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- 2021-07-01 发布
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- 1 -
江苏省宿迁市 2019~2020 学年度第二学期高三年级 5 月联考
数学试题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题(请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.已知集合 0A x x , 1,0,1,2B ,则 A B 等于 .
【答案】 1,2
【解析】
试题分析: | 0 1,0,1,2 1,2A B x x
考点:集合运算
【方法点睛】
1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合
类型,是数集、点集还是其他的集合.
2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元
素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
2.若复数 z 满足 2 4iz i (i 是虚数单位),则复数 z 的模等于______.
【答案】 2 5
【解析】
【分析】
由题意可得 2 4 4 2iz ii
,再由复数模的概念即可得解.
【详解】复数 z 满足 2 4iz i ,
2
2
2 4 2 4 4 2i i iz ii i
,
224 2 2 5z .
故答案为: 2 5 .
【点睛】本题考查了复数的运算与复数模的求解,属于基础题.
3.如图所示,运行该流程图,若输入值 2x ,则输出的 y 值为______.
- 2 -
【答案】6
【解析】
【分析】
由题意执行该程序框图,直接计算即可得解.
【详解】 2 0 , 3 2 6y .
故答案为:6.
【点睛】本题考查了程序框图的求解,属于基础题.
4.已知一组数据 4,5,6,6,9,则该组数据的方差是______.
【答案】 14
5
【解析】
【分析】
由题意计算出 x 后,由方差公式直接计算即可得解.
【详解】由题意 4 5 6 6 9 65x ,
2 2 2 2 22 1 144 6 5 6 6 6 6 6 9 65 5S .
故答案为:14
5
.
【点睛】本题考查了数据方差的计算,属于基础题.
5.从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1
名女同学的概率是______.
【答案】 5
6
- 3 -
【解析】
【分析】
由题意分别计算出所有情况数与符合要求的情况数,再结合古典概型概率公式即可得解.
【详解】从 2 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学共有 2
4 6C 种情况,
其中 2 名同学中至少有 1 名女同学有 1 1 2
2 2 2 5C C C 种情况,
故所求概率 5
6P .
故答案为: 5
6
.
【点睛】本题考查了计数原理的应用及古典概型概率的求解,属于基础题.
6.过双曲线
2
2 13
x y 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A , B 两
点,则 AB 的长度为______.
【答案】 4 3
3
【解析】
【分析】
由题意求得双曲线的渐近线方程与右焦点,进而可得点
32, 2 3A
,
32, 2 3B
,即可得
解.
【详解】双曲线
2
2 13
x y 的渐近线方程为 3
3y x ,右焦点为 2,0 ,
则点
32, 2 3A
,
32, 2 3B
,
所以 2 3 2 3 4 3
3 3 3AB
.
故答案为: 4 3
3
.
【点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,属于基础题.
7.已知等差数列 na 中, 1 3a , 5 811 5a a ,则其前 n 项和 nS 的最小值为______.
- 4 -
【答案】﹣4
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的通项公式可得 11 3 4 5 3 7d d ,求出 2d 后,可得
22 4nS n ,即可得解.
【详解】设等差数列 na 的公差为 d ,
5 811 5a a , 1 3a , 11 3 4 5 3 7d d ,解得 2d ,
213 2 2 42n
n nS n n
,
当 2n 时, nS 的最小值为 4 .
故答案为: 4 .
【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前 n 项和最值的求解,属于基础题.
8.已知函数 ( ) sinf x x 0 4 的图象向左平移
12
个单位后,关于点 5 ,012
对称,
则实数 的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意平移之后的函数为 sin 12g x x
,进而可得 5
12 12 k
, k Z ,
即可得解.
【详解】设函数 ( ) sinf x x 的图象向左平移
12
个单位后得 sin 12g x x
的图
象,
由题意 sin 12g x x
关于点 5 ,012
对称,
∴ 5
12 12 k
, k Z ,
- 5 -
∴ 2k , k Z ,
0 4 , 2 .
故答案为:2.
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移与对称性的应用,属于基础题.
9.已知圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,记圆锥和
球体的体积分别为 1V , 2V ,则 1
2
V
V 的值为______.
