【数学】2020届一轮复习北师大版正态分布课时作业 5页

‎1.已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于(　　)‎ A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4‎ 答案　A 解析　因为P(X＞2)＋P(0≤X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X＜－2)＝1，P(X＞2)＝P(X＜－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X＞2)＝[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1.‎ ‎2．设随机变量X～N(1,22)，则D等于(　　)‎ A．4 B．2 C. D．1‎ 答案　D 解析　因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.‎ 知识点三 正态分布的应用 ‎3.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间(　　)‎ A．(90,110]内 B．(95,125]内 C．(100,120]内 D．(105,115]内 答案　C 解析　＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．‎ ‎6．某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成绩在70～90分的约有________人．‎ 答案　33‎ 解析　依题意，得μ＝80，σ＝10，‎ 所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，‎ 所以48×0.6826≈33(人)．‎ 即该班约有33人的成绩在70～90分．‎ 一、选择题 ‎1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为(　　)‎ A．1 B．－1 C．0 D．不确定 答案　C 解析　均值即为其对称轴，∴μ＝0.‎ ‎3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于(　　)‎ A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84‎ 答案　A 解析　由X～N(2，σ2)，‎ 得正态曲线的对称轴为直线x＝2，‎ 如图所示，‎ 可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.‎ ‎4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　)‎ A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975‎ 答案　C 解析　ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.‎ ‎5．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为(　　)‎ A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案　C 解析　∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.‎ ‎∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，‎ ‎∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．‎ 二、填空题 ‎6．设ξ～N(1,4)，那么P(3＜ξ＜5)＝________.‎ 答案　0.1359‎ 解析　因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，‎ P(3＜ξ＜5)＝P(－3＜ξ＜－1)，‎ 则P(3＜ξ＜5)＝[P(－3＜ξ＜5)－P(－1≤ξ≤3)]‎ ‎＝[P(1－4＜ξ＜1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]‎ ‎＝[P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]‎ ‎＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.‎ ‎7．若随机变量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a，a∈(0,0.5)，则ξ在(－∞，15)上的概率等于______．‎ 答案　＋a 解析　P(10<ξ<15)＝a，故P(－∞<ξ≤5)＝(1－2a)＝－a，所以ξ在(－∞，15)的概率等于－a＋a＋a＝＋a.‎ ‎8．某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．‎ 答案　 解析　由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1000,502)，‎ 则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为，‎ 则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1－×＝，‎ 故该部件使用寿命超过1000小时的概率为×＝.‎ 三、解答题 ‎9．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100)．‎ ‎(1)试求考试成绩X位于区间(70,110]内的概率是多少？‎ ‎(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？‎ 解　∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.‎ ‎(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.9544，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率就是0.9544.‎ ‎(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.‎ 由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.6826，所以考试成绩X位于区间(80,100]内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．‎ ‎10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)‎ 解　由题意X～N(0,22)‎ 求得P(|X|≤4)＝P(－4≤x≤4)＝0.9544‎ 设Y表示5件产品中合格品个数，‎ 则Y～B(5,0.9544)，‎ 所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)‎ ‎＝C·(0.9544)4×0.0456＋C·(0.9544)5≈0.1892＋0.7919≈0.981.‎ 故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.‎