【数学】江苏省无锡市辅仁高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版） 12页

www.ks5u.com 江苏省无锡市辅仁高级中学2019-2020学年 高一上学期期中考试试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,选B.‎ ‎2.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵∴‎ 故选：A．‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】要使原函数有意义，则4x﹣3＞0，解得：x．‎ ‎∴函数的定义域是．‎ ‎4.已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解不等式得，‎ 所以，‎ 所以可以求得，故选B.‎ ‎5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则与故事情节相吻合的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，对于乌龟，其运动过程可分为两端，‎ 从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，‎ 到达终点后等兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，‎ 对于兔子，其运动过程可分为三段：‎ 开始跑的快，所以路程增加快，中间睡觉时路程不变，图象为水平线段，‎ 醒来时追赶乌龟路程加快，‎ 分析图象，可知只有选项B符合题意.‎ 故选B.‎ ‎6.函数的零点所在区间是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在上为增函数，且，‎ ‎，，‎ ‎，的零点所在区间为．‎ 故选C．‎ ‎7.已知，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵x＝20.2＞20＝1，＝0，‎ ‎，∴y＜z＜x．‎ 故选：B．‎ ‎8.已知集合，，若，则实数的取值范围为 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】B＝{x|x﹣1．‎ 故选：B.‎ ‎9.设，且，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，由等式（）两边取对数，‎ 可得，‎ 所以可得，选A.‎ ‎10.已知函数，，若的最小值为，则实数m的值为　　‎ A B. C. 3 D. 或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，即，，‎ 当时，不成立；‎ 当，即时，在递减，可得取得最小值，且，解得成立；‎ 当，即时，在递增，可得取得最小值，且，不成立；‎ 综上可得．‎ 故选C．‎ ‎11.设函数，对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若对任意实数b，关于x的方程f（x）﹣b＝0总有实数根，‎ 即对任意实数b，函数f（x）的图象与直线y＝b总有交点，‎ 即函数f（x）的值域为R，‎ ‎∵f（x），‎ 在同一坐标系中画出y＝x与y＝x2的图象，‎ 由图可得：当a∈[0，1]时，函数f（x）的值域为R，‎ 故a的取值范围是[0，1]，‎ 故选：B．‎ ‎12.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ A. -1 B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，‎ 当x≥0时，f（x），‎ 可得0≤x＜1时，f（x）＝1﹣x2递减，f（x）∈（0，1]；‎ 当x≥1时，f（x）递减，且f（1）＝0，f（x）∈（﹣∞，0]，‎ f（x）在x≥0上连续，且为减函数，‎ 对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，‎ 可得f（|2﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣2|≥|x+m|，‎ 平方得到（2m+4）x≤4﹣m2，‎ ‎①当2m+4＞0即m＞﹣2时，得到x任意的x∈[m﹣1，m]成立，‎ ‎∴m，得到m，∴﹣2＜m；‎ ‎②当2m+4＝0，不满足题意；‎ ‎③当2m+4＜0即m＜﹣2时，得到x任意的x∈[m﹣1，m]成立，‎ ‎∴m﹣1，得到m，不满足题意；‎ 综上，﹣2＜m，故m的最大值为，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设集合，．若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ 所以为方程的解，‎ 则，解得，‎ 所以，，集合．‎ ‎14.已知函数（且），则的图象恒过定点_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为指数函数y＝ax恒过点（0，1），‎ ‎∴函数y＝2﹣ax+1的图象可看作把y＝ax的图象先沿轴反折，再左移1个单位，最后向上平移2个单位得到，‎ ‎∴函数y＝2﹣ax+1恒过（﹣1，1）点，‎ 故答案为：．‎ ‎15.关于的二次函数有两个不相等的实数根，其中一个根小于1，另一个根大于2，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵x的方程有两个不同的实根，‎ ‎∴△＝＞0，∴m＞3或m＜﹣1，‎ ‎∵方程对应的二次函数f（x）＝的开口向上，‎ 而方程有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于2，‎ ‎∴f（1）＜0，且f（2）＜0，‎ ‎∴，∴m，‎ 故答案为：m．