吉林省长春市榆树一中2019-2020学年高一上学期尖子生考试数学（文）试题 16页

数学（文）试题(1) 一、选择题（本题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解出 集合，再由并集的定义写出 即可． 【详解】由 ， 则 ．故选 D． 【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件．属于基础题 2.与函数 的图象相同的函数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数的性质可化简函数 ，分析选项的定义域及解析式即可求解. 【详解】因为 ， 所以 A,B 选项定义域为 ，排除， 对于 C 选项，化简可得 ，定义域不同，排除， 对于 D 选项， ，定义域及解析式相同， 2{ | 4 }A x x x= < { | 2 5}B x x= < < A B = { | 0 2}x x< < { | 4 5}x x< < { | 2 4}x x< < { | 0 5}x x< < A A B 2{ | 4 }A x x x= < ⇒ { | 0 4}A x x= < < { | 0 5}A B x x∪ = < < ( )lg 110 xy −= 1y x= − =| 1|y x − 2 1 1 xy x −= + 21 1 xy x − =  −  ( )lg 110 1( 1)xy x x−= = − > ( )lg 110 1( 1)xy x x−= = − > R 2 1 1( 1)1 xy x xx −= = − ≠ −+ 2 21 ( 1) 1( 1)11 x xy x xxx − − = = = − >  −−  故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及函数的解析式，属于中档题. 3. ，则 = A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 将原式的分子分母同时除以 ，化为关于 的三角式求解． 【详解】将原式 分子分母同时除以 ，得到： ； 故答案选 A 【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题． 4. 是定义在 上的减函数，则 的范围是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由一次函数的单调性以及端点处的函数值的关系结合分段函数的单调性即可得到 的范围. 【详解】解：要使得 在 上是单调减函数 需满足 ，解得 故选:B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题. 5.函数 的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 的 . tanα 3= sin cos sin cos α α α α + − cosα tanα cosα tan 1 3 1= 2tan 1 3 1 sin cos sin cos α α α α α α + + += =− − − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 , 1 , 1 a x a xf x ax x  − + <= − ≥ ( ),−∞ +∞ a 10, 3      1 1,8 3     10, 3      1, 3  −∞   a ( )f x ( ),−∞ +∞ 3 1 0 0 (3 1) 1 4 1 a a a a a − < − <  − ⋅ + − ⋅  1 1 8 3a < π( ) sin(2 )3f x x= + 4π 2π π π 2 【解析】 由题意 ，故选 C． 【名师点睛】函数 的性质： (1) . (2)最小正周期 (3)由 求对称轴. (4)由 求增区间;由 求减区间. 6.函数 为增函数的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】 , 求 的递增区间，等价于求 的递减区间， 由 得 得 当 k＝0 时， ， 即函数 的递减区间为 ， 2 2T π π= = ( )sin ( 0, 0)y A x B Aω ϕ ω= + + > > max min= +y B A y B A= −， 2 .T π ω= ( )π π2x k k Zω ϕ+ = + ∈ ( )π π2 π 2 π2 2k x k k Zω ϕ− + ≤ + ≤ + ∈ ( )π 3π2 π 2 π2 2k x k k Zω ϕ+ ≤ + ≤ + ∈ 2sin( 2 )3y x π= − ( [0, ])x π∈ 5[ 0, ]12 π [0, ]2 π 5 11[ , ]12 12 π π 11[ , ]12 π π  2sin 2 2sin 23 3y x x π π   = − = − −       ∴ 2sin 23y x π = −   2sin 2 3y x π = −   32 2 2 ,2 3 2k x k k z π ππ π π+ ≤ − ≤ + ∈ 5 112 2 2 ,6 6k x k k zπ π π π+ ≤ ≤ + ∈ 5 11 ,12 12k x k k zπ π π π+ ≤ ≤ + ∈ 5 11 12 12xπ π≤ ≤ 2sin 2 3y x π = −   5 11,12 12 π π     则函数 的单调递增区间为 . 