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- 2021-07-01 发布
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2020年全国高考高考数学试卷(新课标Ⅱ)
一、选择题
1. 设集合A=2,3,5,7, B={1,2,3,5,8},则A∩B=( )
A.1,8 B.2,5 C.2,3,5 D.1,2,3,5,8
2. (1+2i)(2+i)=( )
A.-5i B.5i C.-5 D.5
3. 如果D为△ABC的边AB的中点,则向量CB→=( )
A.2CD→-CA→ B.2CA→-CD→ C. 2CD→+CA→ D. 2CA→+CD→
4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40∘,则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20∘ B.40∘ C.50∘ D.90∘
5. 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
6. 3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个村至少1人,则不同的分配方案共有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
7. 已知函数fx=log2x2-4x-5在a,+∞单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.[2,+∞) D.[5,+∞)
8. 若定义在R的奇函数fx在-∞,0单调递减,且f2=0,则满足xfx-1≥0的x的取值范围是( )
A. [-1,1]∪[3,+∞) B.-3,-1∪0,1
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.-1,0∪1,3
二、多选题
9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
10 / 10
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
10. 已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
11. 如图是函数y=sinωx+φ的部分图象,则sinωx+φ=( )
A.sin(x+π3) B.sin(π3-2x) C.cos(2x+π6) D.cos(5π6-2x)
12. 已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥12 B.2a-b>12
C.log2a+log2b≥-2 D.a+b≤2
三、填空题
13. 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为________.
14. 斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=_________.
15. 将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为________.
16. 某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=35,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm ,则图中阴影部分的面积为________cm2.
四、解答题
17. 在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
10 / 10
18. 已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求an的通项公式;
(2)求a1a2-a2a3+⋯+-1n-1anan+1.
19. 为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位: μg/m3),得下表:
10 / 10
(0,50]
(50,150]
(150,475]
(0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过$150"$的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
[0,150]
(150,475]
(0,75]
(75,115]
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?
附: K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
P(K2>k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
10 / 10
20. 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,QB=2,求PB与平面QCD所成角的正弦值.
21. 已知椭圆C: x2a2+y2b2=1a>b>0过点M2,3,点A为其左顶点,且AM的斜率为12.
(1)求C的方程;
(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.
10 / 10
22. 已知函数fx=aex-1-lnx+lna.
(1)当a=e时,求曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若fx≥1,求a的取值范围.
10 / 10
参考答案与试题解析
一、选择题
1.C
2.B
3.A
4.B
5.C
6.C
7.D
8.D
二、多选题
9.C,D
10.A,C,D
11.B,C
12.A,B,D
三、填空题
13.1
14.163
15.3n2-2n
16.4+5π2
四、解答题
17.解:①ac=3.
△ABC中, sinA=3sinB ,即b=33a,
ac=3,
所以c=3a.
cosC=a2+b2-c22ab=a2+a23-3a223a23 =32,
所以a=3,b=1,c=1;
②csinA=3.
△ABC中,csinA=asinC=asinπ6=3,
所以a=6.
因为sinA=3sinB,即a=3b,
所以b=23 .
cosC=a2+b2-c22ab=36+12-c22×6×23=32,
所以c=23;
③c=3b.
因为sinA=3sinB,即a=3b,
又因为c=3b,
cosC=a2+b2-c22ab=36≠cosπ6,
与已知条件C=π6相矛盾,
所以问题中的三角形不存在.
18.解:(1)因为a2+a4=20,a3=8,
10 / 10
所以8q+8q=20,2q2-5q+2=0.
解得q=2或q=12(舍去),
所以a1=2,
所以an=2n.
(2)令bn=-1n-1anan+1,
则bn=-1n-1×2n×2n+1=-1n-1×22n+1.
因为bnbn-1=(-1)n-1×22n+(-1)n-2×22n-1=-4(n≥2,n∈N*),
又b1=8,
所以bn是以8为首项,-4为公比的等比数列,
所以a1a2-a2a3+…+-1n-1anan+1=b1+b2+b3+…+bn
=8--1n×2n+1×41--22=8--1n×22n+35.
19.解:(1)用频率估计概率,从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过$150"$的概率
P=32+18+6+8100=0.64.
(2)根据所给数据,可得下面的2×2列联表:
[0,150]
(150,475]
(0,75]
64
16
(75,115]
10
10
(3)根据(2)中的列联表,
由K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
=100×64×10-16×10280×20×74×26=7.484>6.635,
PK2≥0.635=0.01.
故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
20.(1)证明:过P在平面PAD内作直线l//AD,
由AD//BC,可得l//BC,即l为平面PAD和平面PBC的交线,
因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以PD⊥BC.
又BC⊥CD, CD∩PD=D,
所以BC⊥平面PCD.
因为l//BC,
所以l⊥平面PCD;
(2)如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DP所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.
10 / 10
则D0,0,0,C1,0,0,A0,1,0,P0,0,1,B1,1,0.
设Q0,m,1m>0,BQ→=-1,m-1,1,
因为QB=2,
所以-12+m-12+12=2,化简得(m-1)2=0,所以m=1,
所以Q0,1,1,
因此,DQ→=0,1,1,DC→=1,0,0,PB→=1,1,-1.
设平面QCD的法向量为n→=a,b,c,
n→⋅DC→=0,n→⋅DQ→=0, 即a=0,b+c=0.
取n→=0,1,-1,
所以cos⟨PB→,n→⟩=PB→⋅n→|PB→|⋅|n→|=1×0+1×1+-1×-13×2=63,
所以PB与平面QCD所成角的正弦值为63.
21.解:(1)由题意可知直线AM的方程为: y-3=12x-2,
即x-2y=-4当y=0时,
解得x=-4,
所以a=4.
椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点M2,3,
可得416+9b2=1,
解得b2=12.
所以C的方程: x216+y212=1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为: x-2y=m,
如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,
此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程x-2y=m与椭圆方程x216+y212=1,
可得: 3m+2y2+4y2=48,
化简可得: 16y2+12my+3m2-48=0,
所以Δ=144m2-4×163m2-48=0,
即m2=64,解得m=±8.
与AM距离比较远的直线方程: x-2y=8,
直线AM方程为: x-2y=-4.
10 / 10
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,
利用平行线之间的距离公式可得: d=8+41+4=1255,
由两点之间距离公式可得|AM|=2+42+32=35,
所以△AMN的面积的最大值:
12×35×1255=18.
22.解:(1)当a=e时,fx=ex-lnx+1,
所以f'x=ex-1x,
所以f'1=e-1.
因为f1=e+1,
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y-e+1=e-1x-1.
当x=0时,y=2,
当y=0时, x=-2e-1,
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12×2×2e-1=2e-1.
(2)由fx≥1,可得aex-1-lnx+lna≥1,
即ex-1+lna-lnx+lna≥1,
即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.
令gt=et+t,
则g'(t)=et+1>0,
所以gt在R上单调递增,
所以glna+x-1>glnx,
所以lna+x-1>lnx,即lna>lnx-x+1.
令hx=lnx-x+1,
所以h'x=1x-1=1-xx.
当00, 函数hx单调递增,
当x>1时, h'x<0,函数hx单调递减,
所以hx≥h1=0,
所以lna≥0,
所以a≥1.
故a的范围为[1,+∞).
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