‎ ‎16.已知函数是定义在上的奇函数，且，偶函数的定义域为，且当时，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵f（x），‎ ‎∴当0≤x≤1时，2x﹣1∈[0，1]，‎ 当x≥1时，∈（0，1]，‎ 即x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，‎ ‎∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴x≤0时f（x）的值域为[﹣1，0]，‎ ‎∴在R上的函数f（x）的值域为[﹣1，1]．‎ ‎∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x），x＞0的g（x）＝log2x，‎ ‎∴g（x）＝log2|x|（x≠0）‎ ‎∵存在实数a，使得f（a）＝g（b）成立，‎ ‎∴令﹣1≤g（b）≤1．‎ 即﹣1≤log2|b|≤1．即有|b|≤2，∴b≤2或﹣2≤b．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.计算下列各式的值：‎ ‎（1）化简：；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【解】（1），‎ ‎∴.‎ ‎（2）‎ ‎=.‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）因为，所以，‎ 或,‎ 又 ，‎ 所以.‎ ‎（2）若，由，‎ 得 当，即时，，此时有，‎ 综上，实数的取值范围是：.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）请写出分段函数并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象（请用列表描点法作图）；‎ ‎（2）根据函数的图象回答下列问题：‎ ‎①求函数的单调区间；‎ ‎②求函数的值域；‎ ‎③求关于的方程在区间上解的个数.（回答上述3个小题只需直接写出结果，不需给出演算步骤）‎ ‎【解】（1）去绝对值可得解析式，根据函数f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1．‎ 可得函数的图象，如图所示：‎ ‎（2）结合函数的图象可得，‎ ‎①函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），‎ 函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1]；‎ ‎②函数f（x）值域为[0，+∞），‎ ‎③方程f（x）＝2在区间[0，2]上解的个数为1个．‎ ‎20.已知定义域为R的函数是奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断并用定义证明的单调性；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）由f（1）+f（﹣1）＝0，得．‎ 检验：a＝2时，，‎ ‎∴f（x）+f（﹣x）＝0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．‎ ‎（2）判断：单调递增．‎ 证明：设x1∈R，x2∈R且x1＜x2，‎ 则f（x1）﹣f（x2）‎ ‎，‎ ‎∵，即．‎ 又，∴，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．‎ ‎∴f（x）在R上是增函数．‎ ‎（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0⇔f（mt2+1）＞f（mt﹣1），‎ ‎∵f（x）在R上是增函数，∴对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，‎ 即mt2+1＞mt﹣1对任意的t∈R恒成立，即mt2﹣mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．‎ m＝0时，不等式即2＞0恒成立，合题意；m≠0时，有，即0＜m＜8．‎ 综上：实数m的取值范围为0≤m＜8‎ ‎21. 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：‎ 时间 ‎ 第4天 ‎ 第32天 ‎ 第60天 ‎ 第90天 ‎ 价格（千元） ‎ ‎23 ‎ ‎30 ‎ ‎22 ‎ ‎7 ‎ ‎（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；‎ ‎（2）销售量与时间的函数关系：，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？‎ ‎【解】（1）由题意，设 同样设 ‎(2)设该产品的日销售额为 此时当 ‎，此时 综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）‎ ‎22.集合是满足下列条件的函数全体：如果对于任意的，都有.‎ ‎（1）函数是否为集合的元素，说明理由；‎ ‎（2）求证：当时，函数是集合的元素；‎ ‎（3）对数函数，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）取，，‎ ‎，，，‎ ‎∴函数不是集合M0的元素．‎ ‎（2）任取，‎ ‎，‎ ‎∵，，根据指数函数的性质，得，∴，‎ 同理，，∴，∴．‎ ‎∴，∴函数是集合的元素．‎ ‎（3）∵对数函数，∴任取，成立，即成立，‎ ‎∴对一切成立，∴对一切成立，‎ ‎∵，∴，∴，∴.‎