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2013年陕西省高考数学试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)设全集为R,函数的定义域为M,则∁RM为( )
A.[﹣1,1] B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
2.(5分)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为( )
A.25 B.30 C.31 D.61
3.(5分)设,为向量,则|•|=||||是“∥”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(5分)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
5.(5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )
A. B. C. D.
6.(5分)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1﹣z2|=0,则= B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1•=z2• D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
7.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
8.(5分)设函数f(x)=,则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )
A.﹣20 B.20 C.﹣15 D.15
9.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是( )
A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]
10.(5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( )
A.[﹣x]=﹣[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x﹣y]≤[x]﹣[y]
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)双曲线﹣=1的离心率为,则m等于 .
12.(5分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为 .
13.(5分)若点(x,y)位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域,则2x﹣y的最小值为 .
14.(5分)观察下列等式:
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律,第n个等式可为 .
选做题:(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)
15.(5分)(不等式选做题)
已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .
16.(几何证明选做题)
如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= .
17.(坐标系与参数方程选做题)
如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分)
18.(12分)已知向量=(cosx,﹣),=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.
19.(12分)设{an}是公比为q的等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
20.(12分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.
(Ⅰ) 证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
21.(12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.
22.(13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(﹣1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线过定点.
23.(14分)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数g(x)=lnx的图象相切,求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0,讨论曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b,比较与的大小,并说明理由.
2013年陕西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)设全集为R,函数的定义域为M,则∁RM为( )
A.[﹣1,1] B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
【分析】求出函数f(x)的定义域得到集合M,然后直接利用补集概念求解.
【解答】解:由1﹣x2≥0,得﹣1≤x≤1,即M=[﹣1,1],又全集为R,
所以∁RM=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
故选:C.
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了补集及其运算,是基础题.
2.(5分)根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为( )
A.25 B.30 C.31 D.61
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值.
当x=60时,则y=25+0.6(60﹣50)=31,
故选:C.
【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
3.(5分)设,为向量,则|•|=||||是“∥”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】利用向量的数量积公式得到 •=,根据此公式再看与之间能否互相推出,利用充要条件的有关定义得到结论.
【解答】解:∵•=,
若a,b为零向量,显然成立;
若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角,即,故充分性成立.
而,则与的夹角为为零角或平角,有 .
因此是的充分必要条件.
故选:C.
【点评】本题考查平行向量与共线向量,以及充要条件,属基础题.
4.(5分)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【分析】根据系统抽样方法,从840人中抽取42人,那么从20人抽取1人.从而得出从编号481~720共240人中抽取的人数即可.
【解答】解:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人.
所以从编号1~480的人中,恰好抽取=24人,接着从编号481~720共240人中抽取=12人.
故选:B.
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于基础题.
5.(5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】根据题意,算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为,结合矩形ABCD的面积为2,可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣,再用几何概型计算公式即可算出所求的概率.
【解答】解:∵扇形ADE的半径为1,圆心角等于90°
∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=
同理可得,扇形CBF的在,面积S2=
又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2
∴在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是
P===1﹣
故选:A.
【点评】本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号,求在区域内随机找一点,在该点处没有信号的概率,着重考查了几何概型及其计算方法的知识,属于基础题.
6.(5分)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1﹣z2|=0,则= B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1•=z2• D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系,两个复数与它们共轭复数的关系,要判断每一个命题的真假,只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案.
【解答】解:对(A),若|z1﹣z2|=0,则z1﹣z2=0,z1=z2,所以为真;
对(B)若,则z1和z2互为共轭复数,所以为真;
对(C)设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,若|z1|=|z2|,则,
,所以为真;
对(D)若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|为真,而,所以为假.
故选:D.
【点评】本题考查了复数的模,考查了复数及其共轭复数的关系,解答的关键是熟悉课本基本概念,是基本的概念题.
7.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,可得A=,由此可得△ABC的形状.
【解答】解:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
即 sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,
故选:B.
【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.
8.(5分)设函数f(x)=,则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )
A.﹣20 B.20 C.﹣15 D.15
【分析】依题意,可求得f[f(x)]=,利用二项展开式的通项公式即可求得f[f(x)]表达式的展开式中常数项.
【解答】解:当x>0时,f[f(x)]==的展开式中,常数项为:=﹣20.
故选:A.
【点评】本题考查二项式系数的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
9.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是( )
A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]
【分析】设矩形的高为y,由三角形相似可得,且40>x>0,40>y>0,xy≥300,再由,得y=40﹣x,代入xy≥300得到关于x的二次不等式,解此不等式即可得出答案.
【解答】解:设矩形的高为y,由三角形相似得:
,且40>x>0,40>y>0,xy≥300,
由,得y=40﹣x,
∴x(40﹣x)≥300,
解得10≤x≤30.
故选:C.
【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识,属于综合类题目.
10.(5分)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( )
A.[﹣x]=﹣[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x﹣y]≤[x]﹣[y]
【分析】本题考查的是取整函数问题.在解答时要先充分理解[x]的含义,从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可,注意反例的应用.
