【数学】2020一轮复习北师大版（理）28　数列的概念与表示作业 5页

课时规范练28　数列的概念与表示 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　)‎ A.1,‎1‎‎2‎‎,‎1‎‎3‎,‎‎1‎‎4‎,…‎ B.-1,-2,-3,-4,…‎ C.-1,-‎1‎‎2‎,-‎1‎‎4‎,-‎1‎‎8‎,…‎ D.1,‎2‎‎,‎‎3‎,…,‎n ‎2.数列1,‎2‎‎3‎‎,‎3‎‎5‎,‎4‎‎7‎,‎‎5‎‎9‎,…的一个通项公式an=(　　)‎ A.n‎2n+1‎ B.n‎2n-1‎ C.n‎2n-3‎ D.‎n‎2n+3‎ ‎3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N+),则an=(　　)‎ A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.‎‎2‎n‎-2‎ ‎4.已知数列{an}满足a1+a2+…+an=2a2(n=1,2,3,…),则(　　)‎ A.a1<0 B.a1>0‎ C.a1≠a2 D.a2=0‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=n+1‎‎2‎an(n∈N+),则S10为(　　)‎ A.50 B.55 C.100 D.110‎ ‎6.已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和Sn=n2an(n∈N+),则a9=(　　)‎ A.‎1‎‎36‎ B.‎1‎‎45‎ C.‎1‎‎55‎ D.‎‎1‎‎66‎ ‎7.在数列{an}中,a1=1,Sn=n+2‎‎3‎an,则an=　　　　　. ‎ ‎8.数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则S5=　　　　　. ‎ ‎9.在数列{an}中,a1=0,an+1=‎3‎‎+‎an‎1-‎‎3‎an,则S2 019=　　　　　. ‎ ‎10.数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.‎ ‎(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.‎ ‎(2)对于n∈N+,都有an+1>an.求实数k的取值范围.‎ 综合提升组 ‎11.在数列{an}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则{an}的前n项和为Sn=(　　)‎ A.n(3n-1) ‎ B.‎n(n+3)‎‎2‎ C.n(n+1) ‎ D.‎n(3n+1)‎‎2‎ ‎12.给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是(　　)‎ A.an=2n2+3n-1 ‎ B.an=n2+5n-5‎ C.an=2n3-3n2+3n-1 ‎ D.an=2n3-n2+n-2‎ ‎13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018=(　　)‎ A.22 018-1 ‎ B.32 018-6‎ C.‎1‎‎2‎2 018-‎7‎‎2‎ ‎ D.‎1‎‎3‎2 018-‎‎10‎‎3‎ ‎14.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18=　　　　　. ‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a‎2‎‎2‎)(a2a4-a‎3‎‎2‎)(a3a5-a‎4‎‎2‎)…(a2 015a2 017-a‎2 016‎‎2‎)=(　　)‎ A.1 B.-1‎ C.2 017 D.-2 017‎ ‎17.(2018衡水中学二调,10)数列{an}满足a1=‎4‎‎3‎,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且Sn=‎1‎a‎1‎‎+‎‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是(　　)‎ A.{0,1,2} ‎ B.{0,1,2,3}‎ C.{1,2} ‎ D.{0,2}‎ 参考答案 课时规范练28　数列的概念与表示 ‎1.C　A项中,数列1,‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎,‎1‎‎4‎,…是递减数列,不符合题意;B项中,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列,不符合题意;C项中,数列-1,-‎1‎‎2‎,-‎1‎‎4‎,-‎1‎‎8‎,…是递增数列又是无穷数列,符合题意;D项中,数列1,‎2‎,‎3‎,…,n是有穷数列,不符合题意,故选C.‎ ‎2.B　由已知得,数列可写成‎1‎‎1‎,‎2‎‎3‎,‎3‎‎5‎,…,故通项为n‎2n-1‎.‎ ‎3.A　当n≥2时,由Sn=2an-4,得Sn-1=2an-1-4,两式相减得an=2an-2an-1,an=2an-1.因此数列{an}为公比为2的等比数列,又a1=S1=2a1-4,则a1=4,所以an=4×2n-1=2n+1.‎ ‎4.D　根据条件Sn=a1+a2+a3+…+an=2a2,Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1=2a2,故两式做差得an=0,故数列的每一项都为0,故选D.‎ ‎5.D　依题意Sn=n+1‎‎2‎(Sn-Sn-1),化简得SnSn-1‎=n+1‎n-1‎,‎ 故S10=S‎10‎S‎9‎·S‎9‎S‎8‎·…·S‎2‎S‎1‎·S1=‎11‎‎9‎×‎10‎‎8‎×‎9‎‎7‎×…×‎4‎‎2‎×‎3‎‎1‎×2=110.