高考数学专题复习练习：考点规范练23 7页

考点规范练23　解三角形 ‎　考点规范练A册第16页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2016东北三省四市二模)在△ABC中,c=‎3‎,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.π‎4‎ B.π C.2π D.4π 答案B 解析在△ABC中,c=‎3‎,A=75°,B=45°,‎ 故C=180°-A-B=60°.‎ 设△ABC的外接圆半径为R,‎ 则由正弦定理可得2R=csinC‎=‎‎3‎‎3‎‎2‎,解得R=1,‎ 故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.‎ ‎2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cos B=(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎4‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案B 解析在△ABC中,a,b,c成等比数列,且c=2a,则b=‎2‎a,‎ cos B=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac‎=a‎2‎‎+4a‎2‎-2‎a‎2‎‎4‎a‎2‎=‎‎3‎‎4‎.故选B.‎ ‎3.(2016全国丙卷,文9)在△ABC中,B=π‎4‎,BC边上的高等于‎1‎‎3‎BC,则sin A=(　　)‎ A.‎3‎‎10‎ B.‎10‎‎10‎ C.‎5‎‎5‎ D.‎3‎‎10‎‎10‎〚导学号74920243〛‎ 答案D 解析(方法一)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎ 则由题意得,S△ABC=‎1‎‎2‎a·‎1‎‎3‎a=‎1‎‎2‎acsin B,即c=‎2‎‎3‎a.‎ 由正弦定理,得sin C=‎2‎‎3‎sin A.‎ ‎∵C=‎3π‎4‎-A,∴sin C=sin‎3π‎4‎‎-A‎=‎‎2‎‎3‎sin A,‎ 即‎2‎‎2‎cos A+‎2‎‎2‎sin A=‎2‎‎3‎sin A,整理得sin A=-3cos A.‎ ‎∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+‎1‎‎9‎sin2A=1,‎ 即sin2A=‎9‎‎10‎,解得sin A=‎3‎‎10‎‎10‎(排除负值).故选D.‎ ‎(方法二)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎ 则由题意得S△ABC=‎1‎‎2‎a·a‎3‎‎=‎‎1‎‎2‎acsin B,∴c=‎2‎‎3‎a.‎ ‎∴b2=a2+‎2‎‎3‎a‎2‎-2a·‎2‎a‎3‎‎·‎2‎‎2‎=‎‎5‎a‎2‎‎9‎,即b=‎5‎a‎3‎.‎ 由正弦定理asinA‎=‎bsinB得,sin A=asinBb‎=a×‎‎2‎‎2‎‎5‎a‎3‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎.故选D.‎ ‎4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ 答案B 解析依题意可得AD=20‎10‎ m,AC=30‎5‎ m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC‎2‎+AD‎2‎-CD‎2‎‎2AC·AD‎=‎(30‎5‎‎)‎‎2‎+(20‎10‎‎)‎‎2‎-5‎‎0‎‎2‎‎2×30‎5‎×20‎‎10‎=‎6 000‎‎6 000‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎5.(2016山西朔州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若‎2a-cb‎=‎cosCcosB,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)‎ A.4‎3‎ B.2‎3‎ C.2 D.‎3‎〚导学号74920245〛‎ 答案A 解析∵在△ABC中,‎2a-cb‎=‎cosCcosB,‎ ‎∴(2a-c)cos B=bcos C.‎ ‎∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C.‎ ‎∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A.‎ ‎∴cos B=‎1‎‎2‎,即B=π‎3‎.‎ 由余弦定理可得16=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,‎ 因此,△ABC的面积S=‎1‎‎2‎acsin B=‎3‎‎4‎ac≤4‎3‎,故选A.‎ ‎6.在△ABC中,若三边长a,b,c满足a3+b3=c3,则△ABC的形状为(　　)‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能〚导学号74920246〛‎ 答案A 解析由题意可知c>a,c>b,即角C最大,‎ 所以a3+b3=a·a2+b·b20,‎ 则00),则a=3t,‎ 于是c2=a2+‎8‎‎5‎b2=9t2+‎8‎‎5‎·25t2=49t2,即c=7t.‎ 由余弦定理得cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab‎=‎‎9t‎2‎+25t‎2‎-49‎t‎2‎‎2·3t·5t=-‎1‎‎2‎.‎ 故C=‎2π‎3‎.〚导学号74920253〛‎