【解答】解:对A,设x=﹣1.8,则[﹣x]=1,﹣[x]=2,所以A选项为假.
对B,设x=﹣1.4,[2x]=[﹣2.8]=﹣3,2[x]=﹣4,所以B选项为假.
对C,设x=y=1.8,对A,[x+y]=[3.6]=3,[x]+[y]=2,所以C选项为假.
故D选项为真.
故选:D.
【点评】本题考查了取整函数的性质,是一道竞赛的题目,难度不大.
二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)双曲线﹣=1的离心率为,则m等于 9 .
【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出.
【解答】解:∵双曲线可得a2=16,b2=m,
又离心率为,则,
解得m=9.
故答案为9.
【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键.
12.(5分)某几何体的三视图如图所示,则其体积为 .
【分析】利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.
【解答】解:几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体,底面是半径为1的半圆,高为2.
所以体积.
故答案为:.
【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系,几何体体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.
13.(5分)若点(x,y)位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域,则2x﹣y的最小值为 ﹣4 .
【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D,再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可.
【解答】解:如图,封闭区域为三角形.
令|x﹣1|=2,解得x1=﹣1,x2=3,
所以三角形三个顶点坐标分别为(1,0,),(﹣1,2),(3,2),
把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z,则直线经过点(﹣1,2)时z取得最小值;
所以zmin=2×(﹣1)﹣2=﹣4,
故2x﹣y在点(﹣1,2)取最小值﹣4.
故答案为:﹣4.
【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值.属于基础题.
14.(5分)观察下列等式:
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律,第n个等式可为 .
【分析】等式的左边是正整数的平方和或差,根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…(﹣1)n﹣1n2.再分n为奇数和偶数讨论,结合分组求和法求和,最后利用字母表示即可.
【解答】解:观察下列等式:
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
分n为奇数和偶数讨论:
第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…(﹣1)n﹣1n2.
当n为偶数时,分组求和(12﹣22)+(32﹣42)+…+[(n﹣1)2﹣n2]=﹣,
当n为奇数时,第n个等式左边=(12﹣22)+(32﹣42)+…+[(n﹣2)2﹣(n﹣1)2]+n2=﹣+n2=.
综上,第n个等式为.
故答案为:.
【点评】
本题考查规律型中的数字变化问题,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规律,还要注意看左右两边之间的联系.
选做题:(考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)
15.(5分)(不等式选做题)
已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 2 .
【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d∈R 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2其中等号当且仅当时成立,即可求出(am+bn)(bm+an)的最小值.
【解答】解:根据二维形式的柯西不等式的代数形式:
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
可得(am+bn)(bm+an)≥(+)2
=mn(a+b)2
=2×1=2,当且仅当即m=n时,取得最小值2.
故答案为:2.
【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识,属于基础题.
16.(几何证明选做题)
如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= .
【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE,列出比例关系,即可求解PE的值.
【解答】解:因为BC∥PE,∴∠BCD=∠PED,
且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD,
⇒△EPD∽△APE,∵PD=2DA=2
⇒
⇒PE2=PA•PD=3×2=6,
∴PE=.
故答案为:.
【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用,考查计算能力.
17.(坐标系与参数方程选做题)
如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为 ,θ∈R,且θ≠ .
【分析】将圆的方程化为标准方程,找出圆心与半径,利用三角函数定义表示出OP,进而表示出x与y,即为圆的参数方程.
【解答】解:将圆方程化为(x﹣)2+y2=,可得半径r=,
∴OP=2r•cosθ=cosθ,
∴x=OP•cosθ=cos2θ,y=OP•sinθ=sinθcosθ,
则圆的参数方程为,θ∈R,且θ≠.
故答案为:,θ∈R,且θ≠
【点评】此题考查了圆的参数方程,涉及的知识有:圆的标准方程,锐角三角函数定义,以及解直角三角形,弄清题意是解本题的关键.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分)
18.(12分)已知向量=(cosx,﹣),=(sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=.
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f(x)在[0,]上的最大值和最小值.
【分析】(Ⅰ)通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过周期公式,求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 通过x在[0,],求出f(x)的相位的范围,利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)==(cosx,﹣)•(sinx,cos2x)
=sinxcosx
=sin(2x﹣)
最小正周期为:T==π.
(Ⅱ)当x∈[0,]时,2x﹣∈,
由正弦函数y=sinx在的性质可知,sinx,
∴sin(2x﹣),
∴f(x)∈[﹣,1],
所以函数f (x)在[0,]上的最大值和最小值分别为:1,﹣.
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数,二倍角公式的应用,三角函数的值域的应用,考查计算能力.
19.(12分)设{an}是公比为q的等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
【分析】(I)分q=1与q≠1两种情况讨论,当q≠1,0时,利用错位相减法即可得出;
(II)分①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,显然不成立;②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,使用反证法即可证明.
【解答】解:(I)当q=1时,Sn=na1;
当q≠0,1时,由Sn=a1+a2+…+an,
得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq.
两式错位相减得(1﹣q)Sn=a1+(a2﹣a1q)+…+(an﹣an﹣1q)﹣anq,(*)
由等比数列的定义可得,
∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0.