【答案】 9
4
【解析】
【分析】
设圆锥底面半径为 R ,圆锥的内切球半径为 r ,由题意画出圆锥轴截面图,进而可得 3
3r R 、
圆锥高 3h R= ,即可得解.
【详解】设圆锥底面半径为 R ,圆锥的内切球半径为 r ,
由题意知,圆锥的轴截面是边长为 2R 的正三角形,球的大圆为该正三角形的内切圆,如图,
3
3r R ,圆锥高 3h R= ,
2
1
3
2
1 3 93
44 3
3 3
R RV
V
R
.
故答案为: 9
4
.
【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及其内切圆相关问题的求解,属于基础题.
- 6 -
10.已知 是第二象限角,且 4sin 5
,则 tan 2 4
的值为______.
【答案】 1
3
【解析】
【分析】
由题意结合同角三角函数的关系可得 4tan 3
,根据二倍角的正切公式可得 tan 22
,最
后利用两角差的正切公式即可得解.
【详解】 是第二象限角,且 4sin 5
,
2 , 2 ,2 k k k Z
, 2 3cos 1 sin 5
, sin 4tan cos 3
,
2
2tan 42tan tan 2 2 31 tan 2
,
又 , ,2 4 2k k k Z Î + + Î ,
θtan 02
> ,解得 tan 22
,
tan 1 2 1 12tan 2 4 1 2 31 tan 2
.
故答案为: 1
3
.
【点睛】本题考查了两角差的正切公式及二倍角的正切公式的应用,考查了同角三角函数关
系的应用和运算能力,属于中档题.
11.设 1
2
1log 1 2
bxf x x
是定义在区间 ( , )a a 上的奇函数,且为单调函数,则 ab 的取值范围
是______.
【答案】1, 2
【解析】
【分析】
- 7 -
由题意结合奇函数的性质可得 2 4b ,由函数单调性可得 2b ,求得函数 f x 的定义域后
即可得 10 2a ,再由指数函数的性质即可得解.
【详解】 1
2
1log 1 2
bxf x x
是定义在区间 ,a a 上的奇函数,
0f x f x ,即 1 1
2 2
1 1log log 01 2 1 2
bx bx
x x
,
1 1 11 2 1 2
bx bx
x x
得 2 4b ,
又 f x 为单调函数, 2b , 1
2
1 2log 1 2
xf x x
,
令1 2 01 2
x
x
即 1 2 1 2 0x x ,则 1 1
2 2x ,
10 2a ,
2 1, 2a ab .
故答案为:1, 2 .
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用,考查了函数奇偶性的应用,
属于中档题.
12.在 ABC 中, 4AB , 2AC , 60BAC ,已知点 E , F 分别是边 AB , AC 的
中点,点 D 在边 BC 上.若 13
4DE DF
,则线段 BD 的长为______.
【答案】 3
2
【解析】
【分析】
由题意结合余弦定理可得 2 12BC ,即可得 90C ,建立平面直角坐标系后,表示出各点
坐标,由 13
4DE DF
转化为坐标运算即可得解.
【详解】在 ABC 中, 4AB , 2AC , 60BAC ,
则 2 2 2 2 cos 16 4 8 12BC AC AB AC AB BAC ,
2 2 2BC AC AB , 90C ,
- 8 -
以C 为坐标原点,点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上建立平面直角坐标系,如图,
则 0,0C , 2,0A , 0,2 3B , 1, 3E , 1,0F ,
设 0, 0 2 3D d d ,
故 1, 3DE d
, 1,DF d
,
13
4DE DF
, 2 131 3 4d d ,解得 3 3
2d 或 3
2d (舍去),
3 3 32 3 2 2BD .
故答案为: 3
2
.
【点睛】本题考查了余弦定理与平面向量数量积的坐标运算,考查了运算求解能力,属于基
础题
13.在平面直角坐标系中, A ,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆C 与直线
2 10 0x y 相切,当圆 C 面积最小时,圆 C 的标准方程为______.