故选 C． 【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关 系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据 y=sint 和 的单调性来研究，由 得单调增区间；由 得单调减区间. 7. （ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 因 ，选 D 8.设 D 为△ABC 所在平面内一点， ，则（　　） A. ＝﹣2 +3 B. ＝3 ﹣2 C. ＝﹣3 +4 D. ＝4 ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 ，即可得出 ，进行向量的数乘运算即可得出 结果. 【详解】 ， ， ，故选 A. 【点睛】本题主要考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，属于简单题.向量的运算 有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２） 2sin 23y x π = −   5 11,12 12 π π     t xω ϕ= + +2 2 ,2 2k x k kω ϕπ π− π ≤ + ≤ + π ∈Z +2 2 ,2 2k x k kω ϕπ 3ππ ≤ + ≤ + π ∈Z 2 3(log 9) (log 4)⋅ = 1 4 1 2 2 3 lg9 lg 4(log 9) (log 4) 2 2 4lg 2 lg3 ⋅ = ⋅ = × = 3BC BD=  AC AB AD AC AB AD AC AB AD AC AB AD 3BC BD=  ( )3AC AB AD AB− = −    3BC BD  = ( )3AC AB AD AB∴ − = −    2 3AC AB AD∴ = − +   三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 9.已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先排除 时 x 的值，再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果. 【详解】若 ，则 ，解得 . 因为 与 的夹角为锐角，∴ . 又 ，由 与 的夹角为锐角， ∴ ，即 ，解得 . 又∵ ，所以 . 所以本题答案为 B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型，注意排除向量平行的可能，属基础 题. 10.如果向量如果向量 共线且方向相反，则 (　　) A. B. C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量共线的条件可得 ，根据方向相反选择 的取值即可. 【详解】因为向量 共线， 所以 ， 解得 或 ， ( ,6)a x= (3,4)b = a b x [ 8, )− +∞ 9 98, ,2 2    − ∪ +∞       9 98, ,2 2    − ∪ +∞      ( 8, )− +∞ a b∥ a b∥ 4 18x = 9 2x = a b 9 2x ≠ 3 24a b x⋅ = + a b 0a b⋅ > 3 24 0x + > 8x > − 9 2x ≠ 9 98, ,2 2x    ∈ − ∪ +∞       ( )1 )4(a k b k= = ，与 ， k = 2± 2− 2 1 4k = × k ( )1 )4(a k b k= = ，与 ， 2 1 4k = × 2k = 2k = − 因为向量方向相反， 所以 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，方向相反的向量，属于中档题. 11.已知 ， ， ，则 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用利用 等中间值区分各个数值的大小． 【详解】 ； ； ． 故 ． 故选 A． 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待． 12.已知函数 若函数 有四个零点,零点从小到大依 次为 则 的值为(　　) A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 函数 有四个零点，即 与 的图象有 4 个不同交点， 可设四个交点横坐标 满足 ，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得 ，利用对称性得到 ，从而可得结果. 