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- 2021-07-01 发布
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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1⇒|a|=1,由|a|=1可得a=±1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1⇒a=1不成立,所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件.
答案 A
2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
解析 原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数.
答案 B
3.已知集合A={x∈R|<2x<8},B={x∈R|-12 D.-23,即m>2.
答案 C
4.命题:“若x2<1,则-11或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
解析 x2<1的否定为:x2≥1;-11”是“x1,得x<-1或x>1,又“x2>1”是“x1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.
答案 -1
9.已知集合A=,B={x|-13,即m>2.
答案 (2,+∞)
10.“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件.
解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,即m≤.
答案 充分不必要
三、解答题
11.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
解 (1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.
(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题.
(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题.
12.求方程ax2+2x+1=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件.
解 方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.
当a=0时,x=-适合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1.
当a<1时,若方程有且仅有一负根,则x1x2=<0,
∴a<0.
综上,方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a=1.
13.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
(1)若ab=0,则a=0或b=0;
(2)若x2+y2=0,则x,y全为零.
解 (1)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.
否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.
逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.
(2)逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.
否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为零,真命题.
逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.
14.已知p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-a2≤0(a>0).若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解 p:x2-8x-20≤0⇔-2≤x≤10,
q:x2-2x+1-a2≤0⇔1-a≤x≤1+a.
∵p⇒q,q⇒/ p,
∴{x|-2≤x≤10}{x|1-a≤x≤1+a}.
故有且两个等号不同时成立,解得a≥9.
因此,所求实数a的取值范围是[9,+∞).
15.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求M∩P={x|5
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