【答案】 2 22 1 5x y
【解析】
【分析】
由题意易知原点O 在圆C 上,作 OD 垂直直线 2 10 0x y 于点 D ,进而可得当 OD 为圆C
直径时,圆C 面积最小,求出直线 : 2 0OD x y 后,联立方程即可得点 4,2D ,求得圆的
圆心与半径后即可得解.
- 9 -
【详解】由题意可得,原点 O 在圆C 上,
作OD 垂直直线 2 10 0x y 于点 D ,
则当 OD 为圆C 直径时,圆C 面积最小,
易知 1
2ODk ,所以直线 : 2 0OD x y ,
由 2 0
2 10 0
x y
x y
可得点 4,2D ,所以 2,1C ,半径 4 1 5OC ,
故圆C 的方程为 2 22 1 5x y .
故答案为: 2 22 1 5x y .
【点睛】本题考查了直线与圆的综合问题,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档
题.
14.函数 f(x)
2
1 x ax
x x a
,
, >
,若任意 t∈(a﹣1,a),使得 f(t)>f(t+1),则实数 a
的取值范围为______.
【答案】1 3 a 2 1
【解析】
【分析】
根据 f(x)
2
1 x ax
x x a
,
, >
,由 t∈(a﹣1,a)⇒t+1∈(a,a+1),得到 f(t) 2
1t
;
f(t+1)=|t+1|;再根据任意 t∈(a﹣1,a),使得 f(t)>f(t+1),即 2
1t
>|t+1|⇒|t+1|
(|t|+1)﹣2<0;然后分当 t>0,﹣1≤t≤0,t<﹣1 时,解不等式得 3 <t 2 < 1;
根据若任意 t∈(a﹣1,a),使得 f(t)>f(t+1)成立,则(a﹣1,a)是( 3, 2 1)
的子集求解.
【详解】因为:f(x)
2
1 x ax
x x a
,
, >
,
- 10 -
由 t∈(a﹣1,a)⇒t+1∈(a,a+1),
∴f(t) 2
1t
;f(t+1)=|t+1|;
∵任意 t∈(a﹣1,a),使得 f(t)>f(t+1),
∴ 2
1t
>|t+1|⇒ 1 1 2 0t t ;①
当 t>0 时,①式转化为 1 1 2 0t t ⇒0<t 2 1< ;
当 1 0t 时①式转化为 1 1 2 0t t ⇒ 21 2 0t ,∴ 1 0t ;
t<﹣1 时①式转化为 1 1 2 0t t ⇒t2﹣3<0⇒ 3 <t<0;
综上可得 3 <t 2 < 1;
∵若任意 t∈(a﹣1,a),使得 f(t)>f(t+1),
∴a﹣1 3 且 a 2 1;
∴1 3 a 2 1;
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和集合关系的应用,还考查了分类讨论的思想和
运算求解的能力,属于中档题.
二、解答题(请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,且 / /AD BC , AB BC ,
2BC AD ,已知平面 PAB 平面 ABCD , E , F 分别为 BC , PC 的中点.求证:
(1) / /AB 平面 DEF ;
(2) BC ⊥平面 DEF .
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
- 11 -
【分析】
(1)由题意可得四边形 ADEB 是平行四边形,即可得 / /AB DE ,再根据线面平行的判定即
可得证;
(2)由面面垂直的性质可得 BC 平面 PAB ,再由线面垂直的性质可得 BC PB 即
BC EF ,再结合 BC DE ,由线面垂直的判定即可得证.
【详解】证明:(1)因为 / /AD BC , 2BC AD , E 为 BC 的中点.
所以 / /AD BE 且 AD BE ,所以四边形 ADEB 是平行四边形,
所以 / /AB DE ,
又因为 AB 平面 DEF , DE 平面 DEF
所以 / /AB 平面 DEF ;
(2)因为平面 PAB 平面 ABCD ,平面 PAB 平面 ABCD AB , AB BC ,
BC 平面 ABCD
所以 BC 平面 PAB ,
因为 PB 平面 PAB .所以 BC PB ,
因为 E , F 分别为 BC , PC 的中点,
所以 / /EF PB ,所以 BC EF ,
因为 / /AB DE , BC AB ,所以 BC DE ,
因为 DE 平面 DEF , EF 平面 DEF , DE EF E
所以 BC 平面 DEF .
