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- 2021-07-01 发布
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A组 专项基础训练
(时间:50分钟)
1.(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为,求点A到直线l的距离.
【解析】 依题可知直线l:2ρsin=和点A可化为l:x-y+1=0和A(2,-2),所以点A到直线l的距离为d==.
2.(2017·河南八市联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0).
(1)求曲线C1的直角坐标方程;
(2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.
【解析】 (1)由3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0),得3x2+3y2=12x-10,即(x-2)2+y2=.
∴曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=.
(2)依题意可设Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆C1的圆心坐标为(2,0),
则|QC1|=
=
=2 .
∴当cos θ=时,|QC1|min=,
∴|PQ|min=.
3.(2017·南京模拟)在极坐标系中,已知圆ρ=3cos θ与直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.
【解析】 圆ρ=3cos θ的直角坐标方程为x2+y2=3x,
即+y2=,
直线2ρcos θ+4ρsin θ+a=0的直角坐标方程为2x+4y+a=0.
因为圆与直线相切,所以=,
解得a=-3±3.
4.(2017·南通第三次质检)在极坐标系中,求曲线ρ=2cos θ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程.
【解析】 以极点为坐标原点,极轴为x轴建立直角坐标系,
则曲线ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,且圆心为(1,0).
直线θ=的直角坐标方程为y=x,
因为圆心(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),
所以圆(x-1)2+y2=1关于y=x的对称曲线为x2+(y-1)2=1.
所以曲线ρ=2cos θ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ.
5.(2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
【解析】 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2.
所以x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
即ρsin=.
6.(2017·常州模拟)在极坐标系中,O是极点,设A,B,求△AOB的面积.
【解析】 如图所示,∠AOB=2π--=,
OA=4,OB=5,
故S△AOB=×4×5×sin =5.
B组 专项能力提升
(时间:40分钟)
7.(2017·南京模拟)已知直线l:ρsin=4和圆C:ρ=2kcos(k≠0),若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.
【解析】 ∵ρ=kcos θ-ksin θ,
∴ρ2=kρcos θ-kρsin θ,
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,
即+=k2,
∴圆心的直角坐标为.
∵ρsin θ·-ρcos θ·=4,
∴直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,
∴-|k|=2.
即|k+4|=2+|k|,
两边平方,得|k|=2k+3,
∴或
解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.
8.(2017·山西质检)在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;
(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.
【解析】 (1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,
∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,
点R的直角坐标为R(2,2).
(2)设P(cos θ,sin θ),
根据题意可得|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sin θ,
∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+60°),
当θ=30°时,|PQ|+|QR|取最小值2,
∴矩形PQRS周长的最小值为4,
此时点P的直角坐标为.
9.(2017·邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为,求:
(1)直线的极坐标方程;
(2)极点到该直线的距离.
【解析】 (1)如图,由正弦定理得
=.
即ρsin=sin =,
∴所求直线的极坐标方程为ρsin=.
(2)作OH⊥l,垂足为H,
在△OHA中,OA=1,∠OHA=,∠OAH=,
则OH=OAsin =,
即极点到该直线的距离等于.
10.(2017·山西朔州模拟)在极坐标系Ox中,曲线C的极坐标方程为ρ2=.以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.
【解析】 (1)∵曲线C的极坐标方程为ρ2=,
∴9ρ2+7ρ2sin2θ=144.
由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144.
即曲线C的直角坐标方程为+=1.
(2)∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,
∴A(4,0),B(0,3),∴直线AB的方程为3x+4y-12=0.
设P(4cos θ,3sin θ),则
点P到直线AB的距离为
d=
=.
当θ=时,dmax=,
∴△ABP面积的最大值为|AB|·=6(+1).
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