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- 2021-07-01 发布
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面面垂直的判定
(答题时间:40分钟)
*1. 下列命题中正确的是________。
①若平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β;
②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β;
③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β;
④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β。
*2. 设l是直线,α,β是两个不同的平面,下列结论中正确的是________。
①若l∥α,l∥β,则α∥β;
②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;
③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β;
④若α⊥β,l∥α,则l⊥β。
**3. 过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________。
**4. 如图,已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°,若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是________。
*5. 在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是________。
①BC∥面PDF;②DF⊥面PAE;③面PDF⊥面ABC;④面PAE⊥面ABC。
6. 在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=,则二面角B-AC-D的大小为________。
***7. 如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=。
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A—BE—P的大小。
**8. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点。求证:平面C1BD⊥平面BDE。
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**9. 如图所示,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB。
(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数。
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1 ③ 解析:当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故①错;由直线与平面垂直的判定定理知,②、④错,③正确。
2. ② 解析:利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法。
设α∩β=a,若直线l∥a,且l⊄α,l⊄β,则l∥α,l∥β,
因此α不一定平行于β,故①错误;
由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,
所以l′⊥β,故α⊥β,所以②正确;
若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此③错误;
已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,
则l∥α且l∥β,因此④错误。
3. 45° 解析:可将图形补成以AB、AP为棱的正方体,不难求出二面角的大小为45°。
4. 90° 解析:由∠POB=45°,∠POQ≥45°知PO与平面β成45°角,若作PQ⊥β于Q点,则∠POQ=45°,∴Q∈AB,又PQ⊂α,∴α⊥β。
5. ③
解析:如图所示,∵BC∥DF,
∴BC∥平面PDF,∴①正确,
由BC⊥PE,BC⊥AE,
∴BC⊥平面PAE,
∴DF⊥平面PAE,∴②正确,
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),∴④正确。
6. 60°
解析:如图所示,由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角,
∵DO=OB=BD=,
∴∠BOD=60°。
7. (1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形,因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,
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又AB∥CD,所以BE⊥AB,
又因为PA⊥平面ABCD,
BE⊂平面ABCD,
所以PA⊥BE,而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB,
又BE⊂平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB;
(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BE,又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角,
在Rt△PAB中,tan∠PBA=,
则∠PBA=60°,
故二面角A—BE—P的大小是60°。
8. 证明:设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接C1O,EO,C1E,
因为EB=ED,点O是BD的中点,
所以BD⊥EO,
因为C1B=C1D,点O是BD的中点,
所以BD⊥C1O,
所以∠C1OE即为二面角C1-BD-E的平面角,
因为E为AA1中点,设正方体的棱长为a,
则C1O=,
EO=,
C1E=,
所以C1O2+EO2=C1E2,
所以C1O⊥OE,所以⊥C1OE=90°,
所以平面C1BD⊥平面BDE。
9. 解:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵四边形ABCD为正方形,
∴CD⊥AD,
∵PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
又CD⊂平面PCD,
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∴平面PAD⊥平面PCD,
∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°;
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA,
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角,
由题意知∠BAD=90°,
∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°;
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA,
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角,
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,
即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°;
(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图所示,由题意知△PBC≌△PDC,
则∠BPE=∠DPE,
从而△PBE≌△PDE,
∴∠DEP=∠BEP=90°,
且BE=DE。
∴∠BED为二面角B-PC-D的平面角,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,
∴BC⊥PB,
设AB=a,
则BE=,BD=a,
∴sin∠BEO=,∴∠BEO=60°,
∴∠BED=120°.
∴二面角B-PC-D的平面角的度数为120°。
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