【点睛】本题考查了线线、线面、面面关系的判定与性质,考查了空间思维能力,属于中档
题.
16.如图,在 ABC 中, 6AC ,D 为 AB 边上一点, 2CD AD ,且 6cos 4BCD .
(1)求sinB ;
(2)求 ABC 的面积.
【答案】(1) 10
8
;(2) 3 15
2
.
- 12 -
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理结合题意可得 1cos 4ADC ,根据同角三角函数的平方关系可得
15sin 4ADC 、 10sin 4BCD ,再利用 sin sinB ADC BCD 即可得解;
(2)由正弦定理可得
sin sin sin
BD CD BC
BCD B BDC
,进而可求得 4BD 、 2 6BC ,
利用三角形面积公式即可得解.
【详解】(1)在 ADC 中,由余弦定理得
22 22 2 2 2 2 6 1cos 2 2 2 2 4
AD CD ACADC AD CD
所以
2
2 1 15sin 1 cos 1 4 4ADC ADC
因为 6cos 4BCD , BCD 是三角形 BCD 的内角,
所以
2
2 6 10sin 1 cos 1 4 4BCD BCD
所以
sin sinB ADC BCD sin cos cos sinADC BCD ADC BCD
15 6 1 10
4 4 4 4
10
8
;
(2)在 BCD 中,由正弦定理得
sin sin sin
BD CD BC
BCD B BDC
,
所以
102sin 4 4sin 10
8
CD BCDBD B
,
152sin sin 4 2 6sin sin 10
8
CD BDC CD ADCBC B B
,
所以 6AB AD BD ,
- 13 -
所以 1 1 10 3 15sin 6 2 62 2 8 2ABCS AB BC B .
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用,考查了运算求解能力,
属于中档题.
17.某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子,它是由半圆 1O 、半圆 2O 和正方形 ABCD 组成
的,且 8AB cm .设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签 EFGH,标签的其中两
个顶点 E,F 在 AM 上,另外两个顶点 G,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB,CB 的中点).设 EF 的中
点为 P, 1FO P ,矩形 EFGH 的面积为 2Scm .
(1)写出 S 关于 的函数关系式 ( )S
(2)当 为何值时矩形 EFGH 的面积最大?
【答案】(1) ( ) 32sin (2cos 2)S , 0, 4
;(2)当 为
4
时,矩形 EFGH 的
面积最大,为 264cm .
【解析】
【分析】
(1)由题意知 0, 4
,可得 8sinEF , 8cos 4 2EH ,利用矩形的面积公式,
即可得答案;
(2)利用导数可得:当 0, 4
时, ( ) 0S 恒成立,所以 ( )S 在 0, 4E
上单调递
增,即可得答案;
- 14 -
【详解】(1)由题意知 0, 4
, 8sinEF , 8cos 4 2EH ,
则 ( ) 8sin (8cos 4 2)S EF EH ,
即 ( ) 32sin (2cos 2)S , 0, 4
(2) ( ) 32[cos (2cos 2) sin ( 2sin )]S
2 232 2cos 2sin 2 cos
232 4cos 2 cos 2 .
因为 0, 4
,所以 22 4cos 4 ,1 2 cos 2 ,所以 24cos 2 cos 2 0 ,
故当 0, 4
时, ( ) 0S 恒成立,所以 ( )S 在 0, 4E
上单调递增.
故当
4
时, max( ) 32sin 2cos 2 644 4S
.
答:当 为
4
时,矩形 EFGH 的面积最大,为 264cm .
【点睛】本题考查导数在实际问题中的运用,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力、运
算求解能力.
18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的上顶点到焦点的距离为 2,
离心率为 3
2
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设 P 是椭圆C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 k 的直线l 交椭圆C 于 A , B 两点,
若 2 2PA PB 的值与点 P 的位置无关,求 k 的值.
【答案】(1)
2
2 14
x y ;(2) 1
2k .
