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  • 2021-07-01 发布

高中数学公式大全(理数)

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高中理科数学公式汇总 §01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系 Ux A x C A   , Ux C A x A   . 2.德摩根公式 ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B     . 3.包含关系 A B A A B B    U UA B C B C A    UA C B  UC A B R  4.容斥原理 ( ) ( )card A B cardA cardB card A B    . 5.集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n–1 个;非空子集有 2n –1 个;非空的真子集有 2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ; (2)顶点式 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a    ; (3)零点式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a    . 7.解连不等式 ( )N f x M  常有以下转化形式 ( )N f x M   [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N    | ( ) | 2 2 M N M Nf x      ( ) 0 ( ) f x N M f x     1 1 ( )f x N M N    . 8.方程 0)( xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一个实根,与 0)()( 21 kfkf 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 )0(02  acbxax 有且只有一个实根在 ),( 21 kk 内,等价于 0)()( 21 kfkf ,或 0)( 1 kf 且 22 21 1 kk a bk   ,或 0)( 2 kf 且 2 21 22 k a bkk   . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 )0()( 2  acbxaxxf 在闭区间  qp, 上的最值只能在 a bx 2  处及区 间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0时,若  qp a bx , 2  ,则  min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 2 bf x f f x f p f q a    ;  qp a bx , 2  ,  max max( ) ( ), ( )f x f p f q ,  min min( ) ( ), ( )f x f p f q . (2)当 a<0 时,若  qp a bx , 2  ,则  min( ) min ( ), ( )f x f p f q ,  qp a bx , 2  ,则  max( ) max ( ), ( )f x f p f q ,  min( ) min ( ), ( )f x f p f q . 10.一元二次方程的实根分布 依据:若 ( ) ( ) 0f m f n  ,则方程 0)( xf 在区间 ( , )m n 内至少有一个实根 . 设 qpxxxf  2)( ,则 (1)方程 0)( xf 在区间 ),( m 内有根的充要条件为 0)( mf 或 2 4 0 2 p q p m        ; (2)方程 0)( xf 在区间 ( , )m n 内有根的充要条件为 ( ) ( ) 0f m f n  或 2 ( ) 0 ( ) 0 4 0 2 f m f n p q pm n             或      0)( 0)( nf mf 或      0)( 0)( mf nf ; (3)方程 0)( xf 在区间 ( , )n 内有根的充要条件为 ( ) 0f m  或 2 4 0 2 p q p m        . 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 ),(  的子区间 L(形如   , ,  , ,  , 不同)上含参 数的二次不等式 ( , ) 0f x t  ( t为参数)恒成立的充要条件是 min( , ) 0( )f x t x L  . (2)在给定区间 ),(  的子区间上含参数的二次不等式 ( , ) 0f x t  ( t为参数)恒成 立的充要条件是 ( , ) 0( )manf x t x L  . (3) 0)( 24  cbxaxxf 恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c      或 2 0 4 0 a b ac     . 12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 n个 至多有( 1n  )个 小于 不小于 至多有 n个 至少有( 1n  )个 对所有 x,成立 存在某 x,不成立 p或 q p 且 q 对任何 x,不成立 存在某 x,成立 p且 q p 或 q 14.四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否; 15.充要条件 (1)充分条件:若 p q ,则 p是 q充分条件. (2)必要条件:若 q p ,则 p是 q必要条件. (3)充要条件:若 p q ,且 q p ,则 p是 q充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. §02. 函数 16.函数的单调性 (1)设   2121 ,, xxbaxx  那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxf xx xfxf ,)(0)()( 21 21 在   上是增函数;  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxf xx xfxf ,)(0)()( 21 21 在   上是减函数. (2)设函数 )(xfy  在某个区间内可导,如果 0)(  xf ,则 )(xf 为增函数;如果 0)(  xf ,则 )(xf 为减函数. 17.如果函数 )(xf 和 )(xg 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 )()( xgxf  也是减 函数; 如果函数 )(ufy  和 )(xgu  在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 )]([ xgfy  是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个 函数是偶函数. 19.若函数 )(xfy  是偶函数,则 )()( axfaxf  ;若函数 )( axfy  是偶函 数,则 )()( axfaxf  . 20.对于函数 )(xfy  ( Rx ), )()( xbfaxf  恒成立,则函数 )(xf 的对称轴 是函数 2 bax   ; 两个函数 )( axfy  与 )( xbfy  的图象关于直线 2 bax   对称. 21.若 )()( axfxf  ,则函数 )(xfy  的图象关于点 )0, 2 (a 对称; 若 )()( axfxf  ,则函数 )(xfy  为周期为 a2 的周期函数. 22.多项式函数 1 1 0( ) n n n nP x a x a x a     的奇偶性 多项式函数 ( )P x 是奇函数 ( )P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 ( )P x 是偶函数 ( )P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 ( )y f x 的图象的对称性 (1)函数 ( )y f x 的图象关于直线 x a 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   . (2)函数 ( )y f x 的图象关于直线 2 a bx   对称 ( ) ( )f a mx f b mx    ( ) ( )f a b mx f mx    . 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x  的图象关于直线 0x  (即 y轴)对称. (2)函数 ( )y f mx a  与函数 ( )y f b mx  的图象关于直线 2 a bx m   对称. (3)函数 )(xfy  和 )(1 xfy  的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 )(xfy  的图象右移 a、上移b个单位,得到函数 baxfy  )( 的图 象;若将曲线 0),( yxf 的图象右移 a、上移b个单位,得到曲线 0),(  byaxf 的 图象. 26.互为反函数的两个函数的关系 abfbaf   )()( 1 . 27.