浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节函数的奇偶性与周期性课件 37页

第 4 节　函数的奇偶性与周期性 考试要求　 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 . 知 识 梳 理 1 . 函数的奇偶性 f ( － x ) ＝ f ( x ) 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都 有 _____________ ， 那么函数 f ( x ) 是偶函数 关于 _____ 对称 奇函数 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都 有 _____________ ， 那么函数 f ( x ) 是奇函数 关于 _____ 对称 y 轴 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 原点 2. 函数的周期性 (1) 周期函数：对于函数 y ＝ f ( x ) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ____________ ，那么就称函数 y ＝ f ( x ) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期 . (2) 最小正周期：如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中 ____________ 的正数，那么这个最小正数就叫做 f ( x ) 的 _____ 正周期 . f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) 存在一个最小 最小 [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 函数奇偶性的三个重要结论 (1) 如果一个奇函数 f ( x ) 在原点处有定义，即 f (0) 有意义，那么一定有 f (0) ＝ 0. (2) 如果函数 f ( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) ＝ f (| x |). (3) 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 函数 y ＝ x 2 在 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) 时是偶函数 .( 　　 ) (2) 若函数 f ( x ) 为奇函数，则一定有 f (0) ＝ 0.( 　　 ) (3) 若函数 y ＝ f ( x ＋ a ) 是偶函数，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称 .( 　　 ) (4) 若函数 y ＝ f ( x ＋ b ) 是奇函数，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于点 ( b ， 0) 中心对称 .( 　　 ) 解析 　 (1) 由于偶函数的定义域关于原点对称，故 y ＝ x 2 在 (0 ，＋ ∞ ) 上不是偶函数， (1) 错 . (2) 由奇函数定义可知，若 f ( x ) 为奇函数，其在 x ＝ 0 处有意义时才满足 f (0) ＝ 0 ， (2) 错 . 答案 　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 答案　 B 3. (2019· 北京东城区二模 ) 下列函数中既是偶函数又在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增的是 ( 　　 ) A. y ＝ x 3 B. y ＝ cos x C. y ＝ e x D. y ＝ | x | ＋ 1 解析 　 y ＝ x 3 是奇函数，故 A 排除； y ＝ e x 是非奇非偶函数， C 排除； y ＝ cos x 是偶函数，但在 (0 ，＋ ∞ ) 上有增也有减， B 排除，只有 D 正确 . 答案 　 D 4. 若函数 y ＝ f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，则 f (2 020) ＋ f (2 019) ＝ ( 　　 ) A. － 2 020 B.0 C.1 D.2 020 解析　 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，所以 f ( － 1) ＝ f (1) ＝－ f (1) ，所以 f (1) ＝ 0 ，且 f (0) ＝ 0 ，而 f (2 020) ＝ f (2 × 1 010 ＋ 0) ＝ f (0) ＝ 0 ， f (2 019) ＝ f (2 × 1 009 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 0 ，故选 B. 答案　 B 5. 若偶函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称， f (3) ＝ 3 ，则 f ( － 1) ＝ ________. 解析　 ∵ f ( x ) 为偶函数， ∴ f ( － 1) ＝ f (1). 又 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 2 对称， ∴ f (1) ＝ f (3). ∴ f ( － 1) ＝ 3. 答案　 3 考点一　函数奇偶性的判断 因此 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ 函数 f ( x ) 既是奇函数又是偶函数 . (3) 显然函数 f ( x ) 的定义域为 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ，关于原点对称 . ∵ 当 x <0 时，－ x >0 ， 则 f ( － x ) ＝－ ( － x ) 2 － x ＝－ x 2 － x ＝－ f ( x ) ； 当 x >0 时，－ x <0 ， 则 f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 － x ＝ x 2 － x ＝－ f ( x ) ； 综上可知：对于定义域内的任意 x ，总有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 成立， ∴ 函数 f ( x ) 为奇函数 . 