2020版高中数学 第3章 不等式3.4 不等式的实际应用 8页

‎3.4　不等式的实际应用 ‎1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)‎ ‎2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理　不等式的实际应用 阅读教材P81～P83，完成下列问题.‎ ‎1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.‎ ‎2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.‎ ‎3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：‎ ‎(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；‎ ‎(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；‎ ‎(3)解不等式；‎ ‎(4)回答实际问题.‎ ‎1.有如图341所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来为________.‎ 图341‎ ‎【解析】　图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.‎ 设图(1)面积为S1，则S1＝＋，图(2)面积为S2，则S2＝ab，∴a2＋b2＞ab.‎ ‎【答案】　图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积 8‎ a2＋b2>ab ‎2.一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多‎19 km，那么在8天内它的行程超过2 ‎200 km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少‎12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.‎ ‎【解析】　原来每天行驶x km，‎ 现在每天行驶(x＋19) km.‎ 则不等关系“在8天内的行程超过2 ‎200 km”，‎ 写成不等式为8(x＋19)>2 200.‎ 若每天行驶(x－12) km，‎ 则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.‎ ‎【答案】　8(x＋19)>2 200　>9 ‎ ‎[小组合作型]‎ 比较法在实际问题中的应用 ‎　(1)某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：‎ 方案(1)先降价a%，再降价b%；‎ 方案(2)先降价b%，再降价a%；‎ 方案(3)先降价%，再降价%；‎ 方案(4)一次性降价(a＋b)%.‎ 其中a＞0，b＞0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是(　　)‎ A.方案(1)　　　　　　 B.方案(2)‎ C.方案(3) D.方案(4)‎ ‎(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进‎100 kg大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.‎ ‎【精彩点拨】　首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.‎ 8‎ ‎【自主解答】　设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为：‎ ‎(1)(1－a%)(1－b%)；(2)(1－b%)(1－a%)；‎ ‎(3)2；(4)1－(a＋b)%.‎ 由于(1－a%)(1－b%)＝(1－b%)·(1－a%)≤2＝2，‎ 且(1－a%)(1－b%)＞1－(a＋b)%，‎ 所以方案(3)降价后价格最高.‎ ‎(2)设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a、b＞0，a≠b)，则甲两次购买大米的平均价格是＝元/千克；‎ 乙两次购买大米的平均价格是＝＝元/千克.‎ ‎∵－＝＝＞0，‎ ‎∴＞.‎ ‎∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)乙 比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.如图342(2)，一圆柱的底面半径为5 dm，高为5 dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？‎ 路线1：侧面展开图中的线段AC.如图(1)所示：‎ 路线2：高线AB＋底面直径BC.如图(2)所示：‎ ‎(1)　　　　　　　　　(2)‎ 图342‎ ‎【解】　设路线1的长度为l1，‎ 则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.‎ 设路线2的长度为l2，‎ 则l＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.‎ 8‎ ‎∵l－l＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l>l，∴l1>l2.所以选择路线2较短.‎ 一元二次不等式的实际应用 ‎　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.‎ ‎(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；‎ ‎(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.‎ ‎【精彩点拨】　认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.‎ ‎【自主解答】　(1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为‎200a(1＋2x%).‎ 依题意：y＝‎200a(1＋2x%)(10－x)%‎ ‎＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).‎ ‎(2)原计划税收为‎200a·10%＝‎20a(万元).‎ 依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥‎20a×83.2%，‎ 化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.‎ 又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是(0,2].‎ 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.某市新建一处公园，要对园内一块长为‎800 m，宽为‎600 m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围. ‎ ‎【导学号：18082048】‎ ‎【解】　设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0100，‎ ‎∴x1－x2<0，x1x2－100>0，‎ ‎∴<0，f(x1)－f(x2)<0，‎ ‎∴函数f(x)＝x＋在[35，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴当x≥35时，f(x)min＝f(35).‎ 所以，当x＝35时，Y2有最小值，此时Y2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.‎ 求实际问题中最值的一般思路：‎ (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式.‎ (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.‎ (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.‎ (4)正确写出答案.‎ 8‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).‎ ‎(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；‎ ‎(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？‎ ‎(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ ‎【解】　(1)依题意得 y＝(560＋48x)＋ ‎＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋).‎ ‎(2)∵x>0，‎ ‎∴48x＋≥2 ‎＝1 440，‎ 当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.‎ ‎1.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　)‎ A.{x|－1≤x<0} B.{x|0600，‎ 即x2－50x＋600<0，‎ 解得20