2k = − 2log 7a = 3log 8b = 0.20.3c = , ,a b c c b a< < a b c< < b c a< < c a b< < 0,1,2 0.2 00.3 0.3 1c = < = 2 2log 7 log 4 2> = 3 31 log 8 log 9 2< < = c b a< < 1 2| log , 0( ) ,2 1, 0 x xf x x x =  + − ≤ ( ) 1y f x m= − + , , , ,a b c d a b cd+ + 2− 3− 3 ( ) 1y f x m= − + ( )y f x= 1y m= − a b c d, ,, a b c d< < < 1cd = 4a b+ = − 【详解】 作出函数 的图象如图, 函数 有四个零点，即 与 的图象有 4 个不同交点， 不妨设四个交点横坐标 满足 ， 则， ， , 可得 , 由 ，得 ， 则 ，可得 ， 即 ， ，故选 C. 【点睛】函数 性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习 的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种 等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程 的根 函数 与 的交点. 二、填空题（本题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分） 13.设 是第三象限角， ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 由 是第三象限的角，根据 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 的值即 可． 【详解】解： ， 的 ( ) 2log , 0 2 1, 0 x xf x x x  >=  + − ≤ ( ) 1y f x m= − + ( )y f x= 1y m= − a b c d, ,, a b c d< < < ( ) ( )f a f b= 2 1 2 1a b+ − = + − 3 1a b− − = + 4a b+ = − ( ) ( )f c f d= 2 2log logc d= 2 2log logc d− = 2log 0cd = 1cd = 4 1 3a b cd+ + = − + = − ( ) ( )y f x g x= − ⇔ ( ) ( )y f x g x= − x ⇔ ( ) ( ) 0f x g x− = ⇔ ( )y f x= ( )y g x= α 5tan 12 α = ( )cos π α− = 12 13 α tanα cosα 5tan 12 α = ， ， 又 为第三象限角， ， ， 故答案为 ． 【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 14.已知函数 则不等式 的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】结合函数的解析式分类讨论： 当 时， ，解得： ，此时 ， 当 时， ，解得 ，此时 ， 综上可得，不等式 的解集为 . 【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 15.函数 （ ）的最大值是__________． 【答案】1 【解析】 【详解】化简三角函数的解析式， 可得 2 2 1 1691 tancos 144 αα∴ = + = 2 144cos 169 α∴ = α 12cos 13 α∴ = − ( ) 12cos cos 13 π α α∴ − = − = 12 13 2 , 0,( ) ln( 1), 0, x xf x x x  <=  + ≥ ( ) 1f x < ( 1, 1)e− − 0x < 2 1x < 1 1x− < < 1 0x− < < 0x ≥ ( )ln 1 1x + < 1x e< − 0 1x e≤ < − ( ) 1f x < ( )1, 1e− − ( ) 2 3s 3 4f x in x cosx= + − 0, 2x π ∈   ( ) 2 23 11 cos 3 cos cos 3 cos4 4f x x x x x= − + − = − + + = ， 由 ，可得 ， 当 时，函数 取得最大值 1． 16.给出下列命题： ①函数 是奇函数； ②将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像； ③若 是第一象限角且 ，则 ； ④ 是函数 图像的一条对称轴； ⑤函数 的图像关于点 中心对称． 其中，正确的命题序号是______________ 【答案】①④ 【解析】 分析：利用诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图像特征，还有正切函数的性质，逐一 判断各个选项是否正确，从而得到正确的结果. 详解：①函数 是奇函数，故①正确； ②若将函数 的图像向左平移 个单位长度，其图像对应的函数解析式为 ，而不是 ，故②错误； ③令 ，则有 ，此时 ，故③错误； 的 23(cos ) 12x− − + [0, ]2x π∈ cos [0,1]x∈ 3cos 2x = ( )f x 2cos 3 2y x π = +   cos 2 3y x π = −   3 π ( )cos 2y x= ,α β α β< tan tanα β< 8x π= 5sin 2 4y x π = +   sin 2 3y x π = +   ,012 π     2 2cos 3 2 3y x sin x π = + = −   cos 2 3y x π = −   3 π cos[2( ) ]3 3y x π π= + − cos(2 )3x π= + ( )cos 2y x= 13,3 6 π πα β= = 3tan 3,tan 3 α β= = tan tanα β> ④把 代入函数 ，得 ，为函数的最小值，故 是函数 的图像的一条对称轴，故④正确； ⑤因为函数 的图像的对称中心在函数图像上，而点 不在图像上，所 以⑤不正确； 故正确的命题的序号为①④. 