若函数 )( bkxfy  存在反函数,则其反函数为 ])([1 1 bxf k y   ,并不是 )([ 1 bkxfy   ,而函数 )([ 1 bkxfy   是 ])([1 bxf k y  的反函数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 ( )f x cx , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c    . (2)指数函数 ( ) xf x a , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a    . (3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a     . (4)幂函数 ( )f x x , '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f   . (5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y   , 0 ( )(0) 1, lim 1 x g xf x   . 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) )()( axfxf  ,则 )(xf 的周期 T=a; (2) 0)()(  axfxf , 或 )0)(( )( 1)(  xf xf axf ,或 1( ) ( ) f x a f x   ( ( ) 0)f x  , 或  21 ( ) ( ) ( ), ( ( ) 0,1 ) 2 f x f x f x a f x     ,则 )(xf 的周期 T=2a (3) )0)(( )( 11)(    xf axf xf ,则 )(xf 的周期 T=3a; (4) )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf    且 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a      ,则 )(xf 的周期 T=4a; (5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a       ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a     , 则 )(xf 的周期 T=5a; (6) )()()( axfxfaxf  ,则 )(xf 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) 1m n n m a a  ( 0, ,a m n N   ,且 1n  ). (2) 1m n m n a a   ( 0, ,a m n N   ,且 1n  ). 31.根式的性质 (1) ( )nn a a . (2)当 n为奇数时, n na a ; 当 n为偶数时, , 0 | | , 0 n n a a a a a a      . 32.有理指数幂的运算性质 (1) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q    . (2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q   . (3) ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q    . 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a p 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N   ( 0, 1, 0)a a N   . 34.对数的换底公式 loglog log m a m NN a  ( 0a  ,且 1a  , 0m  ,且 1m  , 0N  ). 推论 log logm n aa nb b m  ( 0a  ,且 1a  , , 0m n  ,且 1m  , 1n  , 0N  ). 35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log ( ) log loga a aMN M N  ; (2) log log loga a a M M N N   ; (3) log log ( )n a aM n M n R  . 36.设函数 )0)((log)( 2  acbxaxxf m ,记 acb 42  .若 )(xf 的定义域为 R ,则 0a ,且 0 ;若 )(xf 的值域为 R ,则 0a ,且 0 .对于 0a 的情形,需要 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 0a  , 0b  , 0x  , 1x a  ,则函数 log ( )axy bx (1)当 a b 时,在 1(0, ) a 和 1( , ) a  上 log ( )axy bx 为增函数. , (2)当 a b 时,在 1(0, ) a 和 1( , ) a  上 log ( )axy bx 为减函数. 推论:设 1n m  , 0p  , 0a  ,且 1a  ,则 (1) log ( ) logm p mn p n   . (2) 2log log log 2a a a m nm n   . §03. 数 列 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 (1 )xy N p  . 39.数列的同项公式与前 n项的和的关系 1 1 , 1 , 2n n n s n a s s n      ( 数列{ }na 的前 n项的和为 1 2n ns a a a    ). 40.等差数列的通项公式 * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N       ; 其前 n 项和公式为 1( ) 2 n n n a as   1 ( 1) 2 n nna d   2 1 1( ) 2 2 d n a d n   . 41.等比数列的通项公式 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n N q     ; 其前 n 项的和公式为 1 1 (1 ) , 1 1 , 1 n n a q q s q na q       或 1 1 , 1 1 , 1 n n a a q q qs na q       . 42.等比差数列 na : 1 1, ( 0)n na qa d a b q     的通项公式为 1 ( 1) , 1 ( ) , 1 1 n n n b n d q a bq d b q d q q           ; 其前 n 项和公式为 ( 1) , ( 1) 1( ) , ( 1) 1 1 1 n n nb n n d q s d q db n q q q q            . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b     元(贷款 a元, n次还清,每期利率为b ). §04. 三角函数 44.常见三角不等式 (1)若 (0, ) 2 x   ,则 sin tanx x x  . (2) 若 (0, ) 2 x   ,则1 sin cos 2x x   . (3) | sin | | cos | 1x x  . 45.同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1   , tan =   cos sin , tan 1cot   . 46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 2 1 2 ( 1) sin , sin( ) 2 ( 1) s , n n n co           2 1 2 ( 1) s , s( ) 2 ( 1) sin , n n conco           47.和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin        ; cos( ) cos cos sin sin        ; tan tantan( ) 1 tan tan          . 2 2sin( )sin( ) sin sin         (平方正弦公式); 2 2cos( ) cos( ) cos sin         . sin cosa b  = 2 2 sin( )a b    (辅助角  所在象限由点 ( , )a b 的象限决 定, tan b a   ). 48.二倍角公式 s in 2 s in co s   . 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin          . 2 2 tantan 2 1 tan     . 49. 三倍角公式 3sin 3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( ) 3 3            . 3cos3 4cos 3cos 4cos cos( ) cos( ) 3 3            . 3 2 3tan tantan 3 tan tan( ) tan( ) 1 3tan 3 3               . 50.三角函数的周期公式 函数 sin( )y x   ,x∈R 及函数 cos( )y x   ,x∈R(A,ω, 为常数,且 A≠0, ω>0)的周期 2T    ; 函数 tan( )y x   , , 2 x k k Z   (A,ω, 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T    . 51.正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C    . 52.余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ; 2 2 2 2 cosb c a ca B   ; (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 2 2 2 2 cosc a b ab C   . 53.