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  • 2021-07-01 发布

2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系11 面面垂直的判定习题 苏教版必修2

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面面垂直的判定 ‎(答题时间:40分钟)‎ ‎*1. 下列命题中正确的是________。‎ ‎①若平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β;‎ ‎②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β;‎ ‎③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β;‎ ‎④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β。‎ ‎*2. 设l是直线,α,β是两个不同的平面,下列结论中正确的是________。‎ ‎①若l∥α,l∥β,则α∥β;‎ ‎②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;‎ ‎③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β;‎ ‎④若α⊥β,l∥α,则l⊥β。‎ ‎**3. 过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________。‎ ‎**4. 如图,已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°,若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是________。‎ ‎*5. 在正四面体P-ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是________。‎ ‎①BC∥面PDF;②DF⊥面PAE;③面PDF⊥面ABC;④面PAE⊥面ABC。‎ ‎6. 在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=,则二面角B-AC-D的大小为________。‎ ‎***7. 如图所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=。‎ ‎(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;‎ ‎(2)求二面角A—BE—P的大小。‎ ‎**8. 如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是AA1的中点。求证:平面C1BD⊥平面BDE。‎ 5‎ ‎**9. 如图所示,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB。‎ ‎(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;‎ ‎(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;‎ ‎(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;‎ ‎(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数。‎ 5‎ ‎1 ③ 解析:当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故①错;由直线与平面垂直的判定定理知,②、④错,③正确。‎ ‎2. ② 解析:利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法。‎ 设α∩β=a,若直线l∥a,且l⊄α,l⊄β,则l∥α,l∥β,‎ 因此α不一定平行于β,故①错误;‎ 由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l,又因为l⊥β,‎ 所以l′⊥β,故α⊥β,所以②正确;‎ 若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此③错误;‎ 已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,‎ 则l∥α且l∥β,因此④错误。‎ ‎3. 45° 解析:可将图形补成以AB、AP为棱的正方体,不难求出二面角的大小为45°。‎ ‎4. 90° 解析:由∠POB=45°,∠POQ≥45°知PO与平面β成45°角,若作PQ⊥β于Q点,则∠POQ=45°,∴Q∈AB,又PQ⊂α,∴α⊥β。‎ ‎5. ③‎ 解析:如图所示,∵BC∥DF,‎ ‎∴BC∥平面PDF,∴①正确,‎ 由BC⊥PE,BC⊥AE,‎ ‎∴BC⊥平面PAE,‎ ‎∴DF⊥平面PAE,∴②正确,‎ ‎∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),∴④正确。‎ ‎6. 60°‎ 解析:如图所示,由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角,‎ ‎∵DO=OB=BD=,‎ ‎∴∠BOD=60°。‎ ‎7. (1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形,因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,‎ 5‎ 又AB∥CD,所以BE⊥AB,‎ 又因为PA⊥平面ABCD,‎ BE⊂平面ABCD,‎ 所以PA⊥BE,而PA∩AB=A,‎ 因此BE⊥平面PAB,‎ 又BE⊂平面PBE,‎ 所以平面PBE⊥平面PAB;‎ ‎(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,‎ 所以PB⊥BE,又AB⊥BE,‎ 所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角,‎ 在Rt△PAB中,tan∠PBA=,‎ 则∠PBA=60°,‎ 故二面角A—BE—P的大小是60°。‎ ‎8. 证明:设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接C1O,EO,C1E,‎ 因为EB=ED,点O是BD的中点,‎ 所以BD⊥EO,‎ 因为C1B=C1D,点O是BD的中点,‎ 所以BD⊥C1O,‎ 所以∠C1OE即为二面角C1-BD-E的平面角,‎ 因为E为AA1中点,设正方体的棱长为a,‎ 则C1O=, ‎ EO=,‎ C1E=,‎ 所以C1O2+EO2=C1E2,‎ 所以C1O⊥OE,所以⊥C1OE=90°,‎ 所以平面C1BD⊥平面BDE。‎ ‎9. 解:(1)∵PA⊥平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴CD⊥AD,‎ ‎∵PA∩AD=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAD,‎ 又CD⊂平面PCD,‎ 5‎ ‎∴平面PAD⊥平面PCD,‎ ‎∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°;‎ ‎(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA,‎ ‎∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角,‎ 由题意知∠BAD=90°,‎ ‎∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°;‎ ‎(3)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA,‎ ‎∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角,‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,‎ 即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°;‎ ‎(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图所示,由题意知△PBC≌△PDC,‎ 则∠BPE=∠DPE,‎ 从而△PBE≌△PDE,‎ ‎∴∠DEP=∠BEP=90°,‎ 且BE=DE。‎ ‎∴∠BED为二面角B-PC-D的平面角,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,‎ 又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,‎ ‎∴BC⊥PB,‎ 设AB=a,‎ 则BE=,BD=a,‎ ‎∴sin∠BEO=,∴∠BEO=60°,‎ ‎∴∠BED=120°.‎ ‎∴二面角B-PC-D的平面角的度数为120°。‎ 5‎