点睛：该题考查的是有关三角函数的图像和性质的有关问题，在求解的过程中，需要对正余 弦的诱导公式、三角函数的图像和性质、以及图像的变换的有关要求都非常清楚，逐一判断， 求得结果. 三、解答题（本题共 6 个题，满分 70 分） 17.已知 ， 是互相垂直的两个单位向量， ， . （1）求 和 的夹角； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）分别运用向量的代数形式和坐标形式的数量积公式建立方程求解；（2）依 据题设条件及向量的数量积公式建立方程求解： 解：（1）因为 ， 是互相垂直的单位向量，所以 ， ， 设 与 的夹角为 ，故 ， 又 ，故 （2）由 得 ，即 ，又 8x π= 5sin 2 4y x π = +   1y = − 8x π= 5sin 2 4y x π = +   sin 2 3y x π = +   ,012 π     i j 3a i j= +   3b i j= − −   a b ( )a a bλ⊥ +   λ 5= 6 πθ 2 2 3= · 3 a a b λ − =  i j ( ) ( )3 3 2 3a b i j i j⋅ = + ⋅ − − = −     a b ( )a a bλ⊥ +   故 【解法二】 设 与 的夹角为 ，则由 ， 是互相垂直的单位向量，不妨设 ， 分别为平面直角 坐标系中 轴、 轴方向上的单位向量，则 ， ， ， ， ，故 ．又 ，故 ． （2）由 与 垂直得 ，即 ，又 ， 故 18.如图是函数 在一个周期内的图像,试确定 的值。 【答案】 ， 【解析】 【分析】 由图象可知振幅 ,周期 ，利用周期公式求出 ，图象过点 ， 代入即可求出 . 【详解】由图象可知 ，周期 ， a b i j i j x y 1 3 2a = + = 3 1 2b = + = ( ) ( )1 3 3 1 2 3a b⋅ = ⋅ − + ⋅ − = − a a bλ+  2 4, 2 3a b a= ⋅ = −  sin( )( 0, 0, 0)y A x Aω ϕ ω ϕ= + > > > , ,A ω ϕ 3, 2A ω= = 3 πϕ = 3A = 5= ( )6 6T π π π− − = ω ( ,0)3 π ϕ 3A = 5= ( )6 6T π π π− − = 所以 ,解得 ， 又图象过点 ， 所以 ，即 , 解得 , 由 ，可取 . 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，正弦型函数的解析式，属于中档题. 19.已知 （1）化简 （2）若 是第二象限角,且 ,求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析： （1）根据诱导公式对 进行化简即可．（2）先由 求得 ，再 根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解． 试题解析： （1） ． （2） ， ， ∵ 是第二象限角， ∴ ， 2T π πω= = 2ω = ( ,0)3 π 3sin(2 ) 03 π ϕ× + = 2 2 ,3 k k Z π ϕ π π× + = + ∈ 2 ,3k k Z πϕ π= + ∈ 0ϕ > 3 πϕ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 3 cos 2 sin 2 cos sinf ππ α π α α α π α π α  − − −  = − − − ( )f α α 1cos 2 3 απ + = −   ( )f α cosα 2 2 3 − ( )f α 1cos 2 3 π α + = −   1sin 3 α = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 3 cos 2 sin sin cos cos2 coscos sin cos sinf ππ α π α α α α αα απ α π α α α  − − −  − = = =− − − − 1cos sin2 3 π α α + = − = −   1sin 3 α∴ = α 2 2 2cos 1 sin 3 α α= − − = − ． 20.求函数 的最大值与最小值. 【答案】 ,即 时, ,当 ,即 时, . 【解析】 【分析】 根据对数的运算，可化简函数 ，利用二 次函数即可求出最值. 【详解】 . ∵ ,∴ , 故当 ,即 时, ,当 ,即 时, . 【点睛】本题主要考查了对数的运算，二次函数求最值，属于中档题. 21.函数 f(x)对任意的 m， ，都有 ，并且 时，恒有 (1)求证：f(x)在 R 上是增函数 (2)若 ，解不等式 【答案】（1）证明见解析（2）不等式 的解集为: . 