面积定理 (1) 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch   ( a b ch h h、 、 分别表示 a、b、c边上的高). (2) 1 1 1sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B   . (3) 2 21 (| | | |) ( ) 2OABS OA OB OA OB         . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 ( )A B C C A B        2 2 2 C A B     2 2 2( )C A B    . 55. 简单的三角方程的通解 sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z a       . s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z a      . tan arctan ( , )x a x k a k Z a R      . 特别地,有 sin sin ( 1) ( )kk k Z          . s cos 2 ( )co k k Z         . tan tan ( )k k Z         . 56.最简单的三角不等式及其解集 sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z          . sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z          . cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Z        . cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Z          . tan ( ) ( arctan , ), 2 x a a R x k a k k Z        . tan ( ) ( , arctan ), 2 x a a R x k k a k Z        . §05. 平面向量 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( a)·b= (a·b)= a·b= a·( b); (3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ1、λ2,使得 a=λ1e1+λ2e2. 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ,且 b 0,则 a b(b 0) 1 2 2 1 0x y x y   . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b的几何意义 数量积 a·b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ,则 a+b= 1 2 1 2( , )x x y y  . (2)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ,则 a-b= 1 2 1 2( , )x x y y  . (3)设 A 1 1( , )x y ,B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y        . (4)设 a= ( , ),x y R  ,则 a= ( , )x y  . (5)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ,则 a·b= 1 2 1 2( )x x y y . 63.两向量的夹角公式 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y       (a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ). 64.平面两点间的距离公式 ,A Bd = | |AB AB AB     2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y    (A 1 1( , )x y ,B 2 2( , )x y ). 65.向量的平行与垂直 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ,且 b 0,则 A||b b=λa 1 2 2 1 0x y x y   . a b(a 0) a·b=0 1 2 1 2 0x x y y   . 66.线段的定比分公式 设 1 1 1( , )P x y , 2 2 2( , )P x y , ( , )P x y 是线段 1 2PP 的分点,是实数,且 1 2PP PP   ,则 1 2 1 2 1 1 x xx y yy              1 2 1 OP OPOP         1 2(1 )OP tOP t OP      ( 1 1 t    ). 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、 3 3C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐 标是 1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y yG     . 68.点的平移公式 ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k              ' 'OP OP PP     . 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 'F 上的对应点为 ' ' '( , )P x y ,且 'PP  的 坐标为 ( , )h k . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 ( , )P x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到点 ' ( , )P x h y k  . (2) 函数 ( )y f x 的图象C按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 'C ,则 'C 的函数解析式 为 ( )y f x h k   . (3) 图象 'C 按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象C ,若C的解析式 ( )y f x ,则 'C 的函数 解析式为 ( )y f x h k   . (4)曲线 C : ( , ) 0f x y  按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 'C ,则 'C 的方程为 ( , ) 0f x h y k   . (5) 向量 m= ( , )x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到的向量仍然为 m= ( , )x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为 ABC 所在平面上一点,角 , ,A B C所对边长分别为 , ,a b c,则 (1)O为 ABC 的外心 2 2 2 OA OB OC      . (2)O为 ABC 的重心 0OA OB OC        . (3)O为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA            . (4)O为 ABC 的内心 0aOA bOB cOC        . (5)O为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC      . §06. 不 等 式 71.常用不等式: (1) ,a b R  2 2 2a b ab  (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) ,a b R  2 a b ab  (当且仅当 a=b 时取“=”号). (3) 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c      (4)柯西不等式 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R     (5) bababa  . 72.极值定理 已知 yx, 都是正数,则有 (1)若积 xy是定值 p,则当 yx  时和 yx  有最小值 p2 ; (2)若和 yx  是定值 s,则当 yx  时积 xy有最大值 2 4 1 s . 推广 已知 Ryx , ,则有 xyyxyx 2)()( 22  (1)若积 xy是定值,则当 || yx  最大时, || yx  最大; 当 || yx  最小时, || yx  最小. (2)若和 || yx  是定值,则当 || yx  最大时, || xy 最小; 当 || yx  最小时, || xy 最大. 73.一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c   或 2( 0, 4 0)a b ac     ,如果 a 与 2ax bx c  同号,则其解集在两根之外;如果 a与 2ax bx c  异号,则其解集在两 根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x       ; 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x      或 . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有 22x a x a a x a       . 