2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7 6页

‎7.3.1　‎三角函数的周期性 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解周期函数的定义．(难点)‎ ‎2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)‎ ‎3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)以及y＝Atan(ωx＋φ)的周期．(重点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．‎ 观察下列图象，‎ 这些图象具有怎样的共同规律？‎ ‎1．周期函数的定义 ‎(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．‎ ‎(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)‎ ‎(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π．‎ 思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．‎ ‎[提示]　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．‎ 思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？‎ ‎[提示]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．‎ ‎2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 - 6 -‎ 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为．‎ 思考3：6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？‎ ‎[提示]　是．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)周期函数都一定有最小正周期． (　　)‎ ‎(2)周期函数的周期只有唯一一个． (　　)‎ ‎(3)周期函数的周期可以有无数多个． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．函数y＝sin的周期是________．‎ ‎2　[T＝＝2．]‎ ‎3．函数f(x)＝－2cos的周期是________．‎ 　[T＝＝．]‎ 求三角函数的周期 ‎【例1】　求下列函数的最小正周期．‎ ‎(1)f(x)＝2sin；‎ ‎(2)f(x)＝2tan；‎ ‎(3)y＝|sin x|；‎ ‎(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．‎ ‎[思路点拨]　利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解．‎ ‎[解]　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π．‎ - 6 -‎ ‎(2)T＝＝，∴最小正周期为．‎ ‎(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π．‎ 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，‎ ‎∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π．‎ ‎(4)T＝＝，∴最小正周期为．‎ 利用公式求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝.‎ ‎1．已知f(x)＝cos的最小正周期为，则ω＝______．‎ ‎±10　[由题意可知＝，所以ω＝±10．]‎ 周期性的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．若函数f(x)满足f(x＋a)＝(f(x)≠0，a＞0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期．‎ ‎[提示]　∵f(x＋‎2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝f(x)，‎ ‎∴T＝‎2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为‎2a．‎ ‎2．若f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期．‎ ‎[提示]　∵f(x＋‎2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)‎ ‎＝－[－f(x)]＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期函数，且最小正周期为‎2a．‎ ‎【例2】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．‎ - 6 -‎ ‎[思路点拨]　 ‎[解]　∵f(x)的最小正周期是π，‎ ‎∴f＝f＝f．‎ 又∵f(x)是R上的偶函数，‎ ‎∴f＝f＝sin＝，‎ ‎∴f＝．‎ ‎1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值．‎ ‎[解]　∵f(x)的最小正周期为π，‎ ‎∴f＝f＝f，‎ ‎∵f(x)是R上的奇函数，∴f＝－f＝－sin ＝－，∴f＝－．‎ ‎2．(变结论)本例条件不变，求f的值．‎ ‎[解]　∵f(x)的最小正周期为π，‎ ‎∴f＝f＝f，‎ ‎∵f(x)是R上的偶函数，‎ ‎∴f＝f＝sin ＝．‎ ‎∴f＝．‎ 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.‎ - 6 -‎ ‎2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________．‎ ‎－6　[因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝f(－1)＝－ f(1)＝6，则f(1)＝－ 6．‎ 因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝f(－2)＝0，‎ 所以f(6)＝ f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6．]‎ ‎1．本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期．‎ ‎2．本节课重点掌握求三角函数周期的方法 ‎(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．‎ ‎(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．‎ ‎(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．‎ 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．‎ ‎1．函数y＝3sin的最小正周期为(　　)‎ A．　　　　　 B． C．π　　　　 D．2π C　[T＝＝π．]‎ ‎2．若函数y＝cos(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．‎ ‎2　[T＝＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．]‎ ‎3．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________．‎ ‎2　[f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．]‎ ‎4．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．‎ ‎[解]　∵f(x)是以为周期的奇函数，‎ - 6 -‎ ‎∴f＝－f ‎＝－f＝－f ‎＝f＝f＝－f，‎ 又∵f＝1，‎ ‎∴f＝－f＝－1．‎ - 6 -‎