高考数学专题复习练习第七章 立体几何 章末质量检测 17页

‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2010·株州模拟)已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所 示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体 的表面积为 (　　)‎ A.　　　　　　　B. C. D. 解析：根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示，CD垂直于等腰 ‎ 直角三角形ABC所在平面，于是，易得S＝S△ABC＋S△ACD＋S△CBD＝＋‎ ＋＋＋.‎ 答案：D ‎2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 ‎(　　)‎ A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n 解析：A中α与γ可以平行，C中可能有m⊂β，D中m与i可以平行．‎ 答案：B ‎3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是 (　　)‎ A．l1∥α且l2∥α　　　　B．l1⊥α且l2⊥α C．l1∥α且l2⊄α D．l1∥α且l2⊂α 解析：根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知B为l1∥l2的一个充分条件．‎ 答案：B ‎4．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为(　　)‎ A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内 解析：根据面面垂直的性质定理，有选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面 α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．‎ 答案：D ‎5．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所 成角的余弦值等于 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F，连结BF， ‎ 则∠BC‎1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角．设正方 体的棱长为1，由P为棱DC的中点，则易得BC1＝，‎ C‎1F＝ ＝，BF＝ ＝.‎ 在△BC‎1F中，cos∠BC‎1F＝＝.‎ 答案：B ‎6.[理]如图，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1‎ 上，且BD＝1，则AD与平面AA‎1C1C所成角的正弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图，取C‎1A1、CA的中点E、F，连接B1E与BF，则B1E⊥ ‎ 平面CAA‎1C1，过D作DH∥B1E，则DH⊥平面CAA‎1C1，连接AH，‎ 则∠DAH为所求的角，又DH＝B1E＝，DA＝，所以sin∠DAH ‎＝＝.‎ 答案：A ‎[文]如右图所示，在立体图形D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是 AC的中点，则下列命题中正确的是 (　　)‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，故平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥‎ 平面BDE.‎ 答案：C ‎7．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等 的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是(　　)‎ A．(1)(2)(3) B．(1)(4)‎ C．(1)(2)(4) D．(2)(4)‎ 解析：如图1，当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.‎ 答案：C ‎8．设有如下三个命题：‎ 甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；‎ 乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；‎ 丙：平面α与平面β相交．‎ 当甲成立时 (　　)‎ A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件 C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 解析：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立，故选C.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9.用一些棱长是‎1 cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这 个几何体的体积最多是________．‎ 解析：由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块，故体积最多为7 ‎ cm3.‎ 答案：‎7 cm3‎ ‎10．过平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1‎ 平行的直线共有________条．‎ 解析：如图，P、E、F、H分别为AD、AB、A1B1、A1D1的中点，则平面PEFH∥平面DBB1D1，所以四边形PEFH的任意两顶点的连线都平行于平面DBB1D1，共6条，同理在另一侧面也有6条，共12条．‎ 答案：12‎ ‎11．(2010·湘潭模拟)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若 此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是________．‎ 解析：补成长方体易求4R2＝81，‎ ‎∴S＝4πR2＝81π.‎ 答案：81π ‎12．(2009·辽宁高考)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．‎ 则该几何体的体积为________m3.