【数学】2021届一轮复习北师大版（理）37不等式的性质与一元二次不等式作业 6页

不等式的性质与一元二次不等式 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知R是实数集，集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝，则A∩(∁RB)＝(　　)‎ A.(1,6)　　　　　 B.[－1,2]‎ C. D. C　[由x2－x－2≤0可得A＝{x|－1≤x≤2}．由≥0得 所以B＝，‎ 所以∁RB＝，所以A∩(∁RB)＝.故选C.]‎ ‎2．(2019·吉林模拟)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题中正确的是 ‎(　　)‎ A.ac2＜bc2 B.a2＞ab＞b2‎ C.＜ D.＞ B　[法一：(直接法)A选项，若c＝0，则ac2＝bc2，故不正确；B选项，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，‎ ‎∴a2＞ab＞b2，故B正确；C选项，∵a＜b＜0，∴－＝＞0，∴＞，故错误； D选项，∵a＜b＜0，∴－＝＝＜0，∴＜，故错误．故选B.‎ 法二：(特值排除法)取a＝－2，b＝－1，c＝0易知A、C、D全错误，故选B.]‎ ‎3．不等式2＞22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,4)‎ B．(－4，－1)‎ C．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)‎ D．(－∞，1)∪(4，＋∞)‎ B　[∵不等式2x2－4x＞22ax＋a对一切实数x都成立，‎ ‎∴x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，即x2－(4＋‎2a)x－a>0对一切实数x都成立．‎ ‎∴Δ＝(4＋‎2a)2－4×(－a)<0，即a2＋‎5a＋4<0.‎ ‎∴－40，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B. C. D. D　[∵对任意的x∈(1,4)，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>＝2，对任意的x∈(1,4)恒成立，‎ ‎∵<<1，∴2∈，‎ ‎∴实数a的取值范围是.]‎ ‎5．(2019·辽宁师大附中模拟)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－4,1]　　 B．[－4,3]‎ C．[1,3]　　 D．[－1,3]‎ B　[原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，‎ 即10，则＋与＋的大小关系是________．‎ ＋≥＋　[＋－＝＋＝(a－b)·＝.‎ ‎∵a＋b>0，(a－b)2≥0，‎ ‎∴≥0.即＋≥＋.]‎ ‎7．已知10在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．‎ 　[法一：由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图像的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－.‎ 法二：原题即转化为a＞－x＋在[1,5]上有解，设－x＋＝f(x)，即a＞f(x)min，f(x)＝－x＋在[1,5]上是减函数，‎ ‎∴a＞f(5)＝－.]‎ 三、解答题 ‎9．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意可知，0,5是f(x)＝0的两个实数根，‎ ‎∴∴即f(x)＝2x2－10x.‎ ‎(2)由(1)可知不等式2x2－10x＋t≤2对任意x∈[－1,1]恒成立．‎ 即2x2－10x＋t－2≤0在[－1,1]上恒成立，‎ ‎∴∴∴t≤－10.‎ 即t的取值范围为(－∞，－10]．‎ ‎10．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·元．‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．‎ ‎[解]　(1)根据题意得200≥3 000，整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10，故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．‎ ‎(2)设利润为y元，则y＝·100 ‎＝9×104＝9×104，‎ 故x＝6时，ymax＝457 500元，即甲厂以‎6千克/小时的生产速度生产‎900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．‎ ‎1．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)‎ A.－>0 B．sin x－sin y>0‎ C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0‎ C　[选项A中，因为x>y>0，所以<，即－<0，故结论不成立；选项B中，当x＝，y＝时，sin x－sin y<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝x是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以x＜y，所以x－y<0；选项D中，当x＝e－1，y＝e－2时，结论不成立．]‎ ‎2．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________．‎ 　[由题意可知，方程x2－2ax＋a＝－1有唯一解，‎ ‎∴Δ＝‎4a2－4(a＋1)＝0，即a＝.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．‎ ‎9　[由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.‎ 因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－＝0，即b＝.‎ 所以f(x)＝2.‎ 又f(x)＜c，所以2＜c，即－－＜x＜－＋.‎ 所以 ‎②－①，得2＝6，所以c＝9.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.‎ ‎(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；‎ ‎(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，依题意得y＝＝＝x＋－4.因为x>0，所以x＋≥2，‎ 当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，所以y≥－2.‎ 所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.‎ ‎(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，‎ 所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．‎ 不妨设g(x)＝x2－2ax－1，‎ 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，所以 即解得a≥，‎ 则a的取值范围为.‎ ‎1．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(ac≠0)，若f(x)＜0的解集为(－1，m)，则下列说法正确的是(　　)‎ A．f(m－1)＜0　　　 B．f(m－1)＞0‎ C．f(m－1)必与m同号 D．f(m－1)必与m异号 D　[∵f(x)＜0的解集为(－1，m)，‎ ‎∴－1，m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实数根，且a＞0.‎ ‎∴f(x)＝a(x＋1)(x－m)．‎ ‎∴f(m－1)＝－am与m必异号．‎ 故选D.]‎ ‎2．(2019·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．‎ ‎(－3,0)∪(3，＋∞)　[设x<0，则－x>0，‎ 因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)．‎ 又f(0)＝0.于是不等式f(x)>x等价于或 解得x>3或－3