2006年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 5页

‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 已知向量a‎→‎、b‎→‎满足‎|a‎→‎|‎＝‎1‎，‎|b‎→‎|‎＝‎4‎，且a‎→‎‎⋅b‎→‎=2‎，则a‎→‎与b‎→‎夹角为（ ）‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎2. 设集合M={x|x‎2‎-x<0}‎，N={x||x|<2}‎，则（ ）‎ A.M∩N=⌀‎ B.M∩N=M C.M∪N=M D.‎M∪N=R ‎3. 已知函数y=‎ex的图象与函数y=f(x)‎的图象关于直线y=x对称，则（ ）‎ A.f(2x)=e‎2x(x∈R)‎ B.‎f(2x)=ln2⋅lnx(x>0)‎ C.f(2x)=2ex(x∈R)‎ D.‎f(2x)=lnx+ln2(x>0)‎ ‎4. 双曲线mx‎2‎+y‎2‎=1‎的虚轴长是实轴长的‎2‎倍，则m=(‎ ‎‎)‎ A.‎-‎‎1‎‎4‎ B.‎-4‎ C.‎4‎ D.‎‎1‎‎4‎ ‎5. 设Sn是等差数列‎{an}‎的前n项和，若S‎7‎‎=35‎，则a‎4‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎8‎ B.‎7‎ C.‎6‎ D.‎‎5‎ ‎6. 函数f(x)=tan(x+π‎4‎)‎的单调增区间为（ ）‎ A.‎(kπ-π‎2‎，kπ+π‎2‎)，k∈Z B.‎(kπ,‎(k+1)π)‎，‎k∈Z C.‎(kπ-‎3π‎4‎，kπ+π‎4‎)，k∈Z D.‎‎(kπ-π‎4‎，kπ+‎3π‎4‎)，k∈Z ‎7. 从圆x‎2‎‎-2x+y‎2‎-2y+1=0‎外一点P(3, 2)‎向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为(        )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎0‎ ‎8. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则cosB=(‎        ‎‎)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎4‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎9. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为‎4‎，体积为‎16‎，则这个球的表面积是(        )‎ A.‎16π B.‎20π C.‎24π D.‎‎32π ‎10. 在‎(x-‎‎1‎‎2x‎)‎‎10‎的展开式中，x‎4‎的系数为（ ）‎ A.‎-120‎ B.‎120‎ C.‎-15‎ D.‎‎15‎ ‎11. 抛物线y＝‎-‎x‎2‎上的点到直线‎4x+3y-8‎＝‎0‎距离的最小值是（ ）‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎4‎‎3‎ C.‎8‎‎5‎ D.‎‎3‎ ‎12. 用长度分别为‎2‎、‎3‎、‎4‎、‎5‎、‎6‎（单位：cm）的‎5‎根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）‎ A.‎8‎5‎cm‎2‎ B.‎6‎10‎cm‎2‎ C.‎3‎55‎cm‎2‎ D.‎‎20cm‎2‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 已知函数f(x)‎＝a-‎‎1‎‎2‎x‎+1‎，若f(x)‎为奇函数，则a＝________‎1‎‎2‎ ．‎ ‎14. 已知正四棱锥的体积为‎12‎，底面对角线长为‎2‎‎6‎，则侧面与底面所成的二面角等于________‎​‎‎∘‎．‎ ‎15. 设z=2y-x，式中变量x、y满足下列条件：‎2x-y≥-1‎‎3x+2y≤23‎y≥1‎，则z的最大值为________．‎ ‎16. 安排‎7‎位工作人员在‎5‎月‎1‎日至‎5‎月‎7‎日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在‎5‎月‎1‎日和‎2‎日．不同的安排方法共有________种（用数字作答）．