全国大联考 2020 届 1 月联考理科数学试卷（B） 8页

理科数学试卷 第 1 页（共 8 页） 20·LK1·YG 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 1 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届 1 月联考 理科数学试卷（B） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，需用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 3．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 4．考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 ，则 =A A． B． C． D． 2．若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z 的共轭复数是 B A．－1－i B．1＋i C．－1＋i D．1－i 3．若 2ln=a ， 2 1 5− =b ， dxxc = 2 0 cos2 1  ，则 ,,abc的大小关系是 D A. abc B. bac C. c b a D. b c a 4．若 5sin( )45  −= ，那么cos( )4  + 的值为 D A． 25 5 B． 25 5− C． 5 5 D． 5 5− 5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为 r 的圆， 若该几何体的体积为 9 8 ，则它的表面积是 C 2{ 3 2 }, { sin 0}M x y x x N x x= = + − =  MN (0,3] [3, ) [ 1, )− [ 1,0)− 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考 证号 考场号 座位号 理科数学试卷 第 2 页（共 8 页） 20·LK1·YG A． 9 2 B．9 C． 45 4  D． 54 4  6．下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是 D A． B． C． D． 7．将函数 )62sin()( += xxf 的图象向右平移 6  ，再把所有点的横坐标伸长到原来的2 倍 （纵坐标不变）得到函数 )(xg 的图象，则下列说法正确的是 D A. 函数 的图象关于点 )03( ，− 对称 B. 函数 的最小正周期为 2  C. 函数 的图象关于直线 6 =x 对称 D. 函数 在区间 ]3 2,6[  上单调递增 8．已知定义在 R 上的函数 )(xf 满足对任意 Rx 都有 0)1()1( =−++ xfxf 成立，且函 数 )1( +xf 的图像关于直线 1−=x 对称，则 f (2049)=A .A 0 .B 2 .C 2− .D 1− 9．给出下列五个命题： ①若 为真命题，则 为真命题； ②命题“ ，有 ”的否定为“ ，有 ”； ③“平面向量 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ”； ④在锐角△ABC 中，必有 ； ( )0,+ ln 1yx=− 2y x x=− cosxy x= xxy e e−=+ pq pq 0x ＞ 1xe  0 0x 0 1xe ＜ a b 0ab• sin sin cos cosA B A B+  + 理科数学试卷 第 3 页（共 8 页） 20·LK1·YG ⑤ 为等差数列，若 ，则 其中正确命题的个数为 A A．1 B．2 C．3 D．4 10．某地举办科技博览会，有 3 个场馆，现将 24 个志愿者名额分配给这 3 个场馆，要 求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种 A A．222 B．253 C．276 D．284 11．已知双曲线 的实轴端点分别为 ，记双曲线的其中一个焦 点为 F，一个虚轴端点为 B，若在线段 BF 上（不含端点）有且仅有两个不同的点 ， 使得 ，则双曲线离心率 e 的取值范围为 A A． B． C． D． 12．已知函数 ，若曲线 上始终存在两点 A、B，使 得 OA⊥OB，且 AB 的中点在 轴上，则正实数 的取值范围为 C A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．设函数 32ln)( xxxxf += ,则曲线 )(xfy = 在点 )2,1( 处的切线方程是 ． 14．已知函数 1)1(log)( 2 2 3 ++++= xxaxxf )( Ra  且 3)1( −=f ，则 =− )1(f ． 15．在 ABC 中，角 ,,ABC所对的边分别是 , , ,a b c 且满足 aCb =sin ， acbca 5 8222 =−+ ， 则 =Ctan ． {}na ( , , , )m n p qa a a a m n p q N + = +  m n p q+ = + 22 221( 0, 0)xy abab− =   12,AA ( 1,2)iPi= 122iA PA = 51( 2, )2 + 61( 2, )2 + 51(1, )2 + 51( , )2 + + 32,1 () (2 )ln ,11 x x x fx a e x x xx  − + =  −  + )(xfy = y a ( )0,+ 1(0, ]e 1[ , )e + [ , )e + 理科数学试卷 第 4 页（共 8 页） 20·LK1·YG 16．若函数 kxxkexf x +−= 2 2)( 在 2,0 上单调递增，则实数k 的取值范围是 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本题满分 12 分） 如图，在凸四边形 中， ， ，设 ． （1）若 °，求 AD 的长； （2）当 变化时，求 BD 的最大值． 18.（本题满分 12 分） 某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对 两位选手，随 机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图： A 选手 B 选手 4 5 9 3 5 1 3 6 6 3 1 5 2 4 0 7 1 9 5 5 7 8 3 6 7 7 1 6 7 8 8 4 5 0 8 4 4 0 7 2 0 9 2 9 4 0 （1）通过茎叶图比较 A , B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值， 得出结论即可）； ABCD 1, 3AB BC== 3AC DC CD AC⊥=， ABC = 0=30  BA, 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 —————————————————————————————————————————————————————— 理科数学试卷 第 5 页（共 8 页） 20·LK1·YG （2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流： 所得分数 低于 60 分 60~79 分 不低于 80 分 分流方向 淘汰出局 复赛待选 直接晋级 记事件 “A 获得的分流等级高于 B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率，求事件 C 发生的概率. 19.（本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ，点 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小. :C ABCDP − ABCD ⊥PD DCPD = E PC //PA BDE BD PBC 30 DPBC −− 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 —————————————————————————————————————————————————————— 理科数学试卷 第 6 页（共 8 页） 20·LK1·YG 20．（本题满分 12 分） 已知椭圆 C 中心在原点 O，焦点在坐标轴上，直线 与椭圆 C 在第一象限内的交 点是 M，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 ，椭圆 C 另一个焦点是 ，且 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过点 的直线 l 与 C 交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于 点 P，与 y 轴交于点 Q．若 ，且 ，求直线 l 的方程． 3 2yx= 2F 1F 1 2 9 4MF MF•= (2,0)A 22BF QF⊥ POA PAO =  理科数学试卷 第 7 页（共 8 页） 20·LK1·YG 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 )(2 1)cos(sin)( Raxxxxaxf −−= ， )()( xfxg = （ )(xf  是 )(xf 的 导函数）， )(xg 在 ]2,0[  上的最大值为 2 1− . （1）求实数a 的值； （2）判断函数 )(xf 在 ),0(  内的极值点个数，并加以证明. 理科数学试卷 第 8 页（共 8 页） 20·LK1·YG 选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. 【选修 4-4：极坐标和参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的 极坐标方程为 0sin4cos2 =−  ， P 点的极坐标为 )2,3(  ，在平面直角坐标系 中，直线l 经过点 P ，且倾斜角为 060 . （I）写出曲线 的直角坐标方程以及点 P 的直角坐标； （II）设直线l 与曲线 相交于 BA, 两点，求 PBPA 11 + 的值. 23. 【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) | 5 |f x x=−， ( ) 5 | 2 3|g x x= − − . （I）解不等式 ( ) ( )f x g x ； （II）若存在 Rx 使不等式 axgxf − )()(2 成立，求实数a 的取值范围. 此 试 卷 只 装 订 不 密 封 ——————————————————————————————————————————————————————