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- 2021-07-01 发布
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第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
平面的基本性质及
平行公理的应用 2、3 4、8、10 11
异面直线的判定 7 9
[理]异面直线所成角
[文]空间直线的
位置关系 1、5 6 12
一、选择题
1.下列命题中正确的是 ( )
A.经过不同的三点有且只有一个平面
B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C.垂直于同一平面的两直线是平行直线
D.垂直于同一平面的两平面是平行平面
答案:C
2.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面α,使得 ( )
A.a⊂α,b⊂α B.a⊂α,b∥α
C.a⊥α,b⊥α D.a⊂α,b⊥α
解析:不相交的直线 a,b 的位置有两种:平行或异面.当 a,b 异面时,不存在平面α
满足 A、C;又只有当 a⊥b 时 D 才成立.
答案:B
3.对于直线 m、n 和平面α,下列命题中的真命题是 ( )
A.如果 m⊂α,n⊄α,m、n 是异面直线,那么 n∥α
B.如果 m⊂α,n⊄α,m、n 是异面直线,那么 n 与α相交
C.如果 m⊂α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n
D.如果 m⊂α,n∥α,m、n 共面,那么 m 与 n 相交
解析:由直线与平面的性质可知,选 C.
答案:C
4.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其
中正确的命题是 ( )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
解析:当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a⊄α,∴①错;
a∩β=P 时,②错;如图∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面α,
又 a∥b,由 a 与 b 确定唯一平面β,但β经过直线 a 与点 P,∴β与α重合,∴b⊂α,
故③正确;两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
答案:D
5.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:若两直线为异面直线则两直线无公共点,反之不一定成立.
答案:A
6. [理]如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,
AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点 E、F 分别是棱 AB、BB1
的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是 ( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
解析:连接 AB1,易知 AB1∥EF,连接 B1C 交 BC1 于点
G,取 AC 的中点 H,连接 GH,则 GH∥AB1∥EF.设
AB=BC=AA1=a,连接 HB,在三角形 GHB 中,易
知 GH=HB=GB= 2
2
a,故两直线所成的角即为∠HGB=60°.
答案:B
[文]如图在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB1、BC1 的中点,则以下结
论中不成立的是 ( )
A.EF 与 BB1 垂直 B.EF 与 BD 垂直
C.EF 与 CD 异面 D.EF 与 A1C1 异面
解析:EF∥A1C1,故 D 不成立.
答案:D
二、填空题
7.(2010·江南十校素质测试)若两条异面直线所成的角为 60°,则称这对异面直线为“黄
金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有
________对.
解析:正方体如图,若要出现所成角为 60°
的异面直线,则直线需为面对角线,以 AC 为
例,与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条,
分别是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方
体的面对角线有 12 条,所以所求的黄金异
面直线对共有 12 4
2
=24 对(每一对被计算两次,
所以记好要除以 2).
答案:24
8.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题:
①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;
②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;
③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交;
④若 a⊂平面α,b⊂平面β,则 a,b 一定是异面直线;
⑤若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b.
上述命题中正确的命题是__________(只填序号).
解析:由公理 4 知①正确;
当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;
当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;
a⊂α,b⊂β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;
当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.
答案:①
9.(2010·郑州质检)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB 与 CM 所成的角为 60°;
③EF 与 MN 是异面直线;
④MN∥CD.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
解析:把正方体的平面展开图还原成原来的正
方体如图所示,则 AB⊥EF,EF 与 MN 为异面
直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
答案:①③
三、解答题
10.如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
M 为 AB 的中点,N 为 BB1 的中点,O 为面 BCC1B1 的中心.
(1)过 O 作一直线与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q(只写作法,
不必证明);
(2)求 PQ 的长.
解:(1)由 ON∥AD 知,AD 与 ON 确定一个平面α.
又 O、C、M 三点确定一个平面β(如图所示).
∵三个平面α,β和 ABCD 两两相交,有三条交线 OP、CM、DA,其中交线 DA 与交线
CM 不平行且共面.
∴DA 与 CM 必相交,记交点为 Q,
连结 OQ 与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q,
∴OQ 是α与β的交线.
故直线 OPQ 即为所求作的直线.
(2)由 Rt△AMQ≌Rt△BMC,得 AQ=CB=1,
又∵△OPN∽△QPA,ON=1
2BC=1
2AQ.
∴PN∶PA=1∶2.AP=2
3AN= 5
3 .
解 Rt△APQ 可得 PQ= 14
3 .
11.在正方体 AC1 中,E 是 CD 的中点,连结 AE 并延长与 BC 的延长线交于点 F,连结
BE 并延长交 AD 的延长线于点 G,连结 FG.
求证:直线 FG⊂平面 ABCD 且直线 FG∥直线 A1B1.
证明:由已知得 E 是 CD 的中点,
在正方体中,有 A∈平面 ABCD,
E∈平面 ABCD,
所以 AE⊂平面 ABCD.
又 AE∩BC=F,所以 F∈AE,
从而 F∈平面 ABCD.
同理,G∈平面 ABCD,
所以 FG⊂平面 ABCD.
因为 EC AB,故在 Rt△FBA 中,CF=BC,
同理,DG=AD.又在正方形 ABCD 中,BC AD,
所以 CF DG.
所以四边形 CFGD 是平行四边形.
所以 FG∥CD.又 CD∥AB,AB∥A1B1,
所以直线 FG∥直线 A1B1.
12.已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC、BD,点 E、F、G、H、M、N 分别是 AB、BC、
CD、DA、AC、BD 的中点.求证:三线段 EG、FH、MN 交于一点且被该
点平分.
证明:如图所示,连结 EF、FG、GH、HE.
∵E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点,
∴EF∥AC,HG∥AC,
∴EF∥HG,同理,EH∥FG,
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
设 EG∩FH=O,
则 O 平分 EG、FH.
同理,四边形 MFNH 是平行四边形,
设 MN∩FH=O′,则 O′平分 MN、FH.
∵点 O、O′都平分线段 FH,
∴点 O 与点 O′重合,
∴MN 过 EG 和 FH 的交点,即三线段 EG、FH、MN 交于一点且被该点平分.
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