河北省张家口市宣化一中2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 13页

数学试卷 一、选择题：本大题共有12小题,每小题4分,共48分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ‎1.数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是(　　) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到．‎ ‎【详解】因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以 ．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】对于根据数列前几项的值，求数列通项公式的题目，解题方法是根据前几项的值与该项序号的关系得到，属基础题．‎ ‎2.已知集合，,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知得，‎ 因为，‎ 所以，故选A．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.已知数列成等比数列，则( )‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列成等比数列可知和的值，从而求出结果.‎ ‎【详解】因为数列成等比数列，所以，且与首项同号，所以，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎4.与大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较两个式子大小，只需将两式作差即可.‎ ‎【详解】，所以 ‎，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查不等关系，作差法比较两式大小.‎ ‎5.等差数列中，，则（ ）‎ A. -8 B. ‎22 ‎C. 20 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由等差数列性质可得出，，由可求出 的值，从而可得出结果.‎ ‎【详解】因为数列为等差数列，所以，又，所以即，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎6.在中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，代入数据即可.‎ ‎【详解】在中由正弦定理可得，由，，，所以，所以或.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查正弦定理，属于基础题.‎ ‎7.已知等差数列的前项和记为，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列性质知，再由求出，再用前项和公式即可得出结果 ‎【详解】因为为等差数列，所以，又，所以，即，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，解题的关键时熟练应用等差数列前项和公式.‎ ‎8.在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（ ）‎ A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得,即,所以,三角形为等腰三角形.‎ 考点：解三角形----正弦定理与余弦定理．‎ ‎9.已知x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. -1 B. ‎-2 ‎C. -5 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：‎ 令，可知在图中处，取到最大值-1,故选A.‎ 考点：本题主要考查了简单的线性规划.‎ ‎10.若直线过点，则的最小值等于（）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C．‎ 考点：基本不等式.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.在ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，则∠A= ( )‎ A. 45° B. 15° C. 45°或135° D. 15°或105°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理可解得sinC，结合范围C∈（0，180°），可得C，利用三角形内角和定理即可求A的值．‎ ‎∴由正弦定理，,‎ ‎∴由，可得：C=45°或135°．∴可得：A=180°-B-C=105°或15°．故选D．‎ 考点：正弦定理 ‎12.已知△中，，,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于 ( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,分别是、的等差中项与等比中项，可得出,的值，再由用正弦定理可得出，从而得出，再由三角形面积公式及可求出面积.‎ ‎【详解】由题可知， ，由正弦定理可知，又，所以，所以或，所以或，由三角形面积公式可得，所以或.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查数列性质、正弦定理、三角形面积公式的综合应用，解题的关键是熟练应用数列性质、正弦定理、三角形面积公式.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.‎ ‎13.不等式的解集为 ．（用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．‎ 考点：一元二次不等式．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.等差数列的前项和为,若,则等于_______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列前项和性质可知、、也成等差数列，再由，求出，再由等差数列性质求出，从而得出的值.‎ ‎【详解】由等差数列前项和性质可知、、也成等差数列，所以 ‎，又，所以，所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，解体的关键是的等差数列前项和、、、 也成等差数列.‎ ‎15.已知点与点在直线的同一侧，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知把点与点代入得到的符号形同，即 ‎，求解即可.‎ ‎【详解】因为点A，B在直线的同一侧，所以把点与点代入 得到的符号形同，所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域，属于基础题.‎ ‎16.已知内角的对边分别是,若，，则的面积为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由可得，再根据余弦定理可得出，，由可得，再代入三角形面积公式求解即可．‎ ‎【详解】由可得，由余弦定理可知，，又，所以，解得，所以，由可得，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查正、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题,共56分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.要制作一个容积为‎4m3‎，高为‎1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价.‎ ‎【答案】160元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m（），再由容积为‎4m3‎，高为‎1m得长方体的底面矩形的宽为m，根据题意建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值，即可得出所求 ．‎ ‎【详解】设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m（），‎ 因为无盖长方体的容积为‎4 m3‎，高为‎1 m，所以长方体的底面矩形的宽为m，‎ 依题意得， (当且仅当，即时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是用基本不等式求最值．‎ ‎18.已知等差数列{an}首项a1=1，公差为d，且数列是公比为4的等比数列，‎ ‎（1）求d；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；‎ ‎（3）求数列的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）2（2）an=2n﹣1，（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用数列{an}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，即可求d；‎ ‎（2）利用等差数列的通项与求和公式，即可求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；‎ ‎（3）利用裂项法求数列的前n项和Tn．‎ 解：（1）∵数列{an}是公差为d的等差数列，数列是公比为4的等比数列，‎ ‎∴，求得d=2‎ ‎（2）由此知an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎（3）令 则=‎ 考点：数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎19.在中，分别是角的对边，若，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若求面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了解三角形的运用．第一问中利用已知的条件中，得到C的正弦值，然后得到C的正切值，利用内角和定理，得到tanB的值．从而得到角B 第二问中，由正弦定理可知得到b的值，然后结合sinA=sin(B+C)得到A的正弦值，结合三角形的面积公式得到．‎ 解：（1）由 ‎；……………………4分 又；……………………6分 ‎（2）由正弦定理可得，，；……………………8分 由得，；……………………10分 所以ABC面积；……………………12分 ‎20.已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列公差为 ‎ 成等比数列 ‎（舍）或 ‎.‎ ‎（2）令 ‎.‎ ‎【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据，求出数列的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前n项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前n项和公式的使用.‎ ‎21.在中，内角，，所对的边长分别是，，．‎ ‎（1）若，，且的面积为，求，的值；‎ ‎（2）若，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1） a＝2，b＝2 （2）等腰三角形或直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；‎ ‎（2）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．‎ 试题解析：（1） ∵c＝2，，‎ ‎∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.‎ 又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，∴ab＝4.‎ 联立方程组解得a＝2，b＝2.‎ ‎（2）由sinC＋sin（B－A）＝sin‎2A，得sin（A＋B）＋sin（B－A）＝2sinAcosA，‎ 即2sinBcosA＝2sinAcosA，‎ ‎∴cosA·（sinA－sinB）＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，‎ 当cosA＝0时，∵0