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 已知‎{an}‎为等比数列，a‎3‎‎=2，a‎2‎+a‎4‎=‎‎20‎‎3‎，求‎{an}‎的通项公式．‎ ‎ 5 / 5‎ ‎18. ‎△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cosB+C‎2‎取得最大值，并求出这个最大值．‎ ‎19. A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由‎4‎只小白鼠组成，其中‎2‎只服用A，另‎2‎只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为‎2‎‎3‎，服用B有效的概率为‎1‎‎2‎．‎ ‎(I)‎求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎(II)‎观察‎3‎个试验组，用ξ表示这‎3‎个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎20. 如图，l‎1‎、l‎2‎是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l‎1‎上，C在l‎2‎上，AM=MB=MN．‎ ‎（1）证明AC⊥NB；‎ ‎（2）若‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，求NB与平面ABC所成角的余弦值．‎ ‎ 5 / 5‎ ‎21. 设P是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎=1(a>1)‎短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求‎|PQ|‎的最大值．‎ ‎22. 设a为实数，函数f(x)=x‎3‎-ax‎2‎+(a‎2‎-1)x在‎(-∞, 0)‎和‎(1, +∞)‎都是增函数，求a的取值范围．‎ ‎ 5 / 5‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.D ‎4.A ‎5.D ‎6.C ‎7.B ‎8.B ‎9.C ‎10.C ‎11.B ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎1‎‎2‎ ‎14.‎‎60‎ ‎15.‎‎11‎ ‎16.‎‎2400‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：设等比数列‎{an}‎的公比为q，则q≠0‎，a‎2‎‎=a‎3‎q=‎‎2‎q，‎a‎4‎‎=a‎3‎q=2q 所以‎2‎q‎+2q=‎‎20‎‎3‎，‎ 解得q‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎，q‎2‎‎=3‎，‎ 当q‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎，a‎1‎‎=18‎．‎ 所以an‎=18×(‎1‎‎3‎‎)‎n-1‎=‎18‎‎3‎n∧‎‎-‎‎1‎=2×‎‎3‎‎3-n．‎ 当q=3‎时，a‎1‎‎=‎‎2‎‎9‎，‎ 所以an‎=‎2‎‎9‎×3n-1=2×‎‎3‎n-3‎．‎ ‎18.‎‎3‎‎2‎ ‎19.解：‎(1)‎设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0‎，‎1‎，‎2‎，‎ Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0‎，‎1‎，‎2‎，‎ 依题意有：P(A‎1‎)=2×‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎=‎‎4‎‎9‎，P(A‎2‎)=‎2‎‎3‎×‎2‎‎3‎=‎‎4‎‎9‎．P(B‎0‎)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎，‎ P(B‎1‎)=2×‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎‎，所求概率为：‎ P=P(B‎0‎⋅A‎1‎)+P(B‎0‎⋅A‎2‎)+P(B‎1‎⋅A‎2‎)‎ ‎=‎1‎‎4‎×‎4‎‎9‎+‎1‎‎4‎×‎4‎‎9‎+‎1‎‎2‎×‎4‎‎9‎=‎‎4‎‎9‎ ‎(II)ξ的可能值为‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎且ξ∼B(3, ‎4‎‎9‎)‎．