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- 2021-07-01 发布
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4.1
一元二次函数
激趣诱思
知识点拨
现准备要围成一个矩形花圃
,
花圃的一边利用足够长的墙
,
另外三边用总长为
32
米的篱笆恰好围成
,
围成的花圃是如图所示的矩形
ABCD
,
设
AB
边的边长为
x
米
,
问当
x
取何值时
,
矩形的面积最大
?
同学们这道题目不陌生吧
,
在初中我们学过了一元二次函数
,
知道了其图象为抛物线
,
并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征
.
本节我们将进一步研究一元二次函数
y=ax
2
+bx+c
(
a
≠0)
的图象的平移
,
函数值的变化趋势
,
最大值或最小值等性质
.
激趣诱思
知识点拨
一、
一元
二次函数的图象及其变换
1
.
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线
.
2
.
一元二次函数
y=a
(
x-h
)
2
+k
的图象可以由
y=ax
2
的图象经过向左
(
或向右
)
平移
|h|
个单位长度
,
再向上
(
或向下
)
平移
|k|
个单位长度而得到
.
名师点
析
一元
二次函数
y=a
(
x-h
)
2
+k
(
a
≠0),
a
决定
了
一元
二次函数
图象的开口大小及方向
;
h
决定
了
一元
二次函数
图象的左右平移
,
而且
“
h
正右移
,
h
负左移
”;
k
决定
了
一元
二次函数
图象的上下平移
,
而且
“
k
正上移
,
k
负下移
”
.
简记为
“
左加右减
,
上加下减
”
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
将
一元
二次函数
y=-
2
x
2
的顶点移到
(
-
3,2)
后
,
得到的新函数的解析式为
.
解析
:
可设新函数的解析式为
y=a
(
x-h
)
2
+k
,
由平移规律知
h=-
3,
k=
2,
因为形状与开口不变
,
故
a=-
2
.
所以新函数的解析式为
y=-
2(
x+
3)
2
+
2
.
答案
:
y=-
2(
x+
3)
2
+
2
激趣诱思
知识点拨
二、一元二次函数的性质
一元
二次函数
y=a
(
x-h
)
2
+k
(
a
≠0)
的性质如下
:
向上
向
下
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案
:
D
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一元
二次函数
图象的平移变换
例
1
抛物线
y=
2(
x-
1)
2
+
3
可以看作是由抛物线
y=
2
x
2
经过以下哪种变换得到的
(
)
A.
向左平移
1
个单位长度
,
再向上平移
3
个单位长度
B.
向右平移
1
个单位长度
,
再向上平移
3
个单位长度
C.
向左平移
1
个单位长度
,
再向下平移
3
个单位长度
D.
向右平移
1
个单位长度
,
再向下平移
3
个单位长度
答案
:
B
解析
:
∵
抛物线
y=
2(
x-
1)
2
+
3
顶点坐标为
(1,3),
抛物线
y=
2
x
2
顶点坐标为
(0,0),
∴
抛物线
y=
2(
x-
1)
2
+
3
可以看作由抛物线
y=
2
x
2
向右平移
1
个单位长度
,
再向上平移
3
个单位长度得到的
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思
感悟
一元
二次函数
图象平移问题的解题策略
(1)
要注意平移的方向
,
即由哪个函数变换到另一个函数
;
(2)
将函数化为
y=a
(
x-h
)
2
+k
(
a
≠0)
的形式
;
(3)
判定
h
与
k
的正负
,
利用
“
左加右减
,
上加下减
”
的规则判定平移的方向和大小
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案
:
B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一元
二次函数
的性质及应用
例
2
(1)
求函数
y=x
2
-
3
x-
7(
x
∈
N
)
的最小值
.
(2)
在区间
[2,3]
上
,
求函数
y=x
2
-
3
x-
7
的最大值与最小值
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
求
一元
二次函数
在闭区间上的最值的方法
一看开口方向
;
二看对称轴和区间的相对位置
,
简称
“
两看法
”
.
只需作出二次函数相关的部分简图
,
利用数形结合法就可以得到问题的解
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究
在
区间
[
-
1,3]
上
,
求函数
y=x
2
-
3
x-
7
的最大值与最小值
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
一元
二次函数
的最
值
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2
.
当自变量
x
的取值范围为闭区间
[
m
,
n
]
时
,
其最值在
m
,
n
,
-
三
者所对应的函数值中取得
,
最值情况如下
:
当
a>
0
时
,
抛物线开口向上
,
①
若
-
∈
[
m
,
n
](
如下图
①
,
②
),
顶点取最小值
,
离对称轴较远点处取得最大值
.
②
若
-
∉
[
m
,
n
](
如下图
③
,
④
),
函数在区间内单调
,
较远端点处取得最大值
,
较近端点处取得最小值
.
当
a<
0
时
,
仍是在顶点处或者端点处来取得最值
,
至于是最大值还是最小值
,
就受对称轴
x
=-
与
区间
[
m
,
n
]
的相对位置的影响了
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
典例
当
x
为何值时
,
函数
y=
(
x-a
1
)
2
+
(
x-a
2
)
2
+
…
+
(
x-a
n
)
2
取最小值
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1
.
将抛物线
y=
(
x-
2)
2
+
1
向左平移
2
个单位长度
,
得到的新
抛物线
的
顶点
坐标是
(
)
A.(4,1) B
.
(0,1)
C
.
(2,3) D
.
(2,
-
1
)
2
.
一元
二次函数
y=-
x
2
+
2
x-
5,
当
x
取全体实数时
,
有
(
)
A.
最大值
-
5 B
.
最小值
-
5
C.
最大值
-
4 D
.
最小值
-
4
答案
:
B
解析
:
∵
二次函数解析式为
y=
(
x-
2)
2
+
1,
∴
顶点坐标
(2,1),
向左平移
2
个单位长度
,
得到的点是
(0,1)
.
答案
:
C
解析
:
配方
,
得
y=-
(
x-
1)
2
-
4,
所以当
x=-
1
时
,
y
max
=-
4
.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3
.
对于
一元
二次函数
y=-
4
x
2
+
8
x-
3,
(1)
指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标
;
(2)
画出它的图象
,
并说明其图象由
y=-
4
x
2
的图象经过怎样平移得来
.
解
:
(1)
函数
y=-
4
x
2
+
8
x-
3
=-
4(
x-
1)
2
+
1
图象的开口向下
;
对称轴方程为
x=
1;
顶点坐标为
(1,1);
(2)
图象如图所示
,
其图象由
y=-
4
x
2
的图象向右平移
1
个单位长度得到
y=-
4(
x-
1)
2
的图象
,
再将
y=-
4(
x-
1)
2
的图象向上平移
1
个单位长度而得
.
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