2 2x a x a x a     或 x a  . 75.无理不等式 (1) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x       . (2) 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x f x g x g x g x f x g x        或 . (3) 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x       . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ; ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       . (2)当0 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ; ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       §07. 直线和圆的方程 77.斜率公式 2 1 2 1 y yk x x    ( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ). 78.直线的五种方程 (1)点斜式 1 1( )y y k x x   (直线 l过点 1 1 1( , )P x y ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y kx b  (b 为直线 l在 y轴上的截距). (3)两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      ( 1 2y y )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 1 2x x )). (4)截距式 1x y a b   ( a b、 分别为直线的横、纵截距, 0a b 、 ) (5)一般式 0Ax By C   (其中 A、B不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 1 1 1:l y k x b  , 2 2 2:l y k x b  ① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b   ; ② 1 2 1 2 1l l k k    . (2)若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,且 A1、A2、B1、B2都不为零, ① 1 1 1 1 2 2 2 2 || A B Cl l A B C    ; ② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B    ; 80.夹角公式 (1) 2 1 2 1 tan | | 1 k k k k     . ( 1 1 1:l y k x b  , 2 2 2:l y k x b  , 1 2 1k k   ) (2) 1 2 2 1 1 2 1 2 tan | |A B A B A A B B     . ( 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   , 1 2 1 2 0A A B B  ). 直线 1 2l l 时,直线 l1与 l2的夹角是 2  . 81. 1l 到 2l 的角公式 (1) 2 1 2 1 tan 1 k k k k     . ( 1 1 1:l y k x b  , 2 2 2:l y k x b  , 1 2 1k k   ) (2) 1 2 2 1 1 2 1 2 tan A B A B A A B B     . ( 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   , 1 2 1 2 0A A B B  ). 直线 1 2l l 时,直线 l1到 l2的角是 2  . 82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 0 0 0( , )P x y 的直线系方程为 0 0( )y y k x x   (除直线 0x x ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 0 0 0( , )P x y 的 直 线 系 方 程 为 0 0( ) ( ) 0A x x B y y    ,其中 ,A B是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   的交 点的直线系方程为 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C      (除 2l ),其中λ是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y kx b  中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 0Ax By C   平行的直线系方程是 0Ax By    ( 0  ),λ是 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 0Ax By C   (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 0Bx Ay    ,λ是参变量. 83.点到直线的距离 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B     (点 0 0( , )P x y ,直线 l: 0Ax By C   ). 84. 0Ax By C   或 0 所表示的平面区域 设直线 : 0l Ax By C   ,则 0Ax By C   或 0 所表示的平面区域是: 若 0B  ,当 B与 Ax By C  同号时,表示直线 l的上方的区域;当 B与 Ax By C  异号时,表示直线 l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 0B  ,当 A与 Ax By C  同号时,表示直线 l的右方的区域;当 A与 Ax By C  异号时,表示直线 l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     或 0 所表示的平面区域 设曲线 1 1 1 2 2 2: ( )( ) 0C A x B y C A x B y C     ( 1 2 1 2 0A A B B  ),则 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     或 0 所表示的平面区域是: 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     所表示的平面区域上下两部分; 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r    . (2)圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F     ( 2 2 4D E F  >0). (3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r        . (4)圆的直径式方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y      (圆的直径的端点是 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ). 87. 圆系方程 (1)过点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 的圆系方程是 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x x            1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c          , 其 中 0ax by c   是 直 线 AB的方程,λ是待定的系数. (2)过直线 l : 0Ax By C   与圆C : 2 2 0x y Dx Ey F     的交点的圆系方程 是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C        ,λ是待定的系数. (3) 过圆 1C : 2 2 1 1 1 0x y D x E y F     与圆 2C : 2 2 2 2 2 0x y D x E y F     的交 点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F          ,λ是待定的 系数. 88.点与圆的位置关系 点 0 0( , )P x y 与圆 222 )()( rbyax  的位置关系有三种 若 2 2 0 0( ) ( )d a x b y    ,则 d r 点 P在圆外; d r 点 P在圆上; d r 点 P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax  的位置关系有三种: 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd . 其中 22 BA CBbAa d    . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, dOO 21 条公切线外离 421  rrd ; 条公切线外切 321  rrd ; 条公切线相交 22121  rrdrr ; 条公切线内切 121  rrd ; 无公切线内含  210 rrd . