河北省唐山二中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题 14页

唐山二中 2019-2020 学年度第一学期高一月考 1 考试 数学试卷 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 U＝{x∈N|0≤x≤9}，M＝{1，3，6}，N＝{0，2，5，6，8，9}，则（∁UM）∩N＝ （　　） A. {2，5，8，9} B. {0，2，5，8，9} C. {2，5} D. {2，5，6，8，9} 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合 U，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】∵ ， ， ， ∴ ， ． 故选 B． 【点睛】本题主要考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算，属于基础题. 2.设集合 ， ，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可． 【详解】 图象不满足函数的定义域，不正确； 01 2 3 4 7 8{ }5 6 9U = ，，，，，，，，， 6{ }13M = ，， 0 2 5 6{ 8 9}N = ，，，，， 0 2 4 5{ 7 }8 9U M = ，，，，，， ( ) {0 2 5 8 9}U M N = ，，，， { | 0 2}M x x= ≤ ≤ { | 0 2}N y y= ≤ ≤ ①②③④ ①②③ ②③ ② ① 满足函数的定义域以及函数的值域，正确； 不满足函数的定义， 故选 C． 【点睛】本题考查函数的图象以及函数的定义的判断与应用，是基础题． 3.已知函数 定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数 中 的取值范围与函数 中 的范围一样. 【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，所以 ， 所以函数 的定义域为 .选 D. 【点睛】求抽象函数定义域是一种常见的题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自 变量 的取值范围的集合，而对应关系 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范 围一样. 4.求函数 的值域（ ） A. [0，+∞） B. [ ，+∞） C. [ ，+∞） D. [ ， +∞） 【答案】D 【解析】 【分析】 设 t，t≥0，则 x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数 y＝2x 的值域． 【详解】解：设 t，t≥0， 则 x＝t2+1， 的 ②③ ④ ( )2 1y f x= − [ ]0 3， ( )y f x= [ 2, 1] [1,2]− −  [ ]1,2 [ ]0,3 [ ]1,8− ( )2 1y f x= − 2 1x − ( )y f x= x ( )2 1y f x= − [ ]0 3， 0 3x≤ ≤ 21 1 8x− ≤ − ≤ ( )y f x= [ ]1,8− x f 2 1y x x= − − 17 8 5 4 15 8 1x − = 1x− − 1x − = ∴y＝2t2﹣t+2＝2（t ）2 ， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． 5.若 ，则 的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设 t，t≥1，则 x＝（t﹣1）2，由此能求出函数 f（x）的解析式． 【详解】解：f（ 1）＝x+ ， 设 t，t≥1，则 x＝（t﹣1）2， ∴f（t）＝（t﹣1）2+t﹣1＝t2﹣t，t≥1， ∴函数 f（x）的解析式为 f（x）＝x2﹣x（x≥1）． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数定义域等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题． 6.若函数 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在 上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数 f（x）在[2，+∞）上是减函数， ∴f（4）＜f（3）＜f（2）， 1 4 − 15 15 8 8 + ≥ ( 1)f x x x+ = + ( )f x 2( )f x x x= − 2( ) ( 0)f x x x x= − ≥ ( )2( ) 1f x x x x= − ≥ 2( )f x x x= + 1x + = x + x 1x + = ( )f x [2 )+ ∞， ( 2) (3) ( 4)f f f− −＜ ＜ (3) ( 2) ( 4)f f f− −＜ ＜ ( 4) (3) ( 2)f f f− −＜ ＜ (3) ( 4) ( 2)f f f− −＜ ＜ 即 f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决 本题的关键． 7.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时， ,则 （ ） A. 12 B. 20 C. 28 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算出 的值，然后利用奇函数的性质得出 可得出 的值． 【详解】当 时， ，则 ， 由于函数 是定义在 上的奇函数，所以， ，故选 A. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求值，求函数值时要注意根据自变量的范围选择合适的解 析式，合理利用奇偶性是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题． 