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  • 2021-07-01 发布

2020年全国高考高考数学试卷(新课标Ⅱ)【word版本;可编辑;含答案】1

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‎2020年全国高考高考数学试卷(新课标Ⅱ)‎ 一、选择题 ‎1. 设集合A=‎‎2,3,5,7‎, B={1,2,3,5,8}‎,则A∩B=‎(        )‎ A.‎1,8‎ B.‎2,5‎ C.‎2,3,5‎ D.‎‎1,2,3,5,8‎ ‎2. ‎(1+2i)(2+i)=‎(        )‎ A.‎-5i B.‎5i C.‎-5‎ D.‎‎5‎ ‎3. 如果D为‎△ABC的边AB的中点,则向量CB‎→‎‎=‎(        )‎ A.‎2CD‎→‎-‎CA‎→‎  B.‎2CA‎→‎-‎CD‎→‎  C. ‎2CD‎→‎+‎CA‎→‎ D. ‎‎2CA‎→‎+‎CD‎→‎ ‎4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬‎40‎‎∘‎,则晷针与点A处的水平面所成角为(        )‎ A.‎20‎‎∘‎ B.‎40‎‎∘‎ C.‎50‎‎∘‎ D.‎‎90‎‎∘‎ ‎5. 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有‎96%‎的学生喜欢足球或游泳,‎60%‎的学生喜欢足球,‎82%‎的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(        )‎ A.‎62%‎ B.‎56%‎ C.‎46%‎ D.‎‎42%‎ ‎6. ‎3‎名大学生利用假期到‎2‎个山村参加扶贫工作,每名大学生只去‎1‎个村,每个村至少‎1‎人,则不同的分配方案共有(        )‎ A.‎4‎种 B.‎5‎种 C.‎6‎种 D.‎8‎种 ‎7. 已知函数fx=‎log‎2‎x‎2‎‎-4x-5‎在a,+∞‎单调递增,则a的取值范围是‎(        )‎ A.‎(-∞,-1]‎ B.‎(-∞,2]‎ C.‎[2,+∞‎) D.‎‎[5,+∞)‎ ‎8. 若定义在R的奇函数fx在‎-∞,0‎单调递减,且f‎2‎=0‎,则满足xfx-1‎≥0‎的x的取值范围是(        )‎ A. ‎[-1,1]∪[3,+∞)‎  B.‎‎-3,-1‎‎∪‎‎0,1‎ C.‎[-1,0]∪[1,+∞)‎ D.‎‎-1,0‎‎∪‎‎1,3‎ 二、多选题 ‎9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续‎11‎天复工复产指数折线图,下列说法正确的是(        )‎ A.这‎11‎天复工指数和复产指数均逐日增加;‎ B.这‎11‎天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;‎ C.第‎3‎天至第‎11‎天复工复产指数均超过‎80%‎;‎ ‎ 10 / 10‎ D.第‎9‎天至第‎11‎天复产指数增量大于复工指数的增量;‎ ‎10. 已知曲线C:mx‎2‎+ny‎2‎=1‎.(        )‎ A.若m>n>0‎,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若m=n>0‎,则C是圆,其半径为n C.若mn<0‎,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±‎-‎mnx D.若m=0‎,n>0‎,则C是两条直线 ‎11. 如图是函数y=sinωx+φ的部分图象,则sinωx+φ=‎(        )‎ A.sin(x+π‎3‎)‎ B.sin(π‎3‎-2x)‎ C.cos(2x+π‎6‎)‎ D.‎cos(‎5π‎6‎-2x)‎ ‎12. 已知a>0‎,b>0‎,且a+b=1‎,则(        )‎ A.a‎2‎‎+b‎2‎≥‎‎1‎‎2‎  B.‎‎2‎a-b‎>‎‎1‎‎2‎ C.log‎2‎a+log‎2‎b≥-2‎ D.‎a‎+b≤‎‎2‎ 三、填空题 ‎13. 棱长为‎2‎的正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,M,N分别为棱BB‎1‎,AB的中点,则三棱锥A‎1‎‎-D‎1‎MN的体积为________.‎ ‎14. 