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 2 2 0x y Dx Ey F     . ①若已知切点 0 0( , )x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y yx x y y F       . 当 0 0( , )x y 圆外时, 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y yx x y y F       表示过两个切点 的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 0 0( )y y k x x   ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b  ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 2 2 2x y r  . ①过圆上的 0 0 0( , )P x y 点的切线方程为 2 0 0x x y y r  ; ②斜率为 k的圆的切线方程为 21y kx r k   . §08. 圆锥曲线方程 92.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的参数方程是 cos sin x a y b      . 93.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     焦半径公式 )( 2 1 c axePF  , )( 2 2 x c aePF  . 94.椭圆的的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . (2)点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . (2)过椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . ( 3 ) 椭 圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     与 直 线 0Ax By C   相 切 的 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b c  . 96.双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的焦半径公式 2 1 | ( ) |aPF e x c   , 2 2 | ( ) |aPF e x c   . 97.双曲线的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . (2)点 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为 12 2 2 2  b y a x 渐近线方程: 2 2 2 2 0x y a b    x a by  . (2)若渐近线方程为 x a by   0 b y a x 双曲线可设为  2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与 12 2 2 2  b y a x 有公共渐近线,可设为  2 2 2 2 b y a x ( 0 ,焦点在 x 轴上, 0 ,焦点在 y 轴上). 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . (2)过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . ( 3 ) 双 曲 线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     与 直 线 0Ax By C   相 切 的 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b c  . 100. 抛物线 pxy 22  的焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0)y px p  焦半径 0 2 pCF x  . 过焦点弦长 pxxpxpxCD  2121 22 . 101.抛物线 pxy 22  上的动点可设为 P ), 2 ( 2   y p y 或 或)2,2( 2 ptptP P ( , )x y  ,其中 2 2y px  . 102.二次函数 2 2 2 4( ) 2 4 b ac by ax bx c a x a a        ( 0)a  的图象是抛物线:(1)顶 点坐标为 24( , ) 2 4 b ac b a a   ;(2)焦点的坐标为 24 1( , ) 2 4 b ac b a a    ;(3)准线方程是 24 1 4 ac by a    . 103.抛物线的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p  的内部 2 2 ( 0)y px p   . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p  的外部 2 2 ( 0)y px p   . (2)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p   的内部 2 2 ( 0)y px p    . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p   的外部 2 2 ( 0)y px p    . (3)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p  的内部 2 2 ( 0)x py p   . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p  的外部 2 2 ( 0)x py p   . (4) 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p  的内部 2 2 ( 0)x py p   . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p   的外部 2 2 ( 0)x py p    . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 pxy 22  上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0( )y y p x x  . ( 2 ) 过 抛 物 线 pxy 22  外 一 点 0 0( , )P x y 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 0 0( )y y p x x  . (3)抛物线 2 2 ( 0)y px p  与直线 0Ax By C   相切的条件是 2 2pB AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 1( , ) 0f x y  , 2 ( , ) 0f x y  的交点的曲线系方程是 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x y  (为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 2 2 2 2 1x y a k b k     ,其中 2 2max{ , }k a b .当 2 2min{ , }k a b 时,表示椭圆; 当 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b  时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y    或 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y co          ( 弦 端 点 A ),(),,( 2211 yxByx ,由方程      0)y,x(F bkxy 消去 y 得到 02  cbxax , 0  , 为直 线 AB的倾斜角, k为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 ( , ) 0F x y  关于点 0 0( , )P x y 成中心对称的曲线是 0 0(2 - , 2 ) 0F x x y y  . (2)曲线 ( , ) 0F x y  关于直线 0Ax By C   成轴对称的曲线是 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x y A B A B          . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F      ,用 0x x代 2x ,用 0y y代 2y , 用 0 0 2 x y xy 代 xy,用 0 2 x x 代 x,用 0 2 y y 代 y即得方程 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 x y xy x x y yAx x B Cy y D E F            ,曲线的切线,切点弦,中点 弦,弦中点方程均是此方程得到. §09. 立体几何 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以 公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b存在实数λ使 a=λb. P A B、 、 三点共线 ||AP AB  AP t AB    (1 )OP t OA tOB      . ||AB CD  AB  、CD  共线且 AB CD、 不共线 AB tCD   且 AB CD、 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的存在实数对 ,x y ,使 p ax by  . 