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- 2021-07-01 发布
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课时作业46 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( D )
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交
解析:因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α无公共点,所以直线a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
2.(2020·福州质检)下列说法中,错误的是( D )
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交
B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.若直线l与平面α平行,则过平面α内一点和直线l平行的直线在α内
D.若直线l不平行于平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线
解析:如果已知直线与另一个平面不相交,则有两种情形:直线在平面内或与平面平行,不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交,出现矛盾,即A中说法正确;选项B是两个平面平行的一种判定方法,即B中说法正确;由线面平行的性质定理知C中说法正确;选项D中说法是错误的,事实上,直线l不平行于平面α,可能有l⊂α,则α内有无数条直线与l平行.故选D.
3.(2019·全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( B )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
解析:对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.
4.已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线.给出下列命题:①若l上两点到α的距离相等,则l∥α;②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;③若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是( D )
A.①② B.①②③
C.①③ D.②③
解析:对于①,若直线l在平面α内,l上有两点到α的距离为0,相等,此时l不与α平行,所以①错误;对于②,因为l∥β,所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所以m
8
⊥α,又m⊂β,所以β⊥α,所以②正确;对于③,l∥α,故存在m⊂α,使得l∥m,因为α∥β,所以m∥β,因为l∥m,l⊄β,所以l∥β,③正确.故选D.
5.在如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( B )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
解析:在三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1.
∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC,
又∵A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1,∴DE∥AB,故选B.
6.若平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( D )
A.AB∥CD B.AD∥CB
C.AB与CD相交 D.A,B,C,D四点共面
解析:由平面α∥平面β知,直线AC与BD无公共点,则直线AC∥直线BD的充要条件是A,B,C,D四点共面,故选D.
7.如图,L,M,N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是( C )
A.垂直
8
B.相交不垂直
C.平行
D.重合
解析:如图,分别取另三条棱的中点A,B,C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ∥AL,PR∥AM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR.
8.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为( B )
A.16 B.24或
C.14 D.20
解析:设BD=x,由α∥β⇒AB∥CD⇒△PAB∽△PCD⇒=.(1)当点P在两平面之间时,如图①,则有=,∴x=24;(2)当点P在两平面外侧时,如图②,则有=,∴x=.故选B.
二、填空题
9.如图,四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为平行.
8
解析:取PD的中点F,连接EF,AF.
在△PCD中,EF=CD且EF∥CD.
又∵AB∥CD且CD=2AB,∴EF綊AB,
∴四边形ABEF是平行四边形,∴EB∥AF.
又∵EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.
10.如图是长方体被一平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为平行四边形.
解析:∵平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,∴EF∥HG.同理,EH∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.
11.(2020·豫北名校联考)在斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点,若平面BC1D∥平面AB1D1,则=1.
解析:如图所示,连接A1B,与AB1交于点O,连接OD1,∵平面BC1D∥平面AB1D1,平面BC1D∩平面A1BC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,∴BC1∥D1O,
8
∴=,同理AD1∥DC1,
∴=,∴=,
又∵=1,∴=1,即=1.
12.(2020·河南安阳模拟)如图所示,在长方体ABCD
A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1.一平面截该长方体,所得截面为OPQRST,其中O,P分别为AD,CD的中点,B1S=,则AT=.
解析:设AT=x,A1T=y,则x+y=1.由题意易知该截面六边形的对边分别平行,即OP∥SR,OT∥QR,PQ∥TS,则△DOP∽△B1SR.又因为DP=DO=1,所以B1S=B1R=,所以A1S=C1R=.由△ATO∽△C1QR,可得=,所以C1Q=x.由△A1TS∽△CQP,可得=,所以CQ=y,所以x+y=x+y=1,可得x=,y=,所以AT=.
三、解答题
13.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点.求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明:(1)如图,取B1D1的中点O,
8
连接GO,OB,因为OG綊B1C1,BE綊B1C1,所以BE綊OG,所以四边形BEGO为平行四边形,故OB∥EG,
因为OB⊂平面BB1D1D,EG⊄平面BB1D1D,
所以EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1.连接HB,D1F,因为BH綊D1F,
所以四边形HBFD1是平行四边形,故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
14.(2020·南昌摸底)如图,在四棱锥PABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.
(1)求证:平面CMN∥平面PAB;
(2)求三棱锥PABM的体积.
解:(1)证明:∵M,N分别为PD,AD的中点,∴MN∥PA,
又MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.
又∠BAC=60°,∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.
8
(2)由(1)知,平面CMN∥平面PAB,
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.
∵AB=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴BC=,
∴三棱锥PABM的体积V=VMPAB=VCPAB=VPABC=××1××2=.
15.(2020·郑州预测)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形,AB⊥AC,点M,N分别是边AB1,A1C上的动点,若直线MN∥平面BCC1B1,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹为( C )
A.双曲线的一支(一部分) B.圆弧(一部分)
C.线段(去掉一个端点) D.抛物线的一部分
解析:如图,分别取AA1,B1C的中点E,F,任意作一个与平面BCC1B1平行的平面α与AB1,A1C分别交于M,N,则MN∥平面BCC1B1.由题意知△ABC为等腰直角三角形,AB⊥AC,则侧面AA1B1B与侧面AA1C1C是两个全等的矩形,且这两个侧面关于过棱AA1与平面BCC1B1垂直的平面是对称的,因此EF必过MN的中点Q,故点Q的轨迹为线段EF,但需去掉端点F,故选C.
16.(2020·南昌一模)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AC与BD相交于点O,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=AP=3,三棱锥PACD的体积为9.
8
(1)求AD的值;
(2)过O点的平面α平行于平面PAB,平面α与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H,求截面EFGH的周长.
解:(1)因为在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,
四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=AP=3.
所以VPACD=×·AP==9,
解得AD=6.
(2)因为α∥平面PAB,平面α∩平面ABCD=EF,O∈EF,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB,同理EH∥BP,FG∥AP.
因为BC∥AD,AD=6,BC=3,
所以△BOC∽△DOA,且==,
所以=,CE=CB=1,BE=AF=2,
同理===,所以EH=PB=.
同理,FG=PA=2.连接HO,则有HO∥PA,
所以HO⊥EO,HO=1,
过点H作HN∥EF交FG于N,
则GH==,
所以截面EFGH的周长为3+2++=5++.
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