∴(*)化为(1﹣q)Sn=a1﹣anq,
∴.
∴;
(Ⅱ)用反证法:设{an}是公比为q≠1的等比数列,数列{an+1}是等比数列.
①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,数列{an+1}不是等比数列.
②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,则==,
化为(qn﹣1﹣1)(q﹣1)=0,
∵q≠1,∴q﹣1≠0,qn﹣1﹣1≠0,故矛盾.
综上两种情况:假设不成立,故原结论成立.
【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法,需要较强的推理能力和计算能力.
20.(12分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1
的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.
(Ⅰ) 证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
【分析】(Ⅰ)要证明A1C⊥平面BB1D1D,只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可,由已知可证出A1C⊥BD,取B1D1的中点为E1,通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O.由线面垂直的判定定理问题得证.
(Ⅱ)以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,Z轴建立空间直角坐标系,然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量,利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
【解答】(Ⅰ)证明:∵A1O⊥面ABCD,且BD⊂面ABCD,∴A1O⊥BD;
又∵在正方形ABCD中,AC⊥BD,A1O∩AC=O,
∴BD⊥面A1AC,且A1C⊂面A1AC,故A1C⊥BD.
在正方形ABCD中,∵,∴AO=1,
在Rt△A1OA中,∵,∴A1O=1.
设B1D1的中点为E1,则四边形A1OCE1为正方形,∴A1C⊥E1O.
又BD⊂面BB1D1D,且E10⊂面BB1D1D,且BD∩E1O=O,
∴A1C⊥面BB1D1D;
(Ⅱ)解:以O为原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,Z轴建立如图所示空间直角坐标系,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,1,1),
.
由(Ⅰ)知,平面BB1D1D的一个法向量,
,.
设平面OCB1的法向量为,
由,得,取z=﹣1,得x=1.
∴.
则=.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为.
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角,解答的关键是建立正确的空间右手系,是中档题.
21.(12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.
【分析】(I)设事件A表示:“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=
,利用互斥事件的概率公式,即可求得结论;
(II)由题意,X可取0,1,2,3,求出相应的概率,即可得到X的分布列与数学期望.
【解答】解:(Ⅰ)设事件A表示:“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,
∴P(A)=,
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X可取0,1,2,3.
观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为,
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X=0,P(X=0)=(1﹣)(1﹣)2=,
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时,这时X=1,
P(X=1)=(1﹣)2+(1﹣)(1﹣)+(1﹣)(1﹣)=,
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时,这时X=2,
P(X=2)=•(1﹣)+(1﹣)•+(1﹣)=,
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时,这时X=3,
P(X=3)=•()2=,
X的分布列如下:
X
0
1
2
3
P
∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=.
【点评】本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键是确定变量的取值,求出相应的概率.
22.(13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(﹣1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线过定点.
【分析】(Ⅰ)设圆心C(x,y),过点C作CE⊥y 轴,垂足为E,利用垂径定理可得|ME|=|MN|,
又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,利用两点间的距离公式即可得出.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知y1+y2≠0,y1y2<0.,.利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB,可化为化为8+y1y2=0.又直线PQ的方程为,代入化简整理为y(y1+y2)+8=8x,令y=0,则x=1即可得到定点.
【解答】解:(Ⅰ)设圆心C(x,y)(x≠0),过点C作CE⊥y 轴,垂足为E,则|ME|=|MN|,
∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,
∴(x﹣4)2+y2=42+x2,化为y2=8x.
当x=0时,也满足上式.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由题意可知y1+y2≠0,y1y2<0.,.
∵x轴是∠PBQ的角平分线,∴kPB=﹣kQB,
∴,∴,化为8+y1y2=0.
直线PQ的方程为,
∴,化为,
化为,
y(y1+y2)+8=8x,令y=0,则x=1,
∴直线PQ过 定点(1,0)
【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识,考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力,属于难题.
23.(14分)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数g(x)=lnx的图象相切,求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0,讨论曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b,比较与的大小,并说明理由.
【分析】(I)先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可;
(II)由f(x)=mx2,令h(x)=,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出;
(III)利用作差法得 ===,令g(x)=x+2+(x﹣2)ex
(x>0),利用导数研究其单调性即可证明.
【解答】解:(I)函数f(x)=ex的反函数为g(x)=lnx,∴.
设直线y=kx+1与g(x)的图象相切于点P(x0,y0),则,解得,k=e﹣2,
∴k=e﹣2.
(II)当x>0,m>0时,令f(x)=mx2,化为m=,
令h(x)=,则,
则x∈(0,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
∴当x=2时,h(x)取得极小值即最小值,.
∴当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数为0;
当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数为1;
当时,曲线y=f (x) 与曲线y=mx2(m>0)公共点个数为2.
(Ⅲ) =
=
=,
令g(x)=x+2+(x﹣2)ex(x>0),则g′(x)=1+(x﹣1)ex.
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(x)>g(0)=0.
∵当x>0时,g(x)=x+2+(x﹣2)•ex>0,且a<b,
∴,
即当a<b时,.
【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识,考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法,考查了推理能力和计算能力.
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