推论 空间一点 P位于平面 MAB 内的存在有序实数对 ,x y ,使MP xMA yMB     , 或对空间任一定点 O,有序实数对 ,x y,使OP OM xMA yMB       . 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP xOA yOB zOC       ( x y z k   ),则当 1k  时,对于空间任一点O,总有 P、A、B、C 四点共面;当 1k  时,若O平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若O平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面. C A B、 、 、D 四点共面 AD  与 AB  、 AC  共面 AD xAB yAC      (1 )OD x y OA xOB yOC         (O平面 ABC). 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使OP xOA yOB zOC       . 121.射影公式 已知向量 AB  =a 和轴 l,e 是 l上与 l同方向的单位向量.作 A 点在 l上的射影 'A,作 B 点在 l上的射影 'B ,则 ' ' | | cosAB AB  〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a= 1 2 3( , , )a a a ,b= 1 2 3( , , )b b b 则 (1)a+b= 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b   ; (2)a-b= 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b   ; (3)λa= 1 2 3( , , )a a a   (λ∈R); (4)a·b= 1 1 2 2 3 3a b a b a b  ; 123.设 A 1 1 1( , , )x y z ,B 2 2 2( , , )x y z ,则 AB OB OA     = 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z   . 124.空间的线线平行或垂直 设 1 1 1( , , )a x y z r , 2 2 2( , , )b x y z r ,则 a b r r P  ( 0)a b b  r r r r  1 2 1 2 1 2 x x y y z z         ; a b r r  0a b  r r  1 2 1 2 1 2 0x x y y z z   . 125.夹角公式 设 a= 1 2 3( , , )a a a ,b= 1 2 3( , , )b b b ,则 cos〈a,b〉= 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b       . 推论 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b       ,此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD中, AC与 BD所成的角为 ,则 2 2 2 2| ( ) ( ) |cos 2 AB CD BC DA AC BD       . 127.异面直线所成角 cos | cos , |a b  r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z          r r r r (其中(0 90 o o )为异面直线 a b, 所成角, ,a b r r 分别表示异面直线 a b, 的方向向量) 128.直线 AB与平面所成角 sin | || | AB marc AB m        (m  为平面的法向量). 129.若 ABC 所在平面若  与过若 AB的平面 成的角 ,另两边 AC , BC与平面  成的角分别是 1 、 2 , A B、 为 ABC 的两个内角,则 2 2 2 2 2 1 2sin sin (sin sin )sinA B     . 特别地,当 90ACB   时,有 2 2 2 1 2sin sin sin    . 130.若 ABC 所在平面若  与过若 AB的平面 成的角 ,另两边 AC , BC与平面 成的角分别是 1 、 2 , ' 'A B、 为 ABO 的两个内角,则 2 2 2 ' 2 ' 2 1 2tan tan (sin sin ) tanA B     . 特别地,当 90AOB   时,有 2 2 2 1 2sin sin sin    . 131.二面角 l   的平面角 cos | || | m narc m n        或 cos | || | m narc m n        (m  , n  为平面,  的法向量). 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 1 ,AB 与 AC 所成的角为 2 ,AO 与 AC 所成的角为 .则 1 2cos cos cos   . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 , 2 ,与二 面角的棱所成的角是θ,则有 2 2 2 2 1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cos         ; 1 2 1 2| | 180 ( )         (当且仅当 90   时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A 1 1 1( , , )x y z ,B 2 2 2( , , )x y z ,则 ,A Bd = | |AB AB AB     2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z      . 135.点Q到直线 l距离 2 21 (| || |) ( ) | | h a b a b a    (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA  ,向量 b= PQ  ). 136.异面直线间的距离 | | | | CD nd n      ( 1 2,l l 是两异面直线,其公垂向量为 n  ,C D、 分别是 1 2,l l 上任一点,d 为 1 2,l l 间的距离). 137.点 B到平面的距离 | | | | AB nd n      ( n  为平面的法向量, AB是经过面的一条斜线, A  ). 138.异面直线上两点距离公式 2 2 2 2 cosd h m n mn     . 2 2 2 '2 cos ,d h m n mn EA AF      . 2 2 2 2 cosd h m n mn     ( 'E AA F    ). (两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 'AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F, 'AE m , AF n , EF d ). 139.三个向量和的平方公式 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a                       2 2 2 2 | | | | cos , 2 | | | | cos , 2 | | | | cos ,a b c a b a b b c b c c a c a                        140. 长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 1 2 3l l l、 、 ,夹角分 别为 1 2 3  、 、 ,则有 2 2 2 2 1 2 3l l l l   2 2 2 1 2 3cos cos cos 1      2 2 2 1 2 3sin sin sin 2      . (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理 ' cos SS   . (平面多边形及其射影的面积分别是 S、 'S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和V 斜棱柱 ,它的直截面的周长和 面积分别是 1c 和 1S ,则 ① 1S c l 斜棱柱侧 . ② 1V S l 斜棱柱 . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形 是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E   (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: 1 2 E nF ; (2)若每个顶点引出的棱数为m,则顶点数 V 与棱数 E的关系: 1 2 E mV . 146.球的半径是 R,则 其体积 34 3 V R , 其表面积 24S R . 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为 6 12 a ,外接球的半径为 6 4 a . 148.柱体、锥体的体积 1 3 V Sh柱体 ( S是柱体的底面积、 h是柱体的高). 1 3 V Sh锥体 ( S是锥体的底面积、 h是锥体的高). §10. 排列组合二项定理 149.分类计数原理(加法原理) 1 2 nN m m m    . 150.分步计数原理(乘法原理) 1 2 nN m m m    . 151.