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- 2021-07-01 发布
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2.2.1 椭圆及其标准方程
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,则M到另一个焦点F2的距离为( )
A.3 B.6
C.8 D.以上都不对
解析:由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=10,
∴|MF2|=10-2=8,故选C.
答案:C
2.(2015·高考广东卷)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.9
解析:由左焦点为F1(-4,0)知c=4,又a=5,∴25-m2=16,解得m=3或-3,又m>0,故m=3.
答案:B
3.椭圆+=1的左、右焦点为F1、F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为( )
A.32 B.16
C.8 D.4
解析:∵|AF1|+|AF2|=8,|BF1|+|BF2|=8.
又∵|AF1|+|BF1|=|AB|,
∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+ (|BF1|+|BF2|)=16.故选B.
答案:B
4.方程-=1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
解析:∵<2<,∴sin 2>0,cos 2<0
且|sin 2|>|cos 2|,∴sin 2+cos 2>0,
cos 2-sin 2<0且sin 2-cos 2>sin 2+cos 2,故表示焦点在y轴上的椭圆.
5
答案:B
5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( )
A. B.
C. D.
解析:由·=0,得MF1⊥MF2,可设||=m,||=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,∴S△F1MF2=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=,故选C.
答案:C
6.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,-2)且a=2b,则椭圆的标准方程为________.
解析:由c=2,a=2b,a2=b2+c2,∴3b2=12,b2=4,a2=16,
∴标准方程为+=1.
答案:+=1
7.已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项.该椭圆的方程是________.
解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,c=2,|F1F2|=4,
由于|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,
∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,∴a=4,b2=a2-c2=42-22=12,
故椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
8.若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF1F2的面积为________.
解析:如图所示,
|F1F2|=2,
|AF1|+|AF2|=6,
5
由|AF1|+|AF2|=6,
得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=36.
又在△AF1F2中,
|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=2|AF1||AF2|cos 45°,
∴36-2|AF1||AF2|-8=|AF1||AF2|,
∴|AF1||AF2|==14(2-).
∴S△AF1F2=|AF1||AF2|sin 45°
=×14(2-)×=7(-1).
答案:7(-1)
9.已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆左、右焦点,若PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆方程;
(2)△PF1F2的面积.
解析:(1)由PF1⊥PF2,可得|OP|=c,得c=5.
设椭圆方程为+=1,代入P(3,4),
得+=1,解得a2=45.
∴椭圆方程为+=1.
(2)S△PF1F2=|F1F2||yP|=5×4=20.
10.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0),c=4.
由|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).
[B组 能力提升]
1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
5
A.m<2 B.15-k>0,即4b>c,A,C的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程.
解析:由已知得b=2,又a,b,c成等差数列,
∴a+c=2b=4,即|AB|+|BC|=4,
∴点B到定点A,C的距离之和为定值4,由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分,其中a′=2,c′=1.
∴b′2=3.
又a>b>c,
∴顶点B的轨迹方程为+=1(-26=|C1C2|,
由椭圆的定义知C点的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为6的椭圆,其轨迹方程为+=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则=,=.
由=5可得=5,
所以x1=5x2,y 1=5y2-×5+=5y2-18, ③
由P,Q是椭圆C上的两点,得
由④、⑤得y2=3,
将y2=3代入③,得y1=-3,
将y2=3代入④,得x2=0,所以x1=0,
5
所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.
5
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