‎ 解析：‎ 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，‎ 故所求三棱锥的体积为V＝×2××3×4＝‎4 m3‎，‎ 答案：4‎ ‎13．[理]如图，AD⊥平面BCD，∠BCD＝90°，AD＝BC＝CD＝a，则二面角C－AB－‎ D的大小为__________．‎ 解析：取BD的中点E，连结CE，则CE⊥面ABD，作EF⊥AB，‎ ‎∴CF⊥AB得∠CFE为所求．‎ 又CE＝a，CF＝，‎ ‎∴sin∠CFE＝＝.‎ 答案：60°‎ ‎[文]如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M∈A1B，N∈B‎1C，A‎1M＝‎ B1N，有以下四个结论：‎ ‎①A‎1A⊥MN；‎ ‎②AC∥MN；‎ ‎③MN与平面ABCD成0°角；‎ ‎④MN与AC是异面直线．‎ 其中正确结论的序号是____________．‎ 解析：易知①③④正确．‎ 答案：①③④‎ ‎14．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为________．‎ 解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π·1＝π，于是设底面圆 的半径为r，‎ 则有2πr＝π，所以r＝，‎ 于是圆锥的高为h＝＝，‎ 故圆锥的体积为V＝π.‎ 答案：π ‎15．(2010·永州模拟)棱长为a的正方体ABCD－A1B‎1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，‎ E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．‎ 解析：因为正方体内接于球，所以2R＝，R＝a，过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR于点P，所以，在△QPO中，QR＝2QP＝2 ＝a.‎ 答案：a 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)(2010·岳阳模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视 图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸 如图所示)．‎ ‎(1)求四棱锥P－ABCD的体积；‎ ‎(2)证明：BD∥平面PEC；‎ ‎(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.‎ 解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，‎ PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD ‎＝CD＝CB＝4，‎ ‎∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝.‎ ‎(2)证明：连结AC交BD于O点，‎ 取PC中点F，连结OF，‎ ‎∵EB∥PA，且EB＝PA，‎ 又OF∥PA，且OF＝PA，‎ ‎∴EB∥OF，且EB＝OF，‎ ‎∴四边形EBOF为平行四边形，‎ ‎∴EF∥BD.‎ 又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.‎ ‎(3)连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，‎ ‎∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，‎ ‎∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，‎ ‎∴PB⊥AE.‎ 又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，‎ ‎∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.‎ ‎17．(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC ‎＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中 点，现将△ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面CDE；‎ ‎(2)求证：FG∥平面BCD；‎ ‎(3)求四棱锥D－ABCE的体积．‎ 解：(1)证明：由已知得：‎ DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE.‎ ‎∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，‎ ‎∴BC⊥平面DCE.‎ ‎(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，‎ ‎∴GH∥BD，FH∥BC，‎ ‎∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.‎ 又GH∩FH＝H，‎ ‎∴平面FHG∥平面BCD，‎ ‎∴FG∥平面BCD(由线线平行证明亦可)．‎ ‎(3)V＝×1×2×＝.‎ ‎18．(本小题满分12分)(2010·常德模拟)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝‎ PA＝2，CD＝2，E、F分别是AB、PD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面PCE；‎ ‎(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；‎ ‎(3)求四面体PEFC的体积．‎ 解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，‎ ‎∵F为PD的中点，E为AB的中点，‎ ‎∴FG綊CD，AE綊CD ‎∴FG綊AE，∴AF∥GE ‎∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；‎ ‎(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，‎ ‎∴GE⊥平面PCD，‎ ‎∵GE⊂平面PEC，‎ ‎∴平面PCE⊥平面PCD；‎ ‎(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，‎ 所以EG为四面体PEFC的高，‎ 又GF∥CD，所以GF⊥PD，‎ EG＝AF＝，GF＝CD＝，‎ S△PCF＝PD·GF＝2.