8.已知函数 ，若 =5，则 x 的值是（ ） A. -2 B. 2 或- C. 2 或-2 D.2 或-2 或 - 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分段函数的对应法则，分类讨论解方程即可. 【详解】当 时， ，解得 ； 当 时， ，无解， ∴x 的值是 ， ( )f x R ( ),0x∈ −∞ ( ) 3 22f x x x= + ( )2f = 14− ( )2f − ( ) ( )2 2f f= − − ( )2f 0x < ( ) 3 22f x x x= + ( ) ( ) ( )3 22 2 2 2 12f − = × − + − = − ( )y f x= R ( ) ( )2 2 12f f= − − = 2 1, 0( ) 2 , 0 x xf x x x  + ≤= − > ( )f x 5 2 5 2 0x ≤ 2 1 5x + = 2x = − 0x > 2 5x− = 2− 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的对应法则的应用，考查分类讨论思想，属于基础题. 9.函数 的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将函数分段之后直接判断即可. 【详解】由已知， ，因为 ，直接排除 A、B、 D，选 C. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的图象中的知式选图问题，此类题关键是要根据函数的解析式对 函数的性质等进行分析、判断，属常规考题. 10.已知 是偶函数，且 时 .若 时， 的最大值 为 ，最小值为 ，则 （） A. 2 B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的对称性得到原题转化为 直接求 的最大和最小值即可. | |xy x x = + 1, 0 1, 0 x xxy x x xx + >= + =  − < 0x ≠ ( )y f x= 0x > 4( )f x x x = + [ ]3, 1x∈ − − ( )f x m n m n− = 3 2 [ ]1,3x∈ 4( )f x x x = + 【详解】因为函数是偶函数，函数图像关于 y 轴对称，故得到 时， 的最 大值和最小值，与 时的最大值和最小值是相同的，故 直接求 的最大和最小值即可； 根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为 ， ，故最大值为 ，此时 故答案为 B. 【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．对于函数的奇偶性， 主要是体现函数的对称性，这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系，使 得问题简化. 11.数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的 一条性质: 甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增; 丙:函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称； 丁: f(0)不是函数的最小值． 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】 先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误 同学. 详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有 一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误. 【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属 于基础题. 12.已知 为定义在 R 上的偶函数， ，且当 时， 单调 递增，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 的 【 [ ]3, 1x∈ − − ( )f x [ ]1,3x∈ [ ]1,3x∈ 4( )f x x x = + ( )2 4f = ( ) ( ) 131 5, 3 3f f= = ( )1 5f = 1.m n− = ( )f x 2( ) ( )g x f x x= + ( )0,x∈ +∞ ( )g x ( 1) ( 2) 2 3f x f x x+ − + < + 3 2  + ∞  ， 3 2  − +  ， ∞ ( )3−∞ −， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数 g（x）为偶函数，进而分析可得 f（x+1）﹣f （x+2）＜2x+3⇒g（x+1）＜g（x+2），结合 g（x）的单调性分析可得|x+1|＜|x+2|，解可得 x 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，g（x）＝f（x）+x2，且 f（x）为定义在 R 上的偶函数， 则 g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即函数 g（x）为偶函数， f（x+1）﹣f（x+2）＜2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＜f（x+2）+（x+2）2，即 g（x+1）＜g （x+2）， 又由 g（x）为偶函数且在（0，+∞）上为增函数， 则有|x+1|＜|x+2|，解可得：x ，即不等式的解集为（ ，+∞）； 故选：B． