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- 2021-07-01 发布
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0.5.故 p=0.7. ·16· 答案▶ A 15.(2017·全国Ⅱ卷·理 T13 改编)一批产品的二等品率为 0.08,从这批产 品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则 D(X)= . 解析▶ 有放回地抽取,是一个二项分布模型,其中 p=0.08,n=100,则 D(X)=np(1-p)=100×0.08×0.92=7.36. 答案▶ 7.36 二、解答题的命题特点 概率与统计综合试题的题干阅读量大,容易造成考生在数学模型转化过 程中失误,得分率不高.这些试题主要考查古典概型,用样本估计总体,利用 回归方程进行预测,独立性检验的应用,离散型随机变量的分布列和数学期 望,正态分布等.概率、随机变量的数学期望交汇命题,高考对此类题目的要 求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程. 1.(2018·全国Ⅱ卷·理 T18)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施 投资额 y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两 个线性回归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 ·17· 1,2,…,17)建立模型①: =-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间 变量 t 的值依次为 1,2,…,7)建立模型②: =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测 值. (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 解析▶ (1)利用模型①,从 2000 年开始算起,2018 年即 t=19,所以该地 区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.5×19=226.1(亿 元). 利用模型②,从 2010 年开始算起,2018 年即 t=9,所以该地区 2018 年的 环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: (i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布 在直线 y=-30.4+13.5t 上下,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线 性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的 点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化 规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 =99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势, 因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由 ·18· 模型①得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测 值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. 2.(2018·全国Ⅰ卷,理 T20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一 箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格 品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对 余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(0
0,f(p)单调递增;当 p∈ 时,f'(p)<0,f(p)单调递减.
故 f(p)max=f(p0)=f ,即 p0= .
(2)(i)由题意,剩余未作检验的产品有180件,其中Y表示不合格品的件
数,其服从二项分布 Y~B .
故 E(Y)=180× =18.
又 X=40+25Y,
故 E(X)=E(40+25Y)=40+25×18=490(元).
(ii) 若 对 这 箱 余 下 的 所 有 产 品 作 检 验 , 则 需 要 的 检 验 费 为
200×2=400(元).
因为 E(X)=490>400,所以需要对这箱余下的所有产品作检验.
3.(2018·全国Ⅲ卷·理 T18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,
提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,
选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人,第一组工人用第一种生产
方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单
位:min)绘制了如下茎叶图:
·20·
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.
(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需
时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表:
超过 m 不超过m
第一种生产方
式
第二种生产方
式
(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差
异?
附:K2= ,
P(K2≥k0
) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
解析▶ (1)第二种生产方式的效率更高.
理由如下:
(i)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产
任务所需时间至少 80 分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成
生产任务所需时间至多 79 分钟,因此第二种生产方式的效率更高.
(ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的
中位数为 85.5 分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中
位数为 73.5 分钟,因此第二种生产方式的效率更高.
(iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需
·21·
时间高于 80 分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低
于 80 分钟,因此第二种生产方式的效率更高.
(iv)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分
布在茎8上的最多,关于茎 8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成
生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种
生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二
种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所
需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.
(2)由茎叶图知 m= =80.
列联表如下:
超过 m 不超过m
第一种生产方
式 15 5
第二种生产方
式 5 15
(3)因为 K2 的观测值 k= =10>6.635,所以有 99%
的把握认为两种生产方式的效率有差异.
4.(2017·全国Ⅰ卷·理 T19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,
检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根
据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正
态分布 N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
·22·
(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求 P(X≥1)及 X 的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就
认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产
过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性.
(ii)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98
10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经 计 算 得
= xi=9.97,s= = ≈0.212,其中
xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数 作为μ的估计值 ,用样本标准差s作为σ的估计值 ,利用估
计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除( -3 , +3 )之外的数据,
用剩下的数据估计μ和σ(精确到 0.01).
附 : 若 随 机 变 量 Z 服 从 正 态 分 布 N(μ,σ2), 则
P(μ-3σ
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