【解析】
- 15 -
【分析】
(1)由题意结合椭圆性质可得 2a 、 3c ,由 2 2 2b a c 求出 2b 后即可得解;
(2)设 ,0 2 2P m m , 1 1,A x y , 2 2,B x y ,直线l 的方程为 y k x m ,联
立方程可得
2
1 2 2
8
1 4
mkx x k
, 2 2
1 2 2
4 1
1 4
k m
x x k
,进而可得
2 4 2 2 2
2 2
22
8 6 2 1 4 8 8
1 4
m k k k k
PA PB
k
,令 4 28 6 2 0k k 即可得解.
【详解】(1)由题设可知 2a , 3
2
ce a
,
所以 3c ,所以 2 2 2 1b a c ,
所以椭圆C 的方程为
2
2 14
x y ;
(2)设 ,0 2 2P m m , 1 1,A x y , 2 2,B x y ,直线l 的方程为 y k x m ,
将直线与椭圆的方程联立即
2
2 14
y k x m
x y
,
消去 y 得 2 2 2 2 21 4 8 4 1 0k x mk x k m , ,
所以
2
1 2 2
8
1 4
mkx x k
, 2 2
1 2 2
4 1
1 4
k m
x x k
,
所以
2 2
2 2 2 2 2 22 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 14 4
x xPA PB x m y x m y x m x m
2 4 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 22
8 6 2 1 4 8 83 2 2 24 1 4
m k k k k
x x m x x m
k
,
因为 2 2PA PB 的值与点 P 的位置无关,即上式取值与 m 无关,
故有 4 28 6 2 0k k ,解得 1
2k .
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的确定及直线与椭圆的综合应用,考查了运算求解能力,
属于中档题.
- 16 -
19.已知函数 ln 1 2 1
2 2
x af x x ax x
.
(1)当 0a 时,求函数 f x 在 1x 处的切线方程;
(2)若函数 f x 在定义域上单调增,求 a 的取值范围;
(3)若函数 f x 在定义域上不单调,试判定 f x 的零点个数,并给出证明过程.
【答案】(1) 2 2y x ;(2) 2a ;(3)函数 f x 必有三个不同零点,证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1)求导后可得 1 2f 即为切线斜率,再求出 1 0f ,利用点斜式即可得解;
(2)转化条件得 2 2ln 2 3 0x x a 在 0x 时恒成立,令 2 2ln 2 3 0g x x x a x ,
对 g x 求导后求出 ming x ,令 min 0g x 即可得解;
(3)由题意若函数 f x 在定义域上不是单调函数 2a ,设
22ln 2 2 1h x x x ax a ,求导后,即可确定函数 h x 的零点个数,结合 1 0f 即可
得解.
【详解】(1)当 0a 时, ln 1 1
2 2
xf x xx x
,
则
2
2 2 2
1 ln 1 1 2ln 3
2 2 2
x x xf x x x x
, 1 0f ,
则在 1x 处的切线斜率为 1 2f ,
所以函数 f x 在 1x 处的切线方程为 2 1y x 即 2 2y x ;
(2)因为 ln 2 1
2 2
x x af x a a Rx x
.
