高考数学专题复习练习：12-6 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：45分钟)‎ ‎1．(2017·河南八校联考)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为(　　)‎ A．0.2　　　　　　　　　　B．0.4‎ C．0.8 D．0.9‎ ‎【解析】 ∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ＞0)，∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.‎ ‎∵ξ在(0，4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.‎ ‎【答案】 D ‎2．(2017·浙江重点中学协作体第一次适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 依题意，知ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.‎ ‎【答案】 B ‎3．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率P(X ‎＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)＞1.75，则p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈.‎ ‎【答案】 B ‎4．已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)＝则随机变量X落在区间(1，2)内的概率为(　　)‎ A．e2＋e B. C．e2－e D. ‎【解析】 画出概率密度曲线，随机变量X落在区间(1，2)内的概率相当于直线x＝1和x＝2以及密度曲线和直线y＝0围成的图形的面积，P＝e－xdx＝.‎ ‎【答案】 D ‎5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)‎ A．6，2.4 B．2，2.4‎ C．2，5.6 D．6，5.6‎ ‎【解析】 由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.‎ 因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，‎ D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2017·浙江重点中学协作体摸底考试)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，根据统计，随机变量ξ的概率分布列如下，则ξ的数学期望为________.‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎【解析】 由概率分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的概率分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.‎ ‎【答案】 1.7‎ ‎7．(2017·兰州一中模拟)若随机变量ξ～B，则D(3ξ＋2)＝________．‎ ‎【解析】 ∵随机变量ξ～B，∴D(ξ)＝5××＝，∴D(3ξ＋2)＝9D(ξ)＝10.‎ ‎【答案】 10‎ ‎8．若随机变量服从正态分布ξ～N(2，1)，且P(ξ＞3)＝0.158 7，则P(ξ＞1)＝________．‎ ‎【解析】 由题意可知正态分布密度函数的图象关于直线x＝2对称，得P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)＝0.158 7，∴P(ξ＞1)＝1－P(ξ＜1)＝1－0.158 7＝0.841 3.‎ ‎【答案】 0.841 3‎ ‎9．(2017·南昌模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．‎ ‎(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；‎ ‎(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．‎ ‎【解析】 (1)由题知，P(80≤X＜85)＝－P(X＜75)＝0.2，‎ P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，‎ 所以所求概率P＝A×0.2×0.2×0.1＝0.024.‎ ‎(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，‎ 所以ξ服从二项分布B(3，0.4)，‎ P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，‎ P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，‎ 所以随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.216‎ ‎0.432‎ ‎0.288‎ ‎0.064‎ E(ξ)＝3×0.4＝1.2.‎ ‎10．(2017·洛阳模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序做答，竞赛规则如下：‎ ‎①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；‎ ‎②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．‎ 已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．‎ ‎(1)求甲同学能进入下一轮的概率；‎ ‎(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解析】 (1)设事件A表示“甲同学问题1回答正确”，事件B表示“甲同学问题2回答正确”，事件C表示“甲同学问题3回答正确”，依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.‎ 记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则 ‎ ‎ ‎∴X的分布列为 X ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ P X的数学期望E(X)＝6×＋7×＋8×＋12×＋13×＝.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·福建厦门四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，‎ 其数学考试成绩近似服从正态分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为(　　)‎ A．400 B．500‎ C．600 D．800‎ ‎【解析】 P(X＜90)＝P(X＞110)＝，P(90≤X≤110)＝1－×2＝，P(100≤X≤110)＝，1 000×＝400.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎12．(2017·安徽皖南八校联考)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________．‎ ‎【解析】 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1，2，3，其中，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2，D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.‎ ‎【答案】 ‎13．(2016·课标全国Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【解析】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．‎ 当n＝19时，‎ E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.‎ 当n＝20时，‎ E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎ ‎14．(2017·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：‎ 日最高气温t(单位：℃)‎ t≤22‎ ‎22＜t≤28‎ ‎28＜t≤32‎ t＞32‎ 天数 ‎6‎ ‎12‎ Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.‎ 某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：‎ 日最高气温t(单位：℃)‎ t≤22‎ ‎22＜t≤28‎ ‎28＜t≤32‎ t＞32‎ 日销售额X (单位：千元)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(1)求Y，Z的值；‎ ‎(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的均值和方差；‎ ‎(3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率．‎ ‎【解析】 (1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，‎ ‎∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1.‎ ‎∴Z＝30×0.1＝3，‎ Y＝30－(6＋12＋3)＝9.‎ ‎(2)P(t≤22)＝＝0.2，‎ P(22＜t≤28)＝＝0.4，‎ P(28＜t≤32)＝＝0.3，‎ P(t＞32)＝＝0.1，‎ ‎∴六月份西瓜日销售额X的分布列为 X ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，‎ D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.‎ ‎(3)∵P(t≤32)＝0.9，‎ P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7，‎