑球” ，这两个事件可能同时发生，所以不正确；‎ 对于B中：“至少有一个黑球”与“都是红球”这两个事件是互斥事件又是对立事件，所以不正确；‎ 对于C中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，所以不正确；‎ 对于D中，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念及其应用，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设正方形的边长为4，则正方形的面积为，‎ 此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，‎ 所以阴影部分的面积为，‎ 根据几何概型，可得概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎10．袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：‎ ‎232‎ ‎321‎ ‎230‎ ‎023‎ ‎123‎ ‎021‎ ‎132‎ ‎220‎ ‎001‎ ‎231‎ ‎130‎ ‎133‎ ‎231‎ ‎031‎ ‎320‎ ‎122‎ ‎103‎ ‎233‎ 由此可以估计事件发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】事件A即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解 ‎【详解】‎ 事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为，故选C ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。‎ ‎11．在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）‎ A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意设出等比数列的公比，把、用和公比表示，然后利用基本不等式求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为 ‎ ，‎ 当且仅当即时上式等号成立 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题.‎ ‎12．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（ ）‎ A．8 B．6 C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①‎ 而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即a2＝2bcsinA，②‎ 将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，‎ ‎∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．‎ 点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 二、填空题 ‎13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】乙不输的概率为，填.‎ ‎14．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为，‎ 因为在33～48这16个数中取的数是39，‎ 所以从33～48这16个数中取的数是第3个数，‎ 所以第1组1～16中随机抽到的数是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎15．已知关于的不等式的解集是，则的解集为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式的解集与方程的根的关系，求得，进而化简不等式，得，进而得到，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，关于的不等式的解集是，‎ 则，解得，‎ 所以不等式，即为，‎ 即，即，解得 即不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系的应用，其中解答中熟记三个二次式之间的关系，以及一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎16．如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据等差数列求，再根据等比数列求，即得.‎ ‎【详解】‎ 因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，‎ 因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列以及等比数列通项公式，考查基本分析求解能力.属基本题.‎ 三、解答题 ‎17．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求理科综合分数的众数和中位数；‎ ‎（3）在理科综合分数为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在的学生中应抽取多少人？‎ ‎【答案】(1) (2)230， （3）5人 ‎【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x的值即可；‎ ‎（2）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；‎ ‎（3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，‎ 解得，∴直方图中的值为．‎ ‎（2）理科综合分数的众数是，‎ ‎∵，‎ ‎∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，‎ 则，‎ 解得，即中位数为．‎ ‎（3）理科综合分数在的学生有（位），‎ 同理可求理科综合分数为，，的用户分别有15位、10位、5位，‎ 故抽取比为，‎ ‎∴从理科综合分数在的学生中应抽取人．‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：‎ 商店名称 销售额/千万元 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额/百万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)画出销售额和利润额的散点图；‎ ‎(2)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程；‎ ‎(3)据(2)的结果估计当销售额为4千万元时的利润额.‎ ‎（附：线性回归方程：，，，）‎ ‎【答案】（1）见解析． （2） （3）当销售额为4（千万元）时，利润约为（百万元）.‎ ‎【解析】（1）根据连锁经营公式所属5个零售店某月的销售额和利润资料散点图，由散点图可得连个变量符合正相关；‎ ‎（2）设回归直线的方程为，分别求出，由，，求得的值，即可求解回归直线的方程；‎ ‎（3）当销售额为4（千万元）时，代入回归直线方程，即可作出预测，得到结论.‎ ‎【详解】‎ 根据连锁经营公式所属5个零售店某月的销售额和利润资料散点图，‎ 由散点图可得连个变量符合正相关；‎ ‎（2）设回归直线的方程为，‎ 因为，‎ 则，‎ 又由，‎ 所以利润对销售额的回归直线的方程为．‎ ‎（3）当销售额为4千万元时，利润额为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了散点图的作法及判断，回归直线方程的求法及应用，其中解答中认真审题，准确计算，注意最小二乘法的合理运用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎19．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，设数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，,列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列和的通项公式；（2））由（1）知，，‎ ‎∴，利用分组求和与裂项相消法求和，结合等比数列范求和公式可得结果.‎ 详解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ ‎∵，，,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎20．某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标和，制成下图，其中“”表示男同学，“+”表示女同学.‎ 若，则认定该同学为“初级水平”，若，则认定该同学为“中级水平”，若，则认定该同学为“高级水平”；若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”.‎ ‎（1）从50名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；‎ ‎（2）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；‎ ‎（3）试比较这100名同学中，男、女生指标的方差的大小（只需写出结论）.‎ ‎【答案】（I） .（Ⅱ）.（Ⅲ）这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.‎ ‎【解析】（I）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标x＜0.6的有15人，由此能求出该同学为“初级水平”的概率；‎ ‎（Ⅱ）利用古典概型概率公式即可得到结果；‎ ‎（Ⅲ）由图可知，这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标的有15人，‎ 所以，从50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率为.‎ ‎（Ⅱ）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为，，.“高级水平”有3人，分别记为，，，所有可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中两人均为“高级水平”的共有3个，所以，所选2人均为“高级水平”的概率.‎ ‎（Ⅲ）由图可知，这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎21．已知中，，，.‎ ‎（1）求边长的长；‎ ‎（2）若点在以为直径的圆上，且点，不在直线同一侧，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由余弦定理得到关于实数x的方程，解方程可得的长为.‎ ‎(2)利用题意得到面积关于的解析式，结合三角函数的性质可得△的面积的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 解：（1）设，则由余弦定理得，即，解得，即的长为.‎ ‎（2）由，得 又，故，解得 设，则 ‎∴△的面积 又，解得，故 ‎∴△的面积的取值范围是.‎ ‎22．已知数列的前项和为，满足，，数列满足，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：数列是等差数列，求数列的通项公式；‎ ‎（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明；（3）‎ ‎【解析】（1）根据数列的通项公式与前n项和之间的关系，求得，得到数列为首项，公比的等比数列，即可求解．‎ ‎ (2)由，化简得，得到数列为首项为，公差为的等差数列，求得，即可求解．‎ ‎（3）由（2）得，利用乘公比错位相减法，求得，再由（1）得，又由对，都有恒成立，得恒成立，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，，所以，‎ 当时，，，‎ 两式相减得，又，所以，‎ 从而数列为首项，公比的等比数列，‎ 从而数列的通项公式为．‎ ‎(2)由两边同除以，得，‎ 从而数列为首项，公差的等差数列，所以，‎ 从而数列的通项公式为． ‎ ‎（3）由（2）得，‎ 于是，‎ 所以，‎ 两式相减得，‎ 所以，‎ 由（1）得， ‎ 因为对，都有，即恒成立，‎ 所以恒成立，‎ 记，所以， ‎ 因为，从而数列为递增数列，‎ 所以当时，取最小值，于是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的与的关系的应用，以及等差、等比数列的定义与通项公式，以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．‎