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 13.已知 ，则实数 的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】 分别讨论 、 的情况. 【详解】当 时， ，不满足互异性； 当 时， 或 （舍），所以集合是 满足. 故： . 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，注意使用集合中元素的互异性，难 度较易. 14.下列各组函数是同一函数的是___________. ( )3−∞， 3 2 −＞ 3 2 − {1, }a a∈ a 1a = a a= 1a = 1 a= a a= 0a = 1 {0,1} 0a = ① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 【答案】④ 【解析】 【分析】 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断两个函数是同一函数即可． 【详解】解：对于①，f（x）＝x﹣1（x∈R），与 g（x） 1＝x﹣1（x≠0）的定义域 不同，∴不是同一函数； 对于②，f（x）＝x（x∈R），与 g（x） |x|（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函 数； 对于③，f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x） 1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数； 对于④，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与 g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系 也相同，∴是同一函数． 综上，是同一函数的序号为④． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目． 15.若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是 __________. 【答案】[2，4]． 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质可得：函数 f（x）＝x2﹣4x﹣4 的图象是开口向上，且以直线 x＝ 2 为对称轴的抛物线，故 f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8，可得 m 的取值范围． 【详解】函数 f（x）＝x2﹣4x﹣4 的图象是开口向上，且以直线 x＝2 为对称轴的抛物线 ∴f（0）＝f（4）＝﹣4，f（2）＝﹣8 ∵函数 f（x）＝x2﹣4x﹣4 的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]， ∴2≤m≤4 ( ) 1f x x= - 2 ( ) 1xg x x = − ( )f x x= 2( )g x x= 0( )f x x= ( ) 1g x = 2( ) 2 1f x x x= − − 2( ) 2 1g t t t= − − 2x x = − 2x= = = ( ) 2 4 4f x x x= − − [ ]0,m [ ]8, 4− − m 即 m 的取值范围是[2，4]． 故答案为[2，4]． 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上 最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解 题的关键． 16.设函数 是定义在 上的偶函数，在区间 是减函数， 且图像过点（1,0），则不等式 的解集为_____________. 【答案】（﹣∞，0]∪[1，2] 【解析】 【分析】 由题意和偶函数的性质判断出函数 f（x）的对称性，由图象平移、f（x+1）的单调性、f（x） 法对称性判断出 f（x）的单调性，结合条件画出 f（x）的图象，根据函数的单调性和图象， 求出不等式（x﹣1）f（x）≤0 的解集． 【详解】解：∵函数 y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数， ∴f（x+1）＝f（﹣x+1），则 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称， ∵函数 y＝f（x+1）在（﹣∞，0）上是减函数， ∴函数 f（x）在（﹣∞，1）上是减函数， 在（1，+∞）上是增函数， 则由 f（2）＝0 得 f（0）＝0，如图所示： ∴当 x＞1 时，f（x）≤0＝f（2），解得 1＜x≤2 当 x＜1 时，f（x）≥0＝f（0），得 x≤0，即 x≤0， 同时，当 x＝1 时，（x﹣1）f（x）≤0 也成立； 的 ( 1)y f x= + ( ) ( )0 0−∞ ∞， ，+ ( )0−∞， ( 1) ( ) 0x f x− ≤ 综上，等式（x﹣1）f（x）≤0 的解集是（﹣∞，0]∪[1，2]， 故答案为：（﹣∞，0]∪[1，2]． 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、对称性的应用，函数图象的平移，以及根据函数 的单调性把不等式转化为自变量不等式，考查转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，属 于中档题． 三、解答题（共 3 题，共 24 分） 17.已知集合 ， ，其中 ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先求解集合 中分式不等式的解集,后根据 的值直接求解 的结果； （2）根据 判断出集合 之间的关系，然后根据集合间的关系求解参数范围,注 意分类讨论. 