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- 2021-07-01 发布
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2007年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知函数f(x)=11-x的定义域为M，g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则M∩N=( )
A.{x|x>-1} B.{x|x<1} C.{x|-10)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
12. 如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=________；f(n)=________．（答案用数字或n的解析式表示）
13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=t+3y=3-t（参数t∈R），圆C的参数方程为x=2cosθy=2sinθ+2，（参数θ∈[0, 2π]），则圆C的圆心坐标为________，圆心到直线l的距离为________．
14. 设函数f(x)=|2x-1|+x+3，则f(-2)=________；若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
15. 已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30∘，则梯形ABCD的面积为________．
7 / 7
三、解答题（共6小题，满分80分）
16. 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3, 4)，B(0, 0)，C(c, 0)
（1）若c=5，求sin∠A的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．
17. ．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆x2a2+y29=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 如图所示，等腰△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积．
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
7 / 7
（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
20. 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1, 1]上有零点，求a的取值范围．
21. 已知函数f(x)=x2+x-1，α，β是方程f(x)=0的两个根(α>β)，f'(x)是f(x)的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f'(an)(n=1, 2,…)．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an>α；
（3）记bn=lnan-βan-α(n=1, 2,…)，求数列{bn}的前n项和Sn．
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参考答案与试题解析
2007年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.C
2.A
3.D
4.B
5.B
6.C
7.B
8.A
二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）
9.19
10.32
11.x=-54
12.n(n+1)2,12,n(n2-3n+2)2
13.(0, 2),22
14.6,[-1, 1]
15.93
三、解答题（共6小题，满分80分）
16.解：（1）根据题意，
AB→=(-3,-4)，AC→=(c-3,-4)，
若c=5，则AC→=(2,-4)，
∴ cos∠A=cos=-6+165×25=15，∴ sin∠A=255；
（2）若∠A为钝角，
则-3c+9+16<0c≠0解得c>253，
∴ c的取值范围是(253，+∞)；
17.解：（1）根据题意，作图可得，
（2）由系数公式可知，
x¯=4.5，
y¯=3.5，
b=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=66.5-635=0.7
a=3.5-0.7×92=0.35，
所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；
（3）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，
所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
18.解：(1)设圆心坐标为(m, n)(m<0, n>0)，
7 / 7
则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8，
已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则|m-n|2=22，
即|m-n|=4，①
又圆与直线切于原点，将点(0, 0)代入得m2+n2=8，②
联立方程①和②组成方程组，解得m=-2,n=2,
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)由题意得，2a=10，则a=5，a2=25，
则椭圆的方程为x225+y29=1，
c=25-9=4，右焦点为(4, 0)，那么|OF|=4．
通过联立两圆的方程(x-4)2+y2=16,(x+2)2+(y-2)2=8,
解得x=45，y=125．
即存在异于原点的点Q(45, 125)，
使得该点到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．
19.解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，
S△ABC=96，S△BEF=x254⋅S△BDC=612x2
V(x)=63x(9-112x2)(00，V(x)单调递增；
60，此函数g(t)单调递增，
∴ y的取值范围是[7-3，1]，
∴ f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1, 1]上有解⇔1a∈[7-3，1]⇔a≥1或a≤-3+72．
故a≥1或a≤-3+72．
21.解：（1）∵ f(x)=x2+x-1，α，β是方程f(x)=0的两个根(α>β)，
∴ α=-1+52，β=-1-52；
（2）f'(x)=2x+1，an+1=an-an2+an-12an+1=an-12an(2an+1)+14(2an+1)-542an+1
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=14(2an+1)+542an+1-12，
∵ a1=1，
∴ 有基本不等式可知a2≥5-12>0（当且仅当a1=5-12时取等号），
∴ a2>5-12>0，同样a3>5-12，an>5-12=α(n=1, 2)，
（3）an+1-β=an-β-(an-α)(an-β)2an+1=an-β2an+1(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=(an-β)22an+1，
同理an+1-α=(an-α)22an+1，bn+1=2bn，
又b1=ln1-β1-α=ln3+53-5=2ln3+52sn=2(2n-1)ln3+52
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