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  • 2021-07-01 发布

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业:3

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www.ks5u.com 课时分层作业(二十) ‎ ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.已知点M是平面α内的动点,F1,F2是平面α内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C [若点M到点F1,F2的距离之和恰好为F1,F2两点之间的距离,则点M的轨迹不是椭圆,所以前者不能推出后者.根据椭圆的定义,椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前者,故前者是后者的必要不充分条件,故选C.]‎ ‎2.椭圆+=1的焦点坐标是(  )‎ A.(±5,0) B.(0,±5)‎ C.(0,±12) D.(±12,0)‎ C [由标准方程知,椭圆的焦点在y轴上,且c2=169-25=144,∴c=±12,‎ 故焦点为(0,±12).]‎ ‎3.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1或+=1‎ C.+=1 D.+=1或+=1‎ B [∵2c=|F1F2|=2,∴c=.‎ ‎∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,∴a=2.‎ ‎∴b2=a2-c2=9.‎ 故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.]‎ ‎4.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于(  )‎ A.5 B.4‎ C.3 D.1‎ B [由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4,故选B.]‎ ‎5.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(  )‎ A.5 B.7‎ C.13 D.15‎ B [由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.]‎ 二、填空题 ‎6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为____________.‎ +=1 [由题意知解得则b2=a2-c2=3,‎ 故椭圆的标准方程为+=1.]‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0),B(4,0),点C在椭圆+=1上,则=________.‎  [由题意知|AB|=8,|AC|+|BC|=10,所以===.]‎ ‎8.已知P是椭圆+=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2‎ ‎=30°,则△F1PF2的面积是________.‎ ‎8-4 [由椭圆的标准方程,知a=,b=2,‎ ‎∴c==1,∴|F1F2|=2.‎ 又由椭圆的定义,知 ‎|PF1|+|PF2|=2a=2.‎ 在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,‎ 即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 30°,‎ 即4=20-(2+)|PF1|·|PF2|,‎ ‎∴|PF1|·|PF2|=16(2-).‎ ‎∴S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×16(2-)×=8-4.]‎ 三、解答题 ‎9.已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.‎ ‎[解] 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).‎ ‎∵F1A⊥F2A,∴·=0,‎ 而=(-4+c,3),‎ =(-4-c,3),‎ ‎∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.‎ ‎∴F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎∴2a=|AF1|+|AF2|‎ ‎=+ ‎=+=4.‎ ‎∴a=2,∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎10.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.‎ ‎[解] 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.‎ 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>2.‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外),则a=2,c=1,故b2=a2-c2=4-1=3,故所求C的方程为+=1(x≠-2).‎ ‎11.(多选题)下列说法中错误的是(  )‎ A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 ABD [A中,|F1F2|=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误;B中,到F1,F2两点的距离之和等于6,小于|F1F2|,这样的轨迹不存在,所以B错误;C中,点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和为+=4>|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆,所以C正确;D中,轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误.故选ABD.]‎ ‎12.若α∈,方程x2sin α+y2cos α=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. A [易知sin α≠0,cos α≠0,方程x2sin α+y2cos α=1可化为+=1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以>>0,即sin α>cos α>0.又α∈,所以<α<.]‎ ‎13.(一题两空)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=________.若∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是________.‎ ‎120° 2 [由题得a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,∴c=,∴|F1F2|=2.‎ ‎∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.‎ ‎∴cos∠F1PF2= ‎==-,又0<∠F1PF2<180°,‎ ‎∴∠F1PF2=120°.‎ 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=28,‎ 配方得(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=28,‎ ‎∴36-2|PF1||PF2|=28,即|PF1||PF2|=4,∴S=|PF1||PF2|=2.]‎ ‎14.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=________.‎ ‎2 [设正三角形POF2的边长为c,则c2=,‎ 解得c=2,从而|OF2|=|PF2|=2,‎ 连接PF1(略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1⊥PF2,‎ 则|PF1|===2,‎ 所以2a=|PF1|+|PF2|=2+2,即a=+1,‎ 所以b2=a2-c2=(+1)2-4=2.]‎ ‎15.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.‎ ‎[解] (1)依题意,知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,‎ 所以a2-a2=1,即a2=1,所以a2=4,b2=3,‎ 故椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由于点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得cos∠F1PF2==.‎ 故∠F1PF2的余弦值等于.‎