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- 2021-07-01 发布
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圆与圆的位置关系(2)
教学目标:掌握圆与圆的公切线,综合问题
教学重点:掌握圆与圆的公切线、综合问题
教学过程:
例1、已知两圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0,C2:x2+y2-8x+4y+7=0。
(1)证明此两圆相切,并求过切点的公切线;(2)求过点(2,3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程。
解:方法一(1)两圆的方程可化为:(x+2)2+(y-2)2=13,和(x-4)2+(y+2)2=13。
又知圆(x,y)到(1,0)的距离与到(2,3)的距离相等。∴(x-1)2+y2=(x-2)2+(y-3)2
方法二:(1)两圆方程相减得12x-8y-12=0,即3x-2y-3=0为根轴方程。
故根轴为所求的切线。
(3)设所求的圆的方程为
(x2+y2+4x-4y-5)+λ(x2+y2-8x+4y+7)=0,∵所求圆通过点(2,3),将
故所求圆方程为3x2+3y2+24x-20y-27=0。
例2、斜率为1的圆x2+y2=4的一组平行弦的中点轨迹方程是_____
例3、已知圆方程(x-1)2+y2=1过原点O作圆的任意弦,则这些弦的中点M的轨迹方程是___
例4、点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆:x2+y2+4x+2y-1=0上,则|PQ|的最小值是____
例5、自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
【分析】 由于直线l过A(-3,3),因此欲求直线l的方程,只需求出其斜率k,这就要例出以k为未知数的一个方程,而建立方程的依据是:∠AB1x′=∠P1Bx,B1P1和⊙C相切,如图,B1,B2是光线与x轴交点,P1,P2是反射线与已知圆C的切点.
方法一:由∠AB1x′=∠PB1x,得入射线与反射线的斜率互为相反数,于是,设直线l的斜率为k,则:
=0. ①
将k值分别代入方程①中,整理化简得方程:3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
方法二:借助一个间接未知数,设入射点B的坐标为(t,0),则反
方法三:根据镜面反射原理知,既然反射线与⊙C相切,那么入射线所在直线一定和与⊙C关于x轴对称的⊙C′相切,C′的坐标为(2,
方法四:设两个未知数,列二元方程组
设入射线所在直线的方程为y-3=k(x+3),反射线所在直线方程为y=-kx+b,由后者与⊙C相切,且入射线、反射线的横截距相等,得
课堂练习:略
小结:掌握圆与圆的公切线、综合问题
课后作业:略
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