【解析】 【分析】 (1)利用 = 和增函数的定义证明; (2)先通过赋值法得到 ,再根据(1)的增函数可解得不等式的解集. 【详解】(1)证明:任取 ,则 = = , ( ) 2 2cos 3f α α∴ = = − 2 2log (8 ) log (4 )(2 8)y x x x= ⋅ ≤ ≤ 2log 1x = 2x = min 12y = 2log 3x = 8x = max 30y = 2 2 2 2log (8 ) log (4 ) (log 3) (log 2)(2 8)y x x x x x= ⋅ = + ⋅ + ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 5 1(log 3) (log 2) (log ) 5log 6 log 2 4y x x x x x = + ⋅ + = + + = + −   2 8x≤ ≤ 21 log 3x≤ ≤ 2log 1x = 2x = min 12y = 2log 3x = 8x = max 30y = n R∈ ( ) ( ) ( ) 1f m n f m f n+ = + − 0x > ( ) 1f x > (6) 4f = 2( 4) 2f a a+ − < 2( 4) 2f a a+ − < ( 3,2)− 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x f x− = − + − 2 1( ) 1f x x− − (2) 2f = 1 2x x< 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x f x− = − + − 2 1 1 1( ) ( ) 1 ( )f x x f x f x− + − − 2 1( ) 1f x x− − 因为 ,所以 , 因为 时，恒有 , 所以 ,所以 , 所以 , 所以 , 根据增函数的定义可知, f(x)在 R 上是增函数. (2)在 中,令 得 , 即 , 中,令 得 , 即 , 所以 , 又 ,所以 ,所以 , 所以 等价于 , 因为函数 在 上是增函数, 所以 ,即 , 所以 , 所以 , 所以不等式 的解集为: . 【点睛】本题考查了用定义证明增函数,利用增函数的性质解不等式,属于中档题. 22.函数 在它的某一个周期内的单调减区间是 . （1）求 的解析式； 在 1 2x x< 2 1 0x x− > 0x > ( ) 1f x > 2 1( ) 1f x x− > 2 1( ) 1 0f x x− − > 2 1( ) ( ) 0f x f x− > 2 1( ) ( )f x f x> ( ) ( ) ( ) 1f m n f m f n+ = + − 2m n= = (2 2) (2) (2) 1f f f+ = + − (4) 2 (2) 1f f= − ( ) ( ) ( ) 1f m n f m f n+ = + − 4, 2m n= = (4 2) (4) (2) 1f f f+ = + − (6) (4) (2) 1f f f= + − (6) 2 (2) 1 (2) 1 3 (2) 2f f f f= − + − = − (6) 4f = 3 (2) 2 4f − = (2) 2f = 2( 4) 2f a a+ − < 2( 4) (2)f a a f+ − < ( )f x R 2 4 2a a+ − < 2 6 0a a+ − < ( 3)( 2) 0a a+ − < 3 2a− < < 2( 4) 2f a a+ − < ( 3,2)− ( ) ( )sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > <   5 11,12 12 π π     ( )f x （2）将 的图象先向右平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为 ，求函数 在 上 的最大值和最小值. 【答案】（1） ；（2）最大值为 1，最小值为 ． 【解析】 试题分析： (1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为 ； (2)首先求得函数的解析式 结合函数的定义域可得函数的最大值为 1， 最小值为 试题解析： （1）由条件， ， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 的解析式为 （2）将 的图象先向右平移 个单位，得 ∴ 而 ∴函数 在 上的最大值为 1，最小值为 ( )y f x= 6 π 1 2 ( )g x ( )g x 3,8 8 π π     ( ) sin(2 )3f x x π= − 1 2 − ( ) sin 2 3f x x π = −   ( ) 2sin 4 3g x x π = −   1 2 − 11 5 2 12 12 2 T π π π= − = 2 , π πω = 2ω = 5sin 2 1,12 π ϕ × + =   3 πϕ = − ( )f x ( ) sin 2 3f x x π = −   ( )y f x= 6 π 2sin 2 3x π −   ( ) 2sin 4 3g x x π = −   3 2 5, , 48 8 6 3 6x x π π π π π ∈ ∴− ≤ − ≤   ( )g x 3,8 8 π π     1 2 −