【数学】2021届一轮复习北师大版（理）6函数的奇偶性与周期性作业 6页

函数的奇偶性与周期性 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)‎ A．e－x－1　　　　 B．e－x＋1‎ C．－e－x－1 D．－e－x＋1‎ D　[当x<0时，－x>0，‎ ‎∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.‎ 又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.‎ 故选D.]‎ ‎2．函数f(x)＝的图像(　　)‎ A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 B　[因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图像关于y轴对称．]‎ ‎3．下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．f(x)＝x3＋1　　　　 B．f(x)＝ln C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x B　[对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x ‎)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.]‎ ‎4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　)‎ A．3 B．－3‎ C．2 D．－2‎ B　[因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 且f(x)＝ 所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.]‎ ‎5．(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－2,2)‎ C．(－3,3) D．(－4,4)‎ A　[法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得‎2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．‎ 法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f的值为________．‎ ln 2　[由已知可得f ＝ln ＝－2，‎ 所以f＝f(－2)．‎ 又因为f(x)是偶函数，‎ 所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.]‎ ‎7．已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.‎ ‎3　[由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．故函数f(x)的周期为4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.]‎ ‎8．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.‎ ‎－4　[法一：因为f(x)＋1＝x＋，‎ 设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，‎ 易判断g(x)＝x＋为奇函数，‎ 故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，‎ 即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.‎ 所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.‎ 法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，‎ 即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]‎ 三、解答题 ‎9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.‎ 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，‎ 所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.‎ 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.‎ 综上可得f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．‎ ‎(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；‎ ‎(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．‎ ‎[解]　(1)证明：由f＝－f，‎ 且f(－x)＝－f(x)，‎ 知f(3＋x)＝f ‎＝－f＝－f(－x)＝f(x)，‎ 所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．‎ ‎(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，‎ 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.‎ ‎1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝‎ ‎(　　)‎ A．ex－e－x B．(ex＋e－x)‎ C．(e－x－ex) D．(ex－e－x)‎ D　[因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．]‎ ‎2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)‎ A．6　　 B．7 ‎ C．8　　 D．9‎ B　[因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x＜2时，f(x)＝x3－x＝x(x ‎－1)(x＋1)，‎ 所以当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.‎ 由周期函数的性质知，当2≤x＜4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]‎ ‎3．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝________.‎ ‎2　[∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，‎ f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，‎ ‎∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，‎ ‎∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，‎ ‎∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设x＜0，则－x＞0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图像(如图所示)知所以1＜a≤3，‎ 故实数a的取值范围是(1,3]．‎ ‎1．定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　)‎ A．403　 B．405 ‎ C．806　 D．809‎ B　[定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝log2(－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝则g(g(－1))＝______.‎ ‎1　　[由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2－1＝.]‎