排列数公式 m nA = )1()1(  mnnn  = ! ! )( mn n  .( n,m∈N * ,且m n ). 注:规定 1!0  . 152.排列恒等式 (1) 1( 1)m m n nA n m A    ; (2) 1 m m n n nA A n m   ; (3) 1 1 m m n nA nA   ; (4) 1 1 n n n n n nnA A A   ; (5) 1 1 m m m n n nA A mA     . (6) 1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n          . 153.组合数公式 m nC = m n m m A A = m mnnn     21 )1()1( = !! ! )( mnm n  ( n∈N * ,m N ,且m n ). 154.组合数的两个性质 (1) m nC = mn nC  ; (2) m nC + 1m nC = m nC 1 . 注:规定 10 nC . 155.组合恒等式 (1) 11m m n n n mC C m    ; (2) 1 m m n n nC C n m   ; (3) 1 1 m m n n nC C m   ; (4)  n r r nC 0 = n2 ; (5) 1 121    r n r n r r r r r r CCCCC  . (6) nn n r nnnn CCCCC 2210   . (7) 1420531 2  n nnnnnn CCCCCC  . (8) 1321 232  nn nnnn nnCCCC  . (9) r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC    0110  . (10) n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()(   . 156.排列数与组合数的关系 m m n nA m C ! . 157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n个元素中取m个元素的排列. (1)“在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 1 1   m nA 种;②某(特)元不在某位有 1 1   m n m n AA (补集思想) 1 1 1 1   m nn AA (着眼位置) 1 1 1 11    m nm m n AAA (着眼元素)种. (2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: )( nmkk  个元在固定位的排列有 km kn k k AA   种. ②浮动紧贴:n个元素的全排列把 k个元排在一起的排法有 k k kn kn AA 1 1   种.注:此类问题 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( 1 hk ),把它们合在一起来作全排列,k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h AA 1 种. (3)两组元素各相同的插空 m个大球 n个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 1 mn 时,无解;当 1 mn 时,有 n mn n n m C A A 1 1    种排法. (4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 n nmC  . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人,各得 n件,其分配 方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22    . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m · n个物体等分为无记号或无顺序的m堆,其 分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22     . (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给m个人,物件 必须被分完,分别得到 1n , 2n ,…, mn 件,且 1n , 2n ,…, mn 这m个数彼此不相等,则 其分配方法数共有 !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m   . (4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给m个人, 物件必须被分完,分别得到 1n , 2n ,…, mn 件,且 1n , 2n ,…, mn 这m个数中分别有 a、 b、c、…个相等,则其分配方法数有 !...!! !...2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p    1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c  . (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为任意的 1n , 2n ,…, mn 件无记号的m堆,且 1n , 2n ,…, mn 这m个数彼此不相等,则其分配方法 数有 !!...! ! 21 mnnn pN  . (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为任意的 1n , 2n ,…, mn 件无记号的m堆,且 1n , 2n ,…, mn 这m个数中分别有 a、b、c、…个 相等,则其分配方法数有 !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m  . (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( 2 mp n n n 1+ + + )个物体分给甲、乙、 丙,……等m个人,物体必须被分完,如果指定甲得 1n 件,乙得 2n 件,丙得 3n 件,…时, 则无论 1n , 2n ,…, mn 等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m   . 159.“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n封信与n个信封全部错位的组合数为 1 1 1 1( ) ![ ( 1) ] 2! 3! 4! ! nf n n n       . 推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m                   1 2 3 4 1 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C Cn A A A A A A             . 160.不定方程 2 nx x x m1+ + + 的解的个数 (1)方程 2 nx x x m1+ + + ( ,n m N  )的正整数解有 1 1 m nC   个. (2) 方程 2 nx x x m1+ + + ( ,n m N  )的非负整数解有 1 1 n m nC    个. (3) 方程 2 nx x x m1+ + + ( ,n m N  )满足条件 ix k ( k N  , 2 1i n   ) 的非负整数解有 1 1 ( 2)( 1)m n n kC      个. (4) 方程 2 nx x x m1+ + + ( ,n m N  )满足条件 ix k ( k N  , 2 1i n   ) 的正整数解有 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1) n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C                         个. 161.二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba   222110)( ; 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT   1 )210( nr ,,,  . §11、12. 概率与统计 162.等可能性事件的概率 ( ) mP A n  . 163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率 ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P   168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) 0( 1,2, )iP i   ; (2) 1 2 1P P   . 169.数学期望 1 1 2 2 n nE x P x P x P       170.数学期望的性质 (1) ( ) ( )E a b aE b    . (2)若 ~ ( , )B n p ,则 E np  . (3) 若 服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p    ,则 1E p   . 171.方差      2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E p               172.标准差  = D . 173.方差的性质 (1)   2D a b a D   ; (2)若 ~ ( , )B n p ,则 (1 )D np p   . (3) 若 服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p    ,则 2 qD p   . 174.