【详解】（1） ,解得 , ； 时， ； ； （2） ； ① 时， ； ； 6 012 xA x x  −= ≤ +  { }2 1 5B x m x m= − < ≤ − m R∈ 7m = − A B A B B= m ( ]15,6A B = − 11,2  − +∞  A m A B A B B= ,A B 6 012 x x − ≤+ 12 6x− < ≤ { }12 6A x x∴ = − < ≤ 7m = − { }15 12B x x= − < ≤ − ( ]15,6A B∴ = − A B B=  B A∴ ⊆ B = ∅ 2 1 5m m− ≥ − 4m ≥ − ② 时， ；解得 ； 综上，实数 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查集合的综合应用，难度一般.利用集合间的运算性质判断集合间的关系时： 若 ，则 ；若 ，则 . 18.已知函数 ， 为实数. （1）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 取值范围； （2）若 ，求函数 的最小值. 【答案】（1）m≥﹣4 或 m≤﹣12（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由函数 f（x）在区间[1，3]上是单调函数，可得 或 ； （2）讨论对称轴与已知区间[﹣1，1]的三种位置关系即可求解． 【详解】解：f（x）＝2x2+mx﹣1 开口向上，对称轴 x ， （1）∵函数 f（x）在区间[1，3]上是单调函数， ∴ 或 ， 解可得，m≥﹣4 或 m≤﹣12； （2）①若 即 m≥4 时，函数 单调递增， ∴f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣m， ②若 即 m≤﹣4 时，函数 单调递减， ∴f（x）min＝f（1）＝1+m， ③若﹣1 即﹣4＜m＜4 时，f（x）min＝f（ ）＝﹣1 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称性及闭区间上的最值求解，体现了分类讨 论思想的应用 的 B ≠ ∅ 2 1 12 5 6 4 m m m − ≥ −  − ≤  < − 11 42 m− ≤ < − m 11,2  − +∞  A B A= A B⊆ A B A∪ = B A⊆ 2( ) 2 1f x x mx= + − m ( )f x [ ]1,3 m [ ]11x∈ − ， ( )f x 14 m− ≤ 34 m− ≥ 4 m= − 14 m− ≤ 34 m− ≥ 14 m− ≤ − ( )f x 14 m− ≥ ( )f x 14 m−＜ ＜ 4 m− 2 8 m− 19.已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有 . （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于 的不等式 ． 【 答 案 】（ 1 ） ； （ 2 ） 在 上 单 调 递 增 ； （ 3 ） 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据条件可得 ，解不等式组即可； （2）将 a，b 的值代入 中，利用定义证明 的单调性即可； （3）根据 的单调性和 ，可得 ，解不等式即可. 【详解】（1）由题可知，函数 是定义在 上的奇函数，且 ， 则 ，解得 ； （2）由（1）可知当 时， ， 当 时， 任取 ，且 ， 且 ，则 于是 ，所以 在 上单调递增. （3）由函数 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， ( )f x ( )4 4− ， ( )2 1f = 4 0x− < ≤ ( ) 4 ax bf x x += + ( )f x ( )0 4， m ( )2 1 1f m + > 1 0 a b =  = ( ) 4 xf x x = − + ( )0,4x∈ { | 3 1x m− < < − 1 3}m< < ( )0 0, ( 2) 1f f= − = − ( )f x ( )f x ( )f x ( )2 1f = 24 1 2m> + > ( )f x ( 4,4)− (2) 1f = 2( 2) 12 (0) 04 a bf bf − + − = = −  = = 1, 0a b= = ( )4,0x∈ − ( ) 4 xf x x = + (0,4)x∈ ( 4,0) ( ) ( ) 4 4 x xx f x f x x x −− ∈ − = − − = =− + − + 1 2 0 4x x ∈， （ ，） 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )( )1 21 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 4 x xx xf x f x x x x x −− = − =− + − + − + − + 1 2 0 4x x ∈ ， （ ，）， 1 2x x< 1 2 1 24 0 4 0 0x x x x− + > − + > − <， ， 1 2 0f x f x− <（ ） （ ） ( ) 4 xf x x = − + 0 4x∈（ ，） ( )f x 4 4（﹣，） ( )f x 0 4x∈（ ，） 则 在 上单调递增， 所以 的解为 ， 解得 或 ， ∴不等式的解集为 或 ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定与证明，以及函数性质的应用，其中解答 中熟记函数的单调性的定义，合理利用函数的单调性转化不等关系是解答的关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题． ( )f x 4 4x∈（﹣，） 2 1 1 2f m f+ >（ ） ＝（ ） 22 1 4m< + < 3 1m− < < − 1 3m< < { | 3 1x m− < < − 1 3}m< <