高中数学必修1教案第一章 1_2_2 第1课时函数的表示法 9页

‎1.2.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 ‎[学习目标]　1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)．‎ ‎3．函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．‎ ‎[预习导引]‎ 函数的表示法 要点一　待定系数法求函数解析式 例1　 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．‎ 解　 (1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)，‎ 则f(3)＝＝－6，解得k＝－18，故f(x)＝－.‎ ‎(2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3，‎ ‎∴解得∴f(x)＝2x－1.‎ ‎∴f(3)＝2×3－1＝5.‎ 规律方法　待定系数法求函数解析式的步骤如下：‎ ‎(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．‎ ‎(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．‎ ‎(4)将所求待定系数的值代回原式．‎ 跟踪演练1　已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式．‎ 解　设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得故f(x)＝x2＋1.‎ 要点二　换元法(或配凑法)求函数解析式 例2　求下列函数的解析式：‎ ‎(1)已知f＝＋，求f(x)；‎ ‎(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．‎ 解　(1)方法一　(换元法)令t＝＝＋1，‎ 则t≠1.把x＝代入f＝＋，得 f(t)＝＋ ‎＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.‎ ‎∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．‎ 方法二　(配凑法)∵f＝＋＝2－＝2－＋1，‎ ‎∴f(x)＝x2－x＋1.‎ 又∵＝＋1≠1，‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．‎ ‎(2)方法一　(换元法)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，‎ ‎∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.‎ ‎∴f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ 方法二　(配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，‎ ‎∴f(＋1)＝(＋1)2－1.‎ 又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ 规律方法　1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法．所谓换元法，即将“＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况．‎ ‎2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2”变成含有“＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求．‎ 跟踪演练2　已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.‎ 答案　x2－4x＋3 ‎ 解析　方法一　(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.‎ 方法二　(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.‎ 要点三　作函数的图象 例3　 作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝x＋1(x∈Z)；‎ ‎(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．‎ 解　 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．‎ ‎(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示．‎ 规律方法　1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．‎ ‎2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．‎ 跟踪演练3　画出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝x＋1(x≤0)；‎ ‎(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1)．‎ 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．‎ ‎(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．‎ ‎1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)‎ x ‎1≤x＜2‎ ‎2‎ ‎2＜x≤4‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ A.1 B．2 C．3 D．不存在 答案　C 解析　由表可知f(3)＝3.‎ ‎2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)‎ A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 答案　C 解析　设y＝，由1＝得，k＝2.‎ 因此，y关于x的函数关系式为y＝.‎ ‎3．若f(x＋2)＝2x＋3，f(3)的值是(　　)‎ A．9 B．7 C．5 D．3‎ 答案　C 解析　令x＋2＝3，则x＝1，∴f(3)＝2×1＋3＝5.‎ ‎4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝x2－1‎ B．f(x)＝－(x－1)2＋1‎ C．f(x)＝(x－1)2＋1‎ D．f(x)＝(x－1)2－1‎ 答案　D 解析　由二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，可排除A、B；又图象过点(0,0)，可排除C；D项符合题意．‎ ‎5．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________．‎ 答案　2‎ 解析　由函数f(x)图象，知f(1)＝2，f(3)＝1，‎ ‎∴f＝f(1)＝2.‎ ‎1.函数三种表示法的优缺点 ‎2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．‎ ‎3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．‎ 一、基础达标 ‎1．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于(　　)‎ A．3x＋2 B．3x－2‎ C．2x＋3 D．2x－3‎ 答案　B 解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，‎ ‎∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，‎ ‎∴∴ ‎∴f(x)＝3x－2.‎ ‎2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)‎ 答案　C 解析　距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.‎ ‎3．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝x2＋2x＋1‎ B．f(x)＝x2－2x＋1‎ C．f(x)＝x2＋2x－1‎ D．f(x)＝x2－2x－1‎ 答案　A 解析　令x－1＝t，则x＝t＋1，‎ ‎∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，‎ ‎∴f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎4．等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则(　　)‎ A．y＝10－x(0