方差与期望的关系  22D E E    . 175.正态分布密度函数       2 2261 , , 2 6 x f x e x         ,式中的实数μ, ( >0)是参数,分别表 示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数     2 21 , , 2 6 x f x e x       . 177.对于 2( , )N   ,取值小于 x 的概率   xF x         .      12201 xxPxxPxxxP     2 1F x F x  2 1x x                  . 178.回归直线方程 y a bx  ,其中       1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx                      . 179.相关系数     1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y                1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i x x y y x nx y ny            . |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. §13. 极 限 180.特殊数列的极限 (1) 0 | | 1 lim 1 1 | | 1 1 n n q q q q q        不存在 或 . (2) 1 1 0 1 1 0 0 ( ) lim ( ) ( ) k k k k t t tn t t k k t a n a n a a k t b n b n b b k t                     不存在 . (3)  1 1 1 lim 1 1 n n a q aS q q      ( S无穷等比数列  1 1 na q  ( | | 1q  )的和). 181. 函数的极限定理 0 lim ( ) x x f x a    0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x a      . 182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0的附近满足: (1) ( ) ( ) ( )g x f x h x  ; (2) 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x g x a h x a     (常数),则 0 lim ( ) x x f x a   . 本定理对于单侧极限和 x 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 (1) 1lim 0 n n  , lim 0n n a   ( | | 1a  ); (2) 0 0lim x x x x   , 0 0 1 1lim x x x x  . 184.两个重要的极限 (1) 0 sinlim 1 x x x  ; (2) 1lim 1 x x e x       (e=2.718281845…). 185.函数极限的四则运算法则 若 0 lim ( ) x x f x a   , 0 lim ( ) x x g x b   ,则 (1)     0 lim x x f x g x a b       ; (2)     0 lim x x f x g x a b       ; (3)       0 lim 0 x x f x a b g x b   . 186.数列极限的四则运算法则 若 lim , limn nn n a a b b     ,则 (1)  lim n nn a b a b     ; (2)  lim n nn a b a b     ; (3)  lim 0n n n a a b b b   (4)  lim lim limn nn n n c a c a c a         ( c是常数). §14. 导 数 187. )(xf 在 0x 处的导数(或变化率或微商) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x x x f x x f xyf x y x x             . 188.瞬时速度 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t s s t t s ts t t t              . 189.瞬时加速度 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t v v t t v ta v t t t            . 190. )(xf 在 ),( ba 的导数 ( ) dy dff x y dx dx     0 0 ( ) ( )lim lim x x y f x x f x x x            . 191. 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数的几何意义 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 )( 0xf  ,相应的切线方程是 ))(( 000 xxxfyy  . 192.几种常见函数的导数 (1) 0C (C 为常数). (2) ' 1( ) ( )n nx nx n Q  . (3) xx cos)(sin  . (4) xx sin)(cos  . (5) x x 1)(ln  ; e a x x a log1)(log  . (6) xx ee )( ; aaa xx ln)(  . 193.导数的运算法则 (1) ' ' '( )u v u v   . (2) ' ' '( )uv u v uv  . (3) ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv v v v    . 194.复合函数的求导法则 设函数 ( )u x 在点 x处有导数 ' ' ( )xu x ,函数 )(ufy  在点 x处的对应点 U 处有 导数 ' ' ( )uy f u ,则复合函数 ( ( ))y f x 在点 x 处有导数,且 ' ' ' x u xy y u  ,或写作 ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u x  . 195.常用的近似计算公式(当 x 充小时) (1) xx 2 111  ; x n xn 111  ; (2) (1 ) 1 ( )x x R      ; x x   1 1 1 ; (3) xex 1 ; (4) xxln  )1( ; (5) xx sin ( x为弧度); (6) xx tan ( x为弧度); (7) xx arctan ( x为弧度) 196.判别 )( 0xf 是极大(小)值的方法 当函数 )(xf 在点 0x 处连续时, (1)如果在 0x 附近的左侧 0)(  xf ,右侧 0)(  xf ,则 )( 0xf 是极大值; (2)如果在 0x 附近的左侧 0)(  xf ,右侧 0)(  xf ,则 )( 0xf 是极小值. §15. 复 数 197.复数的相等 ,a bi c di a c b d      .( , , ,a b c d R ) 198.复数 z a bi  的模(或绝对值) | |z = | |a bi = 2 2a b . 199.复数的四则运算法则 (1) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       ; (2) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       ; (3) ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i      ; (4) 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d            . 200.复数的乘法的运算律 对于任何 1 2 3, ,z z z C ,有 交换律: 1 2 2 1z z z z   . 结合律: 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     . 分配律: 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z      . 201.复平面上的两点间的距离公式 2 2 1 2 2 1 2 1| | ( ) ( )d z z x x y y      ( 1 1 1z x y i  , 2 2 2z x y i  ). 202.向量的垂直 非零复数 1z a bi  , 2z c di  对应的向量分别是 1OZ  , 2OZ  ,则 1 2OZ OZ    1 2z z 的实部为零 2 1 z z 为纯虚数 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z    2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z    1 2 1 2| | | |z z z z    0ac bd   1 2z iz (λ为非 零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0ax bx c   , ①若 2 4 0b ac    ,则 2 1,2 4 2 b b acx a     ; ②若 2 4 0b ac    ,则 1 2 2 bx x a    ; ③若 2 4 0b ac    ,它在实数集 R内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共轭 复数根 2 2( 4 ) ( 4 0) 2 b b ac i x b ac a        .