2020年高中数学新教材同步必修第二册 第9章 第 4 课时 总体离散程度的估计 11页

第 4 课时 总体离散程度的估计 学习目标 1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.2.掌握求分层随机抽样总样 本的平均数及方差的方法. 知识点 方差、标准差 1.假设一组数据为 x1，x2，…xn，则这组数据的平均数 x ＝ x1＋x2＋…＋xn n ，方差为 s2＝1 n 错误!(xi － x )2，标准差 s＝错误!. 2.如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 Y ，则称 S2＝1 N 错误!(Yi － Y )2为总体方差，S＝ S2为总体标准差. 如果总体的 N个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个，不妨记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi出 现的频数为 fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为 S2＝1 N 错误!i(Yi－ Y )2. 3.如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2，…，yn，样本平均数为 y ，则称 s2＝1 n 错误!(yi － y )2为样本方差，s＝ s2为样本标准差. 4.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越 小，数据的离散程度越小. 思考 方差、标准差有什么区别？ 答案 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但解决实际问题中，一般多采用 标准差. 1.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定.( √ ) 2.数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定.( × ) 3.数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小.( √ ) 4.在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差.( √ ) 一、方差、标准差的计算与应用 例 1 某班 20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差； (2)哪一组的成绩较稳定？ 解 (1)甲组：最高分为 95分，最低分为 60分，极差为 95－60＝35(分)， 平均数为 x 甲＝ 1 10 ×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s2甲＝ 1 10 ×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋ (80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分). 乙组：最高分为 95分，最低分为 65分，极差为 95－65＝30(分)， 平均数为 x 乙＝ 1 10 ×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)， 方差为 s2乙＝ 1 10 ×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋ (80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25， 标准差为 s 乙＝ s2乙＝ 75.25≈8.67(分). (2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定. 从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定. 反思感悟 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据 相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越 大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定. 跟踪训练 1 从甲、乙两种玉米苗中各抽取 10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 求：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？ 解 (1) x 甲＝ 1 10 ×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， 同理可计算得 x 乙＝31， ∴ x 甲< x 乙，即乙种玉米苗长得高. (2)s2甲＝ 1 10 ×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－ 30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2， 同理可计算得 s2乙＝128.8， ∴s2甲2 C. x >5，s2<2 D. x >5，s2>2 答案 A 解析 ∵ 1 8 (x1＋x2＋…＋x8)＝5， ∴ 1 9 (x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴ x ＝5. 由方差定义及意义可知加入新数据 5后，样本数据取值的稳定性比原来强， ∴s2<2. 12.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的 40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数 分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为 s1，s2，s3，则 它们的大小关系为( ) A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 答案 B 解析 比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最 大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对 均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知 s1>s3>s2. 13.如图，样本 A和 B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 x A和 x B，样 本标准差分别为 sA和 sB，则( ) A. x A> x B，sA>sB B. x A< x B，sA>sB C. x A> x B，sAsB. 14.某学校共有学生 2 000人，其中高一 800人，高二、高三各 600人，学校对学生在暑假期 间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为 x ＝3小时，方差为 s2＝1.966，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为 x 1＝2.7， x 2＝3.1， x 3 ＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为 s21＝1，s22＝2，则高三学生每天读书 时间的方差 s23＝________. 答案 3 解析 由题意可得，1.966＝ 800 2 000 ×[1＋(2.7－3)2]＋ 600 2 000 ×[2＋(3.1－3)2]＋ 600 2 000 ×[s23＋ (3.3－3)2]， 解得 s23＝3. 15.已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数 为 10，若要使该总体的方差最小，则 ab＝________. 答案 100 解析 由题意得 a＋b＝10×2＝20， x ＝ 1 10 (2＋3＋3＋…＋21)＝10， 要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小， 故 a＝b＝10，ab＝100. 16.甲、乙两人在相同条件下各射靶 10次，每次射靶的成绩情况如图所示. (1)请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中 9环及 9环以上的次数 甲 乙 (2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)； ②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)； ③从平均数和命中 9环及 9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)； ④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力). 解 (1)由图可知，甲打靶的成绩分别为 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩分别为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 甲的平均数为 7，方差为 1.2，中位数是 7，命中 9环及 9环以上的次数为 1； 乙的平均数为 7，方差为 5.4，中位数是 7.5，命中 9环及 9环以上次数为 3. 如下表： 平均数 方差 中位数 命中 9环及 9环以上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定； ②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些； ③甲、乙的平均数相同，乙命中 9环及 9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好； ④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更 有潜力.