所以 f x 的定义域为 0, ,
2
2
2ln 2 3
2
x x af x x
,
又因为函数 f x 在定义域上为单递增函数,
所以
2
2
2ln 2 3 02
x x af x x
在 0x 时恒成立,
即 2 2ln 2 3 0x x a 在 0x 时恒成立,
- 17 -
设 2 2ln 2 3 0g x x x a x ,
则 2 2 1 12 2 x xxg x x x
,
当 0 1x 时, ( ) 0g x ,则 g x 在 0,1 上为减函数,
当 1x 时, 0g x ,则 g x 在 1, 上为增函数,
所以 2 2ln 2 3 0x x a 在 0x 时恒成立 min (1) 4 2 0g x g a ,
所以 2a ;
(3)因为
2
2
2ln 2 3
2
x x af x x
,
所以 2
2
3 02
a
a
a
ef e e
,则 0f x 不可能对 0x 恒成立,
即 f x 在定义域上不可能始终都为减函数,
由(2)知函数 f x 为增函数 2a ,
所以若函数 f x 在定义域上不是单调函数 2a ,
又因为 1 0f ,所以 1x 是函数 0f x 一个零点,
令 0f x 即 22ln 2 2 1 0x x ax a ,
设 22ln 2 2 1h x x x ax a ,则 f x 与 h x 有相同的零点,
令
22( 1) 0x axh x x
,得 2 1 0x ax ,
因为 2a ,所以 2 4 0a ,
所以 2 1 0x ax 有两个不相等实数解 1x , 2x ,
因为 1 2 1x x , 1 2 2x x a ,所以不妨设 1 20 1x x ,
当 10,x x 时, 0h x , h x 在 10, x 为增函数;
当 1 2,x x x 时, 0h x , h x 在 10, x 为减函数;
当 1,x x 时, 0h x , h x 在 10, x 为增函数;
则 1 1 0h x h , 2 1 0h x h ,
- 18 -
又因为 2a 时, 0 1ae , 2 4a ,
所以 2 21 2 0a a ah e e ae ,
23 132 2ln 2 4 04 4h a a a
,
又因为 f x 在 0,1 图象不间断,所以 f x 在 0,1 上有唯一零点;
又因为 f x 在 (1, ) 图象不间断,所以 f x 在 (1, ) 上有唯一零点;
又因为 1x 是函数 0f x 一个零点,
综上,函数 f x 必有三个不同零点.
【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算能力与推理能力,属于难题.
20.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,把满足条件 1n na S Nn 的所有数列 na 构成的集
合记为 M .
(1)若数列 na 的通项为 1
2n na ,则 na 是否属于 M ?
(2)若数列 na 是等差数列,且 na Mn ,求 1a 的取值范围;
(3)若数列 na 的各项均为正数,且 na M ,数列 4n
na
中是否存在无穷多项依次成等
差数列,若存在,给出一个数列 na 的通项;若不存在,说明理由.
【答案】(1) na M ;(2) 1 1a ;(3)数列 4n
na
中是不存在无穷多项依次成等差数列,
理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意可得 11 2
n
nS
,证明 1 0n na S 即 1n na S 后即可得解;
(2)由题意可得 2
1 1
1 3 1 1 02 2 2
d n a d n a
,当 1n 时, 1d ;结合二次函
数的性质可得 1 02
d ;即可得 1d ;进而可得 1 1 1 0a n ,即可得解;
- 19 -
(3)转化条件得 2 *
1 )2 (n
na a n N 即
1
4 4 2
n
n
na a
,假设数列 4n
na
中存在无穷多项依次
成等差数列,不妨设该等差数列的第 n 项为 dn b (b 为常数),则存在 m N , m n ,使
得
1 1
4 4 42 2
m
m n
m
dn b a a a
,设
2
22n
nf n , *n N , 3n ,作差后可得
91 3 132f n f n f 即当 3n 时, 2 22n n ,进而可得不等式
2
1 1 0n da n ba 有无穷多个解,显然不成立,即可得解.
【详解】(1)因为 1
2n na ,所以
111 12 112 21 2
n
n
nS
,
所以
1
1
1 1 3 1 3 1 11 1 1 02 2 2 2 2 2 4
n n n
n na S
,
所以 1n na S ,即 na M ;
(2)设 na 的公差为 d ,因为 na Mn ,
所以 1 21 1 21n na n a a a n (*)
特别的当 1n 时, 2 12 1a a ,即 1d ,
由(*)得
1 1
1 11 2 2
n n n na nd n na d
,
整理得 2
1 1
1 3 1 1 02 2 2
d n a d n a
,
因为上述不等式对一切 *n N 恒成立,所以必有 1 02
d ,解得 1d ,
又 1d ,所以 1d ,
于是 1 11 1 0a n a ,即 1 1 1 0a n ,
所以 1 1 0a 即 1 1a ;
(3)由 1n na S 得 1n n nS S S ,所以 1 2n nS S ,即 1 2n
n
S
S
,
- 20 -
所以 1 3 12
1 1 2
2nn n
n
S S SS
S S S S
,从而有 1 1 12 2n n
nS S a ,
又 1n na S ,所以 2 1 1 2n
n na S a ,即 2
1 2 3n
na a n - ,
又 2 2
2 1 1 2a S a , 1 2
1 1 2a a ,所以有 2 *
1 )2 (n
na a n N ,
所以
1
4 4 2
n
n
na a
,
假设数列 4n
na
中存在无穷多项依次成等差数列,
不妨设该等差数列的第 n 项为 dn b (b 为常数),
则存在 m N , m n ,使得
1 1
4 4 42 2
m
m n
m
dn b a a a
,即 2
1 1 2nda n ba ,
设
2
22n
nf n , *n N , 3n ,
则 2 22
3 2 3
1 2 11 02 2 2n n n
n nnf n f n
,
即 91 3 132f n f n f ,
于是当 3n 时, 2 22n n ,
从而有:当 3n 时 2
1 1da n ba n ,即 2
1 1 0n da n ba ,
于是当 3n 时,关于 n 的不等式 2
1 1 0n da n ba 有无穷多个解,显然不成立,
因此数列 4n
na
中是不存在无穷多项依次成等差数列.