斜率为‎3‎的直线过抛物线C:y‎2‎=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则‎|AB|=‎_________.‎ ‎15. 将数列‎2n-1‎与‎3n-2‎的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为________.‎ ‎16. 某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=‎3‎‎5‎,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为‎7cm,圆孔半径为‎1cm ,则图中阴影部分的面积为________cm‎2‎.‎ 四、解答题 ‎17. 在①ac=‎‎3‎,②csinA=3‎,③c=‎3‎b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.‎ 问题:是否存在‎△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=‎3‎sinB,C=‎π‎6‎,________?‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎18. 已知公比大于‎1‎的等比数列an满足a‎2‎‎+a‎4‎=20,a‎3‎=8‎.‎ ‎(1)‎求an的通项公式;‎ ‎(2)‎求a‎1‎a‎2‎‎-a‎2‎a‎3‎+⋯+‎‎-1‎n-1‎anan+1‎.‎ ‎19. 为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了‎100‎天空气中的PM2.5‎和SO‎2‎浓度(单位: μg/‎m‎3‎),得下表:‎ ‎ 10 / 10‎ ‎(0,50]‎ ‎(50,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎(0,35]‎ ‎32‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎(35,75]‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎(75,115]‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎(1)‎估计事件“该市一天空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎,且SO‎2‎浓度不超过$150"$的概率;‎ ‎(2)‎根据所给数据,完成下面的‎2×2‎列联表:‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎(0,75]‎ ‎(75,115]‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎中的列联表,判断是否有‎99%‎的把握认为该市一天空气中PM2.5‎浓度与SO‎2‎浓度有关?‎ 附: ‎K‎2‎‎=‎nad-bc‎2‎a+bc+da+cb+d P(K‎2‎>k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ 10 / 10‎ ‎20. 如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥‎底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.‎ ‎(1)‎证明:l⊥‎平面PDC;‎ ‎(2)‎已知PD=AD=1‎,Q为l上的点,QB=‎‎2‎,求PB与平面QCD所成角的正弦值.‎ ‎21. 已知椭圆C: x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎过点M‎2,3‎,点A为其左顶点,且AM的斜率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)‎求C的方程;‎ ‎(2)‎点N为椭圆上任意一点,求‎△AMN的面积的最大值.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎22. 已知函数fx=aex-1‎-lnx+lna.‎ ‎(1)‎当a=e时,求曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;‎ ‎(2)‎若fx≥1‎,求a的取值范围.‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 一、选择题 ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.D 二、多选题 ‎9.C,D ‎10.A,C,D ‎11.B,C ‎12.A,B,D 三、填空题 ‎13.‎‎1‎ ‎14.‎‎16‎‎3‎ ‎15.‎‎3n‎2‎-2n ‎16.‎‎4+‎‎5π‎2‎ 四、解答题 ‎17.解:①ac=‎‎3‎.‎ ‎△ABC中, sinA=‎3‎sinB ,即b=‎3‎‎3‎a,‎ ac=‎‎3‎‎,‎ 所以c=‎‎3‎a.‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎a‎2‎‎+a‎2‎‎3‎-‎‎3‎a‎2‎‎2‎‎3‎a‎2‎‎3‎‎ ‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 所以a=‎‎3‎,b=1‎,c=1‎;‎ ‎②csinA=3‎.‎ ‎△ABC中,csinA=asinC=asinπ‎6‎=3‎,‎ 所以a=6‎.‎ 因为sinA=‎3‎sinB,即a=‎3‎b,‎ 所以b=2‎‎3‎ .‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎36+12-‎c‎2‎‎2×6×2‎‎3‎=‎‎3‎‎2‎‎,‎ 所以c=2‎‎3‎;‎ ‎③c=‎3‎b.‎ 因为sinA=‎3‎sinB,即a=‎3‎b,‎ 又因为c=‎3‎b,‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎3‎‎6‎≠cosπ‎6‎‎,‎ 与已知条件C=‎π‎6‎相矛盾,‎ 所以问题中的三角形不存在.‎ ‎18.解:‎(1)‎因为a‎2‎‎+a‎4‎=20,a‎3‎=8‎,‎ ‎ 10 / 10‎ 所以‎8‎q‎+8q=20‎,‎2q‎2‎-5q+2=0‎.‎ 解得q=2‎或q=‎‎1‎‎2‎(舍去),‎ 所以a‎1‎‎=2‎,‎ 所以an‎=‎‎2‎n.‎ ‎(2)‎令bn‎=‎‎-1‎n-1‎anan+1‎,‎ 则bn‎=‎-1‎n-1‎×‎2‎n×‎2‎n+1‎=‎-1‎n-1‎×‎‎2‎‎2n+1‎.‎ 因为bnbn-1‎‎=‎(-1‎)‎n-1‎×‎‎2‎‎2n+‎‎(-1‎)‎n-2‎×‎‎2‎‎2n-1‎=-4(n≥2,n∈N‎*‎)‎,‎ 又b‎1‎‎=8‎,‎ 所以bn是以‎8‎为首项,‎-4‎为公比的等比数列,‎ 所以a‎1‎a‎2‎‎-a‎2‎a‎3‎+…+‎-1‎n-1‎anan+1‎=b‎1‎+b‎2‎+b‎3‎+…+‎bn ‎=‎8-‎-1‎n×‎2‎n+1‎×4‎‎1-‎‎-2‎‎2‎=‎‎8-‎-1‎n×‎‎2‎‎2n+3‎‎5‎‎.‎ ‎19.解:‎(1)‎用频率估计概率,从而得到“该市一天空气中PM2.5‎浓度不超过‎75‎,且SO‎2‎浓度不超过$150"$的概率 P=‎32+18+6+8‎‎100‎=0.64‎‎.‎ ‎(2)‎根据所给数据,可得下面的‎2×2‎列联表:‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎(0,75]‎ ‎64‎ ‎16‎ ‎(75,115]‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎(3)‎根据‎(2)‎中的列联表,‎ 由K‎2‎‎=‎nad-bc‎2‎a+bc+da+cb+d ‎=‎100×‎‎64×10-16×10‎‎2‎‎80×20×74×26‎=7.484>6.635‎‎,‎ PK‎2‎‎≥0.635‎=0.01‎‎.‎ 故有‎99%‎的把握认为该市一天空气中PM2.5‎浓度与SO‎2‎浓度有关.‎ ‎20.‎(1)‎证明:过P在平面PAD内作直线l//AD,‎ 由AD//BC,可得l//BC,即l为平面PAD和平面PBC的交线,‎ 因为PD⊥‎平面ABCD,BC⊂‎平面ABCD,‎ 所以PD⊥BC.‎ 又BC⊥CD, CD∩PD=D,‎ 所以BC⊥‎平面PCD.‎ 因为l//BC,‎ 所以l⊥‎平面PCD;‎ ‎(2)‎如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DP所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.