‎ 得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝.‎ ‎19．(本小题满分13分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底 面ABCD，PA＝AD＝DC＝AB＝1，M为PC的中点，N点在AB上且AN＝NB.‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAD；‎ ‎(2)求直线MN与平面PCB所成的角．‎ 解：(1)证明：过M作ME∥CD交PD于E，‎ 连接AE.‎ ‎∵AN＝NB，‎ ‎∴AN＝AB＝DC＝EM.‎ 又EM∥DC∥AB，∴EM綊AN，‎ ‎∴AEMN为平行四边形，‎ ‎∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，‎ ‎∴MN∥平面PAD.‎ ‎(2)过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB交CB于点F，‎ 连接QF，过N点作NH⊥QF交QF于H，连接MH.‎ 易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面QNF，‎ ‎∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，‎ ‎∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角．‎ 通过计算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，‎ ‎∴NH＝＝＝，‎ ‎∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°.‎ ‎∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.‎ ‎20.(本小题满分13分)(2010·长沙模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1‎ 中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点．‎ ‎(1)求证：AC1∥平面B1CD；‎ ‎(2)求二面角B－B‎1C－D的正弦值．‎ 解：(1)证明：如图，连接BC1交B‎1C于点E，‎ 则E为BC1的中点．‎ ‎∵D为AB的中点，∴在△ABC1中，AC1∥DE 又AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，‎ ‎∴AC1∥平面B1CD ‎(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，‎ ‎∴CD⊥AB.又平面ABC⊥平面ABB‎1A1，‎ ‎∴CD⊥平面ABB‎1A1.‎ ‎∴平面B1CD⊥平面B1BD，‎ 过点B作BH⊥B1D，垂足为H，则BH⊥平面B1CD，‎ 连接EH，‎ ‎∵B‎1C⊥BE，B‎1C⊥EH，‎ ‎∴∠BEH为二面角B－B‎1C－D的平面角．‎ 在Rt△BHE中，BE＝，BH＝＝，‎ 则sin∠BEH＝＝.‎ 即二面角B－B‎1C－D的正弦值为.‎ ‎21.[理](本小题满分13分)(2009·东北四市模拟)如图，正四棱柱ABCD－‎ A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上，且CE＝λCC1.‎ ‎(1)λ为何值时，A‎1C⊥平面BED；‎ ‎(2)若A‎1C⊥平面BED，求二面角A1－BD－E的余弦值．‎ 解：法一：(1)连接B‎1C交BE于点F，连接AC交BD于点G，‎ ‎∴AC⊥BD，由垂直关系得，A‎1C⊥BD，‎ 若A‎1C⊥平面BED，则A‎1C⊥BE，‎ 由垂直关系可得B‎1C⊥BE，‎ ‎∴△BCE∽△B1BC，∴＝＝，‎ ‎∴CE＝1，∴λ＝＝.‎ ‎(2)连接A‎1G，连接EG交A‎1C于H，则A‎1G⊥BD.‎ ‎∵A‎1C⊥平面BED，‎ ‎∴∠A1GE是二面角A1－BD－E的平面角．‎ ‎∵A‎1G＝3，EG＝，A1E＝，‎ ‎∴cos∠A1GE＝＝，‎ 法二：(1)以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，‎ 射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D－xyz.‎ 依题设，D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，‎ ‎∵CE＝λCC1＝4λ，∴E(0,2,4λ)， ‎ ‎∴＝(2,2,0)，＝(2,0,4)，‎ ‎＝(－2,2，－4)，＝(0,2,4λ)，‎ ‎∵·＝2×(－2)＋2×2＋0×(－4)＝0，‎ ‎∴⊥，∴DB⊥A‎1C.‎ 若A‎1C⊥平面BED，则A‎1C⊥DE，∴⊥，‎ ‎∴·＝(－2)×0＋2×2＋(－4)×4λ＝4－16λ＝0，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1B的一个法向量，‎ 则n⊥，n⊥，∴2x＋2y＝0,2x＋4z＝0，‎ 令z＝1，则x＝－2，y＝2，∴n＝(－2,2,1)‎ 由(1)知平面BDE的一个法向量为＝(－2,2，－4)‎ ‎∴cos〈n，〉＝＝.‎ 即二面角A1－BD－E的余弦值为.‎ ‎[文](本小题满分13分)(2010·湘潭模拟)如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连结A′B、A′C，P为A′C的中点．‎ ‎(1)求证：EP∥平面A′FB；‎ ‎(2)求证：平面A′EC⊥平面A′BC；‎ ‎(3)求证：AA′⊥平面A′BC.‎ 证明：(1)∵E、P分别为AC、A′C的中点，‎ ‎∴EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，EP⊄平面AA′B，‎ ‎∴EP∥平面AA′B，‎ 即EP∥平面A′FB.‎ ‎(2)∵BC⊥AC，由题意知EF⊥A′E，EF∥BC，‎ ‎∴BC⊥A′E，又∵A′E∩AC＝E，‎ ‎∴BC⊥平面A′EC，BC⊂平面A′BC，‎ ‎∴平面A′BC⊥平面A′EC.‎ ‎(3)在△A′EC中，P为A′C的中点，‎ 又A′E＝EC，∴EP⊥A′C，‎ 在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C.‎ 由(2)知：BC⊥平面A′EC，又A′A⊂平面A′EC，‎ ‎∴BC⊥AA′，∵BC∩A′C＝C，∴A′A⊥平面A′BC.‎