【点睛】本题考查了新概念在数列中的应用,考查了数列与函数的综合应用及反证法的应用,
属于难题.
第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
三、选做题
21.已知矩阵 3 0
0 4A
.
- 21 -
(1)求 A 的逆矩阵 1A ;
(2)求圆 2 2 144x y = 经过 1A 变换后所得的曲线的方程.
【答案】(1) -1
1 03
10 4
A
;(2)
2 2
116 9
x y .
【解析】
【分析】
(1)由题意结合 1 1 0
0 1AA
,即可得解;
(2)求出圆上的点 ,P x y 经过 1A 变换后所得的点 ,P x y ,即可得解.
【详解】(1)由条件 3 0
0 4A
且 1 1 0
0 1AA
,可得 -1
1 03
10 4
A
;
(2)设变换后新曲线上任一点 ,P x y ,变换前对应点 ,P x y ,
则
1 03
10 4
x x
y y
,即
1
3
1
4
x x
y y
,
所以 3
4
x x
y y
,代入 2 2 144x y 得:
2 2
116 9
x y ,
所以曲线 2 2 144x y 经过 1A 变换后所得曲线的方程为
2 2
116 9
x y .
【点睛】本题考查了逆矩阵的求解及矩阵变换的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
22.已知圆的参数方程为 1 2cos
3 2sin
x
y
( 为参数),以平面直角坐标系原点 O 为极点,x
轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系相同的单位建立极坐标系,求过圆心且与极轴垂直的直
线的极坐标方程.
【答案】 cos 1
【解析】
【分析】
- 22 -
由题意消去参数可得圆的普通方程为 2 21 3 4x y ,进而可得过圆心且与极轴垂直的
直线的直角坐标方程为 1x ,由极坐标方程与直角坐标方程的转换公式即可得解.
【详解】由 1 2cos
3 2sin
x
y
( 为参数)消去参数得圆的普通方程为 2 21 3 4x y ,
圆心坐标为 1,3 ,过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为 1x ,
则其极坐标方程为 cos 1 .
【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的转化,属于基础题.
23.已知函数 1 2f x x x ,若 2 3 2a b c , ,a b c R ,且不等式
2 2 2a b c f x 恒成立,求实数 x 的取值范围.
【答案】 1,2 .
【解析】
【分析】
由柯西不等式得 2
2 2 2 2 36
a b ca b c
,转化条件得 3f x ,结合绝对值三角不
等式 1 2 1 2 3f x x x x x ,即可得解.
【详解】由柯西不等式可得 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1a b c a b c ,
所以 2
2 2 2 2 36
a b ca b c
,
当且仅当 1 2 1
a b c
即 2b 、 2
2a c 时,等号成立,
所以 2 2 2a b c f x 恒成立 3f x ,
因为 1 2 1 2 3f x x x x x ,当且仅当 1 2x 时,等号成立,
所以 3f x 的解集为 1 2x ,
所以实数 x 的取值范围 1,2 .
【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用,考查了计算能力与转化化
归思想,属于中档题.
- 23 -
四、必做题
24.如图,正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,设 1AD , 1 3DD ,点 P 在 1CC 上,且
1 2C P PC .