‎ ‎ 10 / 10‎ 则D‎0,0,0‎,C‎1,0,0‎,A‎0,1,0‎,P‎0,0,1‎,B‎1,1,0‎.‎ 设Q‎0,m,1‎m>0‎,BQ‎→‎‎=‎‎-1,m-1,1‎,‎ 因为QB=‎‎2‎,‎ 所以‎-1‎‎2‎‎+m-1‎‎2‎+‎1‎‎2‎=2‎,化简得‎(m-1‎)‎‎2‎=0‎,所以m=1‎,‎ 所以Q‎0,1,1‎,‎ 因此,DQ‎→‎‎=‎‎0,1,1‎,DC‎→‎‎=‎‎1,0,0‎,PB‎→‎‎=‎‎1,1,-1‎.‎ 设平面QCD的法向量为n‎→‎‎=‎a,b,c,‎ n‎→‎‎⋅DC‎→‎=0,‎n‎→‎‎⋅DQ‎→‎=0,‎‎ 即a=0,‎b+c=0.‎ 取n‎→‎‎=‎‎0,1,-1‎,‎ 所以cos⟨PB‎→‎,n‎→‎⟩=PB‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|PB‎→‎|⋅|n‎→‎|‎=‎1×0+1×1+‎-1‎×‎‎-1‎‎3‎‎×‎‎2‎=‎‎6‎‎3‎,‎ 所以PB与平面QCD所成角的正弦值为‎6‎‎3‎.‎ ‎21.解:‎(1)‎由题意可知直线AM的方程为: y-3=‎‎1‎‎2‎x-2‎,‎ 即x-2y=-4‎当y=0‎时,‎ 解得x=-4‎,‎ 所以a=4‎.‎ 椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎过点M‎2,3‎,‎ 可得‎4‎‎16‎‎+‎9‎b‎2‎=1‎,‎ 解得b‎2‎‎=12‎.‎ 所以C的方程: x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎.‎ ‎(2)‎设与直线AM平行的直线方程为: x-2y=m,‎ 如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,‎ 此时‎△AMN的面积取得最大值.‎ 联立直线方程x-2y=m与椭圆方程x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎,‎ 可得: ‎3m+2y‎2‎+4y‎2‎=48‎,‎ 化简可得: ‎16y‎2‎+12my+3m‎2‎-48=0‎,‎ 所以Δ=144m‎2‎-4×16‎3m‎2‎-48‎=0‎,‎ 即m‎2‎‎=64‎,解得m=±8‎.‎ 与AM距离比较远的直线方程: x-2y=8‎,‎ 直线AM方程为: x-2y=-4‎.‎ ‎ 10 / 10‎ 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,‎ 利用平行线之间的距离公式可得: d=‎8+4‎‎1+4‎=‎‎12‎‎5‎‎5‎,‎ 由两点之间距离公式可得‎|AM|=‎2+4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎‎5‎,‎ 所以‎△AMN的面积的最大值:‎ ‎1‎‎2‎‎×3‎5‎×‎12‎‎5‎‎5‎=18‎‎.‎ ‎22.解:‎(1)‎当a=e时,fx=ex-lnx+1‎,‎ 所以f‎'‎x‎=ex-‎‎1‎x,‎ 所以f‎'‎‎1‎‎=e-1‎.‎ 因为f‎1‎=e+1‎,‎ 所以曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线方程为y-e+1‎=‎e-1‎x-1‎.‎ 当x=0‎时,y=2‎,‎ 当y=0‎时, x=‎‎-2‎e-1‎,‎ 所以曲线y=fx在点‎1,f‎1‎处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=‎1‎‎2‎×2×‎2‎e-1‎=‎‎2‎e-1‎.‎ ‎(2)‎由fx≥1‎,可得aex-1‎-lnx+lna≥1‎,‎ 即ex-1+lna‎-lnx+lna≥1‎,‎ 即ex-1+lna‎+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.‎ 令gt=et+t,‎ 则g‎'‎‎(t)=et+1>0‎,‎ 所以gt在R上单调递增,‎ 所以glna+x-1‎>glnx,‎ 所以lna+x-1>lnx,即lna>lnx-x+1‎.‎ 令hx=lnx-x+1‎,‎ 所以h‎'‎x‎=‎1‎x-1=‎‎1-xx.‎ 当‎00‎, 函数hx单调递增,‎ 当x>1‎时, h‎'‎x‎<0‎,函数hx单调递减,‎ 所以hx≥h‎1‎=0‎,‎ 所以lna≥0‎,‎ 所以a≥1‎.‎ 故a的范围为‎[1,+∞)‎.‎ ‎ 10 / 10‎