‎ P(ξ=0)=(‎5‎‎9‎‎)‎‎3‎=‎‎125‎‎729‎‎，‎ P(ξ=1)=C‎3‎‎1‎×‎4‎‎9‎×(‎5‎‎9‎‎)‎‎2‎=‎‎100‎‎243‎‎，‎ P(ξ=2)=C‎3‎‎2‎×(‎4‎‎9‎‎)‎‎2‎×‎5‎‎9‎=‎‎80‎‎243‎‎，‎ P(ξ=3)=(‎4‎‎9‎‎)‎‎3‎=‎‎64‎‎729‎ ‎∴ ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎‎125‎‎729‎ ‎ ‎‎100‎‎243‎ ‎ ‎‎80‎‎243‎ ‎ ‎‎64‎‎729‎ ‎∴ 数学期望Eξ=3×‎4‎‎9‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎20.解：（1）由已知l‎2‎‎⊥MN，l‎2‎‎⊥‎l‎1‎，MN∩l‎1‎=M，可得l‎2‎‎⊥‎平面ABN．‎ 由已知MN⊥‎l‎1‎，AM=MB=MN，‎ 可知AN=NB且AN⊥NB．‎ ‎ 5 / 5‎ 又AN为AC在平面ABN内的射影．‎ ‎∴ ‎AC⊥NB ‎（2）∵ AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，‎ 由中垂线的性质可得AN=BN，‎ ‎∴ Rt△CAN≅Rt△CNB，‎ ‎∴ AC=BC，又已知‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，‎ 因此‎△ABC为正三角形．‎ ‎∵ Rt△ANB≅Rt△CNB，‎ ‎∴ NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，‎ 连接BH，‎∠NBH为NB与平面ABC所成的角．‎ 在Rt△NHB中，cos∠NBH=HBNB=‎3‎‎3‎AB‎2‎‎2‎AB=‎‎6‎‎3‎．‎ ‎21.解：由已知得到P(0, 1)‎或P(0, -1)‎ 由于对称性，不妨取P(0, 1)‎ 设Q(x, y)‎是椭圆上的任一点，‎ 则‎|PQ|=‎x‎2‎‎+(y-1‎‎)‎‎2‎，①‎ 又因为Q在椭圆上，‎ 所以，x‎2‎‎=a‎2‎(1-y‎2‎)‎，‎ ‎|PQ‎|‎‎2‎=a‎2‎(1-y‎2‎)+y‎2‎-2y+1=(1-a‎2‎)y‎2‎-2y+1+‎a‎2‎ ‎=(1-a‎2‎)(y-‎1‎‎1-‎a‎2‎‎)‎‎2‎-‎1‎‎1-‎a‎2‎+1+‎a‎2‎‎．②‎ 因为‎|y|≤1‎，a>1‎，若a≥‎‎2‎，则‎|‎1‎‎1-‎a‎2‎|≤1‎，‎ 所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，‎ 即当‎-1≤‎1‎‎1-‎a‎2‎≤1‎时，‎ 在y=‎‎1‎‎1-‎a‎2‎时，‎|PQ|‎取最大值a‎2‎a‎2‎‎-1‎a‎2‎‎-1‎；‎ 如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．‎ 即当‎1‎‎1-‎a‎2‎‎<-1‎时，则当y=-1‎时，‎|PQ|‎取最大值‎2‎．‎ ‎22.解：f‎'‎‎(x)=3x‎2‎-2ax+(a‎2‎-1)‎，其判别式‎△=4a‎2‎-12a‎2‎+12=12-8‎a‎2‎．‎ ‎(I)‎若‎△=12-8a‎2‎=0‎，即a=±‎‎6‎‎2‎，当x∈(-∞, a‎3‎)‎，或x∈(a‎3‎, +∞)‎时，‎ f‎'‎‎(x)>0‎‎，f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎为增函数．‎ 所以a=±‎‎6‎‎2‎．‎ ‎(II)‎若‎△=12-8a‎2‎<0‎，恒有f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎为增函数，‎ 所以a‎2‎‎>‎‎3‎‎2‎，‎ 即a∈(-∞, -‎6‎‎2‎)∪(‎6‎‎2‎, +∞)‎ ‎(III)‎若‎△12-8a‎2‎>0‎，即‎-‎6‎‎2‎0‎，f(x)‎为增函数；‎ 当x∈(x‎1‎, x‎2‎)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎为减函数．依题意x‎1‎‎≥0‎且x‎2‎‎≤1‎．‎ 由x‎1‎‎≥0‎得a≥‎‎3-2‎a‎2‎，解得‎1≤a<‎‎6‎‎2‎ 由x‎2‎‎≤1‎得‎3-2‎a‎2‎‎≤3-a，解得‎-‎6‎‎2‎