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  • 2021-07-01 发布

2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2

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‎2.2.1‎‎ 椭圆及其标准方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,则M到另一个焦点F2的距离为(  )‎ A.3 B.6‎ C.8 D.以上都不对 解析:由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=10,‎ ‎∴|MF2|=10-2=8,故选C.‎ 答案:C ‎2.(2015·高考广东卷)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.9‎ 解析:由左焦点为F1(-4,0)知c=4,又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3,又m>0,故m=3.‎ 答案:B ‎3.椭圆+=1的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为(  )‎ A.32 B.16‎ C.8 D.4‎ 解析:∵|AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|=8.‎ 又∵|AF1|+|BF1|=|AB|,‎ ‎∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+ (|BF1|+|BF2|)=16.故选B.‎ 答案:B ‎4.方程-=1所表示的曲线是(  )‎ A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线 解析:∵<2<,∴sin 2>0,cos 2<0‎ 且|sin 2|>|cos 2|,∴sin 2+cos 2>0,‎ cos 2-sin 2<0且sin 2-cos 2>sin 2+cos 2,故表示焦点在y轴上的椭圆.‎ 5‎ 答案:B ‎5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为(  )‎ A. B. C. D. 解析:由·=0,得MF1⊥MF2,可设||=m,||=n,在△F1MF2中,由m2+n2=‎4c2得(m+n)2-2mn=‎4c2,根据椭圆的定义有m+n=‎2a,所以2mn=‎4a2-‎4c2,故mn=2b2,即mn=2,∴S△F1MF2=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F‎1F2|×h=1,又|F‎1F2|=2,故h=,故选C.‎ 答案:C ‎6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2)且a=2b,则椭圆的标准方程为________.‎ 解析:由c=2,a=2b,a2=b2+c2,∴3b2=12,b2=4,a2=16,‎ ‎∴标准方程为+=1.‎ 答案:+=1‎ ‎7.已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F‎1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项.该椭圆的方程是________.‎ 解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,c=2,|F‎1F2|=4,‎ 由于|F‎1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2|F‎1F2|=8,∴a=4,b2=a2-c2=42-22=12,‎ 故椭圆的方程为+=1.‎ 答案:+=1‎ ‎8.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF‎1F2的面积为________.‎ 解析:如图所示,‎ ‎|F‎1F2|=2,‎ ‎|AF1|+|AF2|=6,‎ 5‎ 由|AF1|+|AF2|=6,‎ 得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=36.‎ 又在△AF‎1F2中,‎ ‎|AF1|2+|AF2|2-|F‎1F2|2=2|AF1||AF2|cos 45°,‎ ‎∴36-2|AF1||AF2|-8=|AF1||AF2|,‎ ‎∴|AF1||AF2|==14(2-).‎ ‎∴S△AF‎1F2=|AF1||AF2|sin 45°‎ ‎=×14(2-)×=7(-1).‎ 答案:7(-1)‎ ‎9.已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆左、右焦点,若PF1⊥PF2,试求:‎ ‎(1)椭圆方程;‎ ‎(2)△PF‎1F2的面积.‎ 解析:(1)由PF1⊥PF2,可得|OP|=c,得c=5.‎ 设椭圆方程为+=1,代入P(3,4),‎ 得+=1,解得a2=45.‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)S△PF‎1F2=|F‎1F2||yP|=5×4=20.‎ ‎10.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.‎ 解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示.‎ 由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0),c=4.‎ 由|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和‎2a=10,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(  )‎ 5‎ A.m<2 B.15-k>0,即4b>c,A,C的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程.‎ 解析:由已知得b=2,又a,b,c成等差数列,‎ ‎∴a+c=2b=4,即|AB|+|BC|=4,‎ ‎∴点B到定点A,C的距离之和为定值4,由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分,其中a′=2,c′=1.‎ ‎∴b′2=3.‎ 又a>b>c,‎ ‎∴顶点B的轨迹方程为+=1(-26=|C‎1C2|,‎ 由椭圆的定义知C点的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为6的椭圆,其轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则=,=.‎ 由=5可得=5,‎ 所以x1=5x2,y 1=5y2-×5+=5y2-18, ③‎ 由P,Q是椭圆C上的两点,得 由④、⑤得y2=3,‎ 将y2=3代入③,得y1=-3,‎ 将y2=3代入④,得x2=0,所以x1=0,‎ 5‎ 所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.‎ 5‎