规律方法　 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2) 判断 f ( x ) 与 f ( － x ) 是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0( 奇函数 ) 或 f ( x ) － f ( － x ) ＝ 0( 偶函数 ) 是否成立 . A. 与 a 无关，且与 b 无关 B. 与 a 有关，且与 b 有关 C. 与 a 有关，但与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关 (2) (2019· 北京卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ cos x ＋ b sin x ( b 为常数 ) ，则 “ b ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) 为偶函数 ” 的 ( 　　 ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 (2) ∵ f ( x ) ＝ cos x ＋ b sin x 为偶函数， ∴ 对任意的 x ∈ R ，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 即 cos( － x ) ＋ b sin( － x ) ＝ cos x ＋ b sin x ， ∴ 2 b sin x ＝ 0. 由 x 的任意性得 b ＝ 0. 故 f ( x ) 为偶函数 ⇒ b ＝ 0. 必要性成立 . 反过来，若 b ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝ cos x 是偶函数 . 充分性成立 . ∴ “ b ＝ 0 ” 是 “ f ( x ) 为偶函数 ” 的充分必要条件 . 故选 C. 答案　 (1)D 　 (2)C 考点二　函数奇偶性的应用 (2) 当 x >0 ，－ x <0 ， f ( － x ) ＝－ e － ax . 因为 f ( x ) 是奇函数，所以当 x >0 时， f ( x ) ＝－ f ( － x ) ＝ e － ax ， 所以 f (ln 2) ＝ e － a ln 2 ＝ (e ln 2 ) － a ＝ 2 － a ＝ 8. 解得 a ＝－ 3. 答案 　 (1)0 　 0 　 (2) － 3 规律方法　 (1) 已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f ( x )± f ( － x ) ＝ 0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程 ( 组 ) ，进而得出参数的值 . (2) 已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f ( x ) 的方程 ( 组 ) ，从而得到 f ( x ) 的解析式或函数值 . 解析　 (1) 因为 f ( x ) 是偶函数， g ( x ) 是奇函数，所以 f (1) ＋ g (1) ＝ f ( － 1) － g ( － 1) ＝ ( － 1) 3 ＋ ( － 1) 2 ＋ 1 ＝ 1. 答案　 (1)C 　 (2)A 考点三　函数的周期性及其应用 (2) ∵ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， ∴ 函数 f ( x ) 的周期 T ＝ 2. 又当 x ∈ [0 ， 2) 时， f ( x ) ＝ 2 x － x 2 ， ∴ f (0) ＝ 0 ， f (1) ＝ 1 ， f (0) ＋ f (1) ＝ 1. ∴ f (0) ＋ f (1) ＝ f (2) ＋ f (3) ＝ f (4) ＋ f (5) ＝ … ＝ f (2 018) ＋ f (2 019) ＝ 1 ， ∴ f (0) ＋ f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f (2 019) ＝ 1 010. 答案　 (1)B 　 (2)1 010 规律方法 　 (1) 根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间 . (2) 若 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x )( a 是常数，且 a ≠ 0) ，则 2 a 为函数 f ( x ) 的一个周期 . 考点四　函数性质的综合运用 【例 4 】 (1) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数， g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 g ( x ) ＝ f ( x － 1) ，则 f (2 017) ＋ f (2 019) 的值为 ( 　　 ) A. － 1 B.1 C.0 D.2 解析　 (1) 由题意知 g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， ∴ g ( － x ) ＝－ g ( x ). 由 g ( x ) ＝ f ( x － 1) ，得 g ( － x ) ＝ f ( － x － 1) ， ∴ f ( － x － 1) ＝－ f ( x － 1). 由 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，则 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( － x － 1) ＝ f [ － ( x ＋ 1)] ＝ f ( x ＋ 1) ， ∴ f ( x ＋ 1) ＝－ f ( x － 1) ，即 f ( x － 1) ＋ f ( x ＋ 1) ＝ 0. ∴ f (2 017) ＋ f (2 019) ＝ f (2 018 － 1) ＋ f (2 018 ＋ 1) ＝ 0. 答案　 (1)C 　 (2)2 规律方法 　 (1) 函数单调性与奇偶性的综合 . 注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性 . (2) 周期性与奇偶性的综合 . 此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 . (3) 单调性、奇偶性与周期性的综合 . 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解 . 答案　 (1)C 　 (2)C