高考数学专题复习练习第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 5页

第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数 一、选择题 ‎1．sin 2cos 3tan 4的值(　　)．‎ A．小于0 B．大于‎0 C．等于0 D．不存在 解析　∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，‎ ‎∴sin 2cos 3tan 4＜0.‎ 答案　A ‎2．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．(　　)‎ A．一　　　　　　　　　　 B．二 C．三 D．四 解析 因P点坐标为(－，－)，∴P在第三象限．‎ 答案 C ‎3．若一扇形的圆心角为72°，半径为‎20 cm，则扇形的面积为 (　　)．‎ A．40π cm2 B．80π cm‎2 ‎ C．‎40cm2 D．‎80cm2‎ 解析　72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．‎ 答案　B ‎4．给出下列命题：‎ ‎①第二象限角大于第一象限角；‎ ‎②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；‎ ‎③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；‎ ‎④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；‎ ‎⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．‎ 其中正确命题的个数是 (　　)．‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ 解析　由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．‎ 答案　A ‎5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ (　　)．‎ A．－8 B．‎8 ‎ C．－4 D．4‎ 解析　根据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.‎ 答案　A ‎6．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cos α，‎ y＝sin α，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7．若β的终边所在直线经过点P，则sin β＝________，‎ tan β＝________.‎ 解析 因为β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．‎ 所以sin β＝或－，tan β＝－1.‎ 答案 或－　－1‎ ‎8．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．‎ 解析　∵点P(tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.‎ ‎∴角α在第二象限．‎ 答案　二 ‎9．设扇形的周长为‎8 cm，面积为‎4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．‎ 解析　由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．‎ 答案　2‎ ‎10．函数y＝的定义域为________．‎ 解析　‎ ‎∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.‎ 由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．‎ ‎∴x∈(k∈Z)．‎ 答案　(k∈Z)‎ 三、解答题 ‎11． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：‎ ‎①60°；②－21°.‎ ‎(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．‎ 解　(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；‎ ‎②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.‎ ‎(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.‎ ‎12．(1)确定的符号；‎ ‎(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(00，tan5<0，cos8<0，‎ ‎∴原式大于0.‎ ‎(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，‎ ‎∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.‎ 若α＝，则sinα＋cosα＝1.‎ 由已知00.‎ ‎13．一个扇形OAB的面积是‎1 cm2，它的周长是‎4 cm ‎，求圆心角的弧度数和弦长AB.‎ 解　设圆的半径为r cm，弧长为l cm，‎ 则解得 ‎∴圆心角α＝＝2.‎ 如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.‎ ‎∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．‎ ‎14． 如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．‎ ‎(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.‎ 解　(1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.‎ ‎(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，‎ 又sin∠COA＝，cos∠COA＝，‎ ‎∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)‎ ‎＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60°‎ ‎＝·－·＝.‎