版高中数学圆锥曲线与方程章末复习课北师大版选修 44页

学习目标 1. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程 . 2 . 掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法 . 3 . 掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题 . 4 . 掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法 . 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质   椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的集合 平面内到两定点 F 1 ， F 2 的距离之差的绝对值等于常数 ( 大于零且小于 | F 1 F 2 |) 的点的集合 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不过点 F ) 距离相等的点的集合 标准方程 y 2 ＝ 2 px 或 y 2 ＝－ 2 px 或 x 2 ＝ 2 py 或 x 2 ＝－ 2 py ( p >0) 关系式 a 2 － b 2 ＝ c 2 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2   图形 封闭图形 无限延展，但有 渐近线 无限延展，没有渐近线 变量范围 | x | ≤ a ， | y | ≤ b 或 | y | ≤ a ， | x | ≤ b | x | ≥ a 或 | y | ≥ a x ≥ 0 或 x ≤ 0 或 y ≥ 0 或 y ≤ 0 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 e ＝ ， 且 0< e <1 e ＝ ， 且 e >1 e ＝ 1 决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2 p 决定开口大小 知识点二　椭圆的焦点三角形 设 P 为 椭圆 ＝ 1( a > b >0) 上任意一点 ( 不在 x 轴上 ) ， F 1 ， F 2 为焦点且 ∠ F 1 PF 2 ＝ α ，则 △ PF 1 F 2 为焦点三角形 ( 如图 ). 知识点三　双曲线及渐近线的设法技巧 λ ( λ ≠ 0) 知识点四　求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用 “ 先定形，后定式，再定量 ” 的步骤 . (1) 定形 —— 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 . (2) 定式 —— 根据 “ 形 ” 设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0). (3) 定量 —— 由题设中的条件找到 “ 式 ” 中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 . 知识点五　三法求解离心率 1. 定义法：由椭圆 ( 双曲线 ) 的标准方程可知，不论椭圆 ( 双曲线 ) 的焦点在 x 轴上还是 y 轴上，都有关系式 a 2 － b 2 ＝ c 2 ( a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ) 以及 e ＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法 . 2. 方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法 . 3. 几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆 ( 双曲线 ) 的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观 . 知识点六　直线与圆锥曲线位置关系 1. 直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行 . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题 . 解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及 “ 点差法 ” 等 . 题型探究 类型一　圆锥曲线定义的应用 例 1 　若 F 1 ， F 2 是双曲线 ＝ 1 的两个焦点， P 是双曲线上的点，且 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 32 ，试求 △ F 1 PF 2 的面积 . 解答 由双曲线的定义，得 || PF 1 | － | PF 2 || ＝ 6 ， 将此式两边平方，得 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 － 2| PF 1 |·| PF 2 | ＝ 36 ， 所以 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ 36 ＋ 2| PF 1 |·| PF 2 | ＝ 36 ＋ 2 × 32 ＝ 100. 如图所示，在 △ F 1 PF 2 中，由余弦定理，得 引申探究 将本例的条件 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 32 改为 | PF 1 | ∶ | PF 2 | ＝ 1 ∶ 3 ，求 △ F 1 PF 2 的面积 . 解答 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决 . 反思与感悟 答案 解析 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 随 m ， n 变化而变化 设 P 为双曲线右支上的一点 . 而 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ 2( m ＋ n ) ＝ (2 c ) 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ， ∴△ F 1 PF 2 是直角三角形，故选 B. 类型二　圆锥曲线的性质及其应用 答案 解析 (2) 已知抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线与双曲线 － y 2 ＝ 1 交于 A ， B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 △ FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ____. 答案 解析 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线方程为 x ＝－ 1 ，又 △ FAB 为直角三角形，则只有 ∠ AFB ＝ 90° ，如图， 则 A ( － 1 ， 2) 应在双曲线上， 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决 . 反思与感悟 跟踪训练 2 　如图， F 1 ， F 2 是椭圆 C 1 ： ＋ y 2 ＝ 1 与双曲线 C 2 的公共焦点， A ， B 分别是 C 1 ， C 2 在第二、四象限的公共点 . 若四边形 AF 1 BF 2 为矩形，则 C 2 的离心率是 答案 解析 ∵ 四边形 AF 1 BF 2 为矩形， ∴ | AF 1 | 2 ＋ | AF 2 | 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ＝ 12 ， ∴ 2| AF 1 || AF 2 | ＝ (| AF 1 | ＋ | AF 2 |) 2 － (| AF 1 | 2 ＋ | AF 2 | 2 ) ＝ 16 － 12 ＝ 4 ， ∴ (| AF 2 | － | AF 1 |) 2 ＝ | AF 1 | 2 ＋ | AF 2 | 2 － 2| AF 1 || AF 2 | ＝ 12 － 4 ＝ 8 ， 类型三　直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 求椭圆的标准方程； 解答 (2) 过右焦点 F 2 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，若 y 轴上一点 M (0 ， ) 满足 | MA | ＝ | MB | ，求直线 l 的斜率 k 的值 . 解答 已知 F 2 (1 ， 0) ，直线斜率显然存在， 设直线的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 化简得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 － 4 k 2 x ＋ 2 k 2 － 2 ＝ 0 ， 因为 | MA | ＝ | MB | ，所以点 M 在 AB 的中垂线上， ② 当 k ＝ 0 时， AB 的中垂线方程为 x ＝ 0 ，满足题意 . 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1) 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解 . (2) 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围 . 反思与感悟 解答 (1) 求椭圆 E 的标准方程； 因为 2 c ＝ 2 ，所以 c ＝ 1. 所以 b 2 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2. (2) 若直线 y ＝ kx ＋ m 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q ，且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部，求实数 m 的取值范围 . 解答 消去 y ，得 (2 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 4 kmx ＋ 2 m 2 － 2 ＝ 0 ， Δ ＝ 16 k 2 － 8 m 2 ＋ 8>0 ，即 m 2 <2 k 2 ＋ 1. (*) 因为原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部， 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 解析 √ 2. 中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18 ，且两个焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的方程是 答案 解析 √ ∵ 两焦点恰好将长轴三等分， 2 a ＝ 18 ， 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 ∵ y 2 ＝ 8 x 的焦点为 (2 ， 0) ， ∵ c 2 ＝ m 2 － n 2 ＝ 4 ， ∴ n 2 ＝ 12. 2 3 4 5 1 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 ∴ C ： y 2 ＝ 8 x ，焦点 F (2 ， 0) ，设 AB 斜率为 k ， B ( x B ， y B ) ， 则 AB ： y － 3 ＝ k ( x ＋ 2) 切于第一象限 . ∴ y B ＝ 8 ， ∴ B (8 ， 8) ， 2 3 4 5 1 5. 点 P (8 ， 1) 平分双曲线 x 2 － 4 y 2 ＝ 4 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是 _____________. 答案 解析 2 x － y － 15 ＝ 0 设弦的两个端点分别为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 两式相减得， ( x 1 ＋ x 2 )( x 1 － x 2 ) － 4( y 1 ＋ y 2 )( y 1 － y 2 ) ＝ 0. 因为线段 AB 的中点为 P (8 ， 1) ，所以 x 1 ＋ x 2 ＝ 16 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2. 所以直线 AB 的方程为 y － 1 ＝ 2( x － 8) ， 代入 x 2 － 4 y 2 ＝ 4 ，满足 Δ >0. 即直线方程为 2 x － y － 15 ＝ 0. 规律与方法 在解决圆锥曲线问题时，待定系数法， “ 设而不求 ” 思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题 . 本课结束