‎ ‎6.B　由Sn=n2an,得Sn+1=(n+1)2an+1,‎ 所以an+1=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n+2)an+1=nan,‎ 即an+1‎an=nn+2‎,‎ 所以a9=a‎9‎a‎8‎·a‎8‎a‎7‎·…·a‎2‎a‎1‎·a1=‎8‎‎10‎×‎7‎‎9‎×‎6‎‎8‎×…×‎2‎‎4‎×‎1‎‎3‎×1=‎2‎‎90‎=‎1‎‎45‎.‎ ‎7.n(n+1)‎‎2‎　由题设知,a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2‎‎3‎an-n+1‎‎3‎an-1.‎ ‎∴anan-1‎=n+1‎n-1‎,‎ ‎∴an-1‎an-2‎=nn-2‎,…,a‎4‎a‎3‎=‎5‎‎3‎,a‎3‎a‎2‎=‎4‎‎2‎,a‎2‎a‎1‎=3.‎ 以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘,得ana‎1‎=n(n+1)‎‎2‎.‎ ‎∵a1=1,∴an=n(n+1)‎‎2‎.‎ ‎8.121　由于a‎1‎‎+a‎2‎=4,‎a‎2‎‎=2a‎1‎+1,‎解得a1=1.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得Sn+1=3Sn+1,‎ 所以Sn+1+‎1‎‎2‎=3Sn+‎1‎‎2‎,‎ 所以Sn‎+‎‎1‎‎2‎是以‎3‎‎2‎为首项,3为公比的等比数列,‎ 所以Sn+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎×3n-1,即Sn=‎3‎n‎-1‎‎2‎,所以S5=121.‎ ‎9.0　∵a1=0,an+1=‎3‎‎+‎an‎1-‎‎3‎an,‎ ‎∴a2=‎3‎‎1‎=‎3‎,‎ a3=‎3‎‎+‎‎3‎‎1-‎3‎×‎‎3‎=‎2‎‎3‎‎-2‎=-‎3‎,‎ a4=‎3‎‎-‎‎3‎‎1+‎3‎×‎‎3‎=0,‎ 即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2 019=S3×673=0.‎ ‎10.解 (1)由n2-5n+4<0,解得1an知该数列是一个递增数列,‎ 又an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N+,‎ 所以-k‎2‎<‎3‎‎2‎,即得k>-3.‎ ‎11.C　递推关系am+k=am+ak中,令k=1,得am+1=am+a1=am+2,即am+1-am=2恒成立,据此可知,该数列是一个首项a1=2,公差d=2的等差数列,其前n项和为Sn=na1+n(n-1)‎‎2‎d=2n+n(n-1)‎‎2‎×2=n(n+1).‎ ‎12.C　当n=1时,a1=1,代入四个选项,排除A、D;当n=2时,a2=9,代入B、C选项,B、C都正确;当n=3时,a3=35,代入B、C选项,B错误,C正确,所以选C.‎ ‎13.A　由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),‎ 两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,‎ 即an+1=-2an-3,则an+1+1=-2(an+1),‎ 结合3S1=2a1-3=3a1可得a1=-3,a1+1=-2,‎ 则数列{an+1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,‎ 据此有a2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,‎ ‎∴a2 018=22 018-1.‎ 故选A.‎ ‎14.3　由题意得an+an+1=5⇒an+2+an+1=5⇒an=an+2,所以a18=a2=5-a1=3.‎ ‎15.2n-1　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),‎ 即an=2an-1+1,‎ ‎∴an+1=2(an-1+1).‎ 又a1=S1=2a1-1,∴a1=1.‎ ‎∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,‎ ‎∴an+1=2·2n-1=2n,‎ ‎∴an=2n-1.‎ ‎16.B　∵a1a3-a‎2‎‎2‎=1×2-12=1,a2a4-a‎3‎‎2‎=1×3-22=-1,a3a5-a‎4‎‎2‎=2×5-32=1,…,‎ a2 015a2 017-a‎2 016‎‎2‎=1.‎ ‎∴(a1a3-a‎2‎‎2‎)(a2a4-a‎3‎‎2‎)(a3a5-a‎4‎‎2‎)·…·(a2 015a2 017-a‎2 016‎‎2‎)=11 008×(-1)1 007=-1.‎ ‎17.A　对an+1-1=an(an-1)两边取倒数,得‎1‎an‎-1‎-‎1‎an+1‎‎-1‎=‎1‎an,‎ Sn=‎1‎a‎1‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an=‎1‎a‎1‎‎-1‎-‎1‎a‎2‎‎-1‎+‎1‎a‎2‎‎-1‎-‎1‎a‎3‎‎-1‎+…+‎1‎an‎-1‎-‎1‎an+1‎‎-1‎=3-‎1‎an+1‎‎-1‎,‎ 由an+1-an=‎(an-1)‎‎2‎≥0,an+1≥an,an为递增数列,‎ a1=‎4‎‎3‎,a2=‎13‎‎9‎,a3=‎133‎‎81‎,其中S1=‎1‎a‎1‎,整数部分为0,S2=3-‎9‎‎4‎=‎3‎‎4‎,整数部分为0,S3=‎75‎‎52‎,整数部分为1,由于Sn<3,故选A.‎