(1)求直线 1A P 与平面 PDB 所成角的正弦值;
(2)求二面角 A BD P 的余弦值.
【答案】(1) 2 2
3
;(2) 3
3
.
【解析】
【分析】
(1)建立空间直角坐标系,求出各点坐标后,进而可得平面 PDB 一个法向量 1n
ur 、直线 1A P
的方向向量 1A P
,利用 1 1sin cos ,A P n
即可得解;
(2)取平面 ABD 一个法向量 2 0,0,1n
uur
,利用 1 2
1 2
1 2
cos , n nn n
n n
即可得解.
【详解】如图,以点 D 为原点O , DA , DC , 1DD 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标
系O xyz ,
则 0,0,0D , 1,1,0B , 1 1,0,3A , 0,11P ;
- 24 -
(1)所以 1 1,1, 2A P , 1,1,0DB , 0,1,1DP ,
设平面 PDB 一个法向量为 1 , ,n x y z ,
由 1
1
0
0
n DP
n DB
得 0
0
y z
x y
,令 1x ,则 1 1, 1,1n ,
设直线 1A P 与平面 PDB 所成角为 ,
所以 1
11
1 1
1 4 2 2sin cos , 36 3
A PA P n
A P
n
n
所以直线 1A P 与平面 PDB 所成角的正弦值为 2 2
3
;
(2)由(1)知平面 PDB 一个法向量为 1 1, 1,1
n ,
取平面 ABD 一个法向量 2 0,0,1n
uur
,
则 1 2
1 2
1 2
1 3cos , 33
n nn n
n n
,
由图知二面角 A BD P 为钝二面角,
所以二面角 A BD P 的余弦值为 3
3
.
【点睛】本题考查了利用空间向量求解线面角和二面角,考查了运算能力,属于中档题.
- 25 -
25.已知抛物线C : 2 2y x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 1 2,l l 分别交C 于 A B, 两点,
交C 的准线于 P Q, 两点.
(Ⅰ)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 / /AR FQ ;
(Ⅱ)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 2 1y x .
【解析】
【分析】
设
2 2 1 1 1,0 , , , , , , , ,2 2 2 2 2 2
a b a bA B b P a Q b R
l 的方程为 2 (x a
) 0b y ab .(Ⅰ)由 F 在线段 AB 上 1 0ab ,又
1 22 2
1
1
a b a b abk b ka a ab a a
/ /AR FQ ;(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为
1,0D x 1
1 1 1 ,2 2 2 2ABF PQF
a bS b a FD b a x S
1
1 1
2 2 2
a bb a x
1 0x (舍去), 1 1x .设满足条件的 AB 的中点为 ,E x y .当
AB 与 x 轴不垂直时 2 11
y xa b x
2
a b y 2 1 1y x x .当 AB 与 x
轴垂直时 E 与 D 重合 所求轨迹方程为 2 1y x .
【详解】由题设 1 ,02F
,设 1 2: , :l y a l y b ,则 0ab ,且
2 2 1 1 1,0 , , , , , , , ,2 2 2 2 2 2
a b a bA B b P a Q b R
.
记过 ,A B 两点的直线为 l ,则l 的方程为 2 0x a b y ab
(Ⅰ)由于 F 在线段 AB 上,故1 0ab ,
记 AR 的斜率为 1,k FQ 的斜率为 2k ,则 1 22 2
1
1
a b a b abk b ka a ab a a
,
所以 / /AR FQ
- 26 -
(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 1,0D x ,
则 1
1 1 1 ,2 2 2 2ABF PQF
a bS b a FD b a x S
,
由题设可得 1
1 1
2 2 2
a bb a x
,所以 1 0x (舍去), 1 1x .
设满足条件的 AB 的中点为 ,E x y .
当 AB 与 x 轴不垂直时,由 AB DEk k 可得 2 11
y xa b x
.
而
2
a b y ,所以 2 1 1y x x .
当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合,所以,所求轨迹方程为 2 1y x
【点睛】本题考查了 1.抛物线定义与几何性质;2.直线与抛物线位置关系;3.轨迹求法.
- 27 -
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