高考数学专题复习课件：2-1 函数及其表示 49页

§ 2.1 　函数及其表示 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 .2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 .3. 了解简单的分段函数，并能简单应用． 1 ． 函数与映射 函数 映射 两 集合 A 、 B 设 A ， B 是两个非 空 ____ 设 A ， B 是两个非 空 ____ 数集 集合 对应关系 f ： A → B 如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中 的 _____ 一 个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中 的 _____ 一 个元素 x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称 _________ 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 f ： A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y ＝ f ( x )( x ∈ A ) 对应 f ： A → B 是一个映射 任意 任意 f ： A → B 2. 函数的有关概念 (1) 函数的定义域、值域 在函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y ＝ f ( x ) 的 ________ ；将所有 y 组成的集合叫做函数 y ＝ f ( x ) 的 ______ ． (2) 函数的三要素： ______ 、 _________ 和 ______ ． (3) 函数的表示法 表示函数的常用方法有 _______ 、 _______ 和 ________ ． 定义域 值域 定义域 对应关系 值域 解析法 图象法 列表法 3 ． 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 __________ 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 _____ ，其值域等于各段函数的值域的 _____ ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 对应关系 并集 并集 4 ． 常见函数定义域的求法 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 对于函数 f ： A → B ，其值域是集合 B .( 　　 ) (2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． ( 　　 ) (3) 映射是特殊的函数． ( 　　 ) (4) 若 A ＝ R ， B ＝ { x | x ＞ 0} ， f ： x → y ＝ | x | ，其对应是从 A 到 B 的映射． ( 　　 ) (5) 分段函数是由两个或几个函数组成的． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 【 解析 】 由题意知，函数 f ( x ) 的定义域应满足条件 x － 2 ≥ 0 ， ln(3 － x ) ≠ 0 且 3 － x ＞ 0 ，解得 x ≥ 2 ， x ≠ 2 且 x ＜ 3 ，所以函数 f ( x ) 的定义域为 (2 ， 3) ．故选 B. 【 答案 】 B 【 答案 】 C 【 答案 】 C 【 解析 】 f (5) ＝ f (11) ＝ log 3 3 ＝ 1. 故选 C. 【 答案 】 C 5 ．给出下列四个命题： ① 函数是其定义域到值域的映射； ② f ( x ) ＝＋是函数； ③ 函数 y ＝ 2 x ( x ∈ N) 的图象是一条直线； ④ 函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有 ________ ． 【 解析 】 对于 ① 函数是映射，但映射不一定是函数；对于 ② f ( x ) 是定义域为 {2} ，值域为 {0} 的函数；对于 ③ 函数 y ＝ 2 x ( x ∈ N) 的图象不是一条直线；对于 ④ 函数的定义域和值域不一定是无限集合． 【 答案 】 ①② 【 答案 】 ②③ 【 方法规律 】 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的 ( 判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 ) ． (2) 下列所给图象是函数图象的个数为 ( 　　 ) A ． 1 　　　　　　 B ． 2 C ． 3 D ． 4 【 解析 】 (1)A 中两函数对应关系不同； B 、 C 中的函数定义域不同，答案选 D. (2) ① 中当 x ＞ 0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象， ② 中当 x ＝ x 0 时， y 的值有两个，因此不是函数图象， ③④ 中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象，故选 B. 【 答案 】 (1)D 　 (2)B 【 答案 】 (1)A 　 (2)B (2) 若函数 f ( x 2 ＋ 1) 的定义域为 [ － 1 ， 1] ，则 f (lg x ) 的定义域为 ( 　　 ) A ． [ － 1 ， 1] B ． [1 ， 2] C ． [10 ， 100] D ． [0 ， lg 2] (2) 因为 f ( x 2 ＋ 1) 的定义域为 [ － 1 ， 1] ，则－ 1 ≤ x ≤ 1 ，故 0 ≤ x 2 ≤ 1 ，所以 1 ≤ x 2 ＋ 1 ≤ 2. 因为 f ( x 2 ＋ 1) 与 f (lg x ) 是同一个对应关系，所以 1 ≤ lg x ≤ 2 ，即 10 ≤ x ≤ 100 ，所以函数 f (lg x ) 的定义域为 [10 ， 100] ．故选 C. 【 答案 】 (1)B 　 (2)C 【 解析 】 因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ，所以 2 x 2 ＋ 2 ax － a － 1 ≥ 0 对 x ∈ R 恒成立，即 2 x 2 ＋ 2 ax － a ≥ 2 0 ， x 2 ＋ 2 ax － a ≥ 0 恒成立，因此有 Δ ＝ (2 a ) 2 ＋ 4 a ≤ 0 ，解得－ 1 ≤ a ≤ 0. 【 答案 】 [ － 1 ， 0] 【 方法规律 】 (1) 给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式 ( 组 ) ，这个不等式 ( 组 ) 的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式． (2) ① 若 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( g ( x )) 的定义域为 a ≤ g ( x ) ≤ b 的解集； ② 若 f ( g ( x )) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( x ) 的定义域为 y ＝ g ( x ) 在 [ a ， b ] 上的值域． 【 方法规律 】 函数解析式的求法 (1) 待定系数法：若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函数 ) ，可用待定系数法； (2) 换元法：已知复合函数 f ( g ( x )) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3) 配凑法：由已知条件 f ( g ( x )) ＝ F ( x ) ，可将 F ( x ) 改写成关于 g ( x ) 的表达式，然后以 x 替代 g ( x ) ，便得 f ( x ) 的解析式； 【 答案 】 (1)C 　 (2)C 【 温馨提醒 】 (1) 求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2) 当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3) 当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论 . ► 方法与技巧 1 ．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同． 2 ．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3 ．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4 ．分段函数问题要分段求解． ► 失误与防范 1 ．复合函数 f [ g ( x )] 的定义域也是解析式中 x 的范围